Câmpul Jacobi
În geometria Riemanniană , un câmp vectorial Jacobi sau câmpul Jacobi , numit după matematicianul german Charles Jacobi , este un câmp vectorial de -a lungul unui c geodezic într-o varietate riemanniană , descriind diferența dintre c și o familie de geodezice „Infinit close”. Setul de câmpuri Jacobi de-a lungul unei geodezice formează spațiul vectorial tangent la geodezic în spațiul tuturor geodezilor.
Definiție formală
Fie o varietate Riemanniană , un interval de ℝ și : o curbă diferențiată. Un câmp vectorial împreună este o aplicație: astfel încât orice punct , ; unde denotă pachetul tangent la și M, spațiul vectorial tangent la punct . Un câmp vector de -a lungul unui c geodezic se numește câmp Jacobi dacă îndeplinește ecuația Jacobi:
M{\ displaystyle M}Eu{\ displaystyle I}vs.{\ displaystyle c}Eu→M{\ displaystyle I \ rightarrow M}vs.{\ displaystyle c}Eu{\ displaystyle I}→TM{\ displaystyle \ rightarrow TM}t∈{\ displaystyle t \ in} Eu{\ displaystyle I}X(t)∈Tvs.(t)M{\ displaystyle X (t) \ în T_ {c (t)} M}TM{\ displaystyle TM}M{\ displaystyle M}Tm{\ displaystyle T_ {m}}m∈M{\ displaystyle m \ în M}J{\ displaystyle J}
∇vs.˙(∇vs.˙J)+R(J,vs.˙)vs.˙=0{\ displaystyle \ nabla _ {\ dot {c}} \ left (\ nabla _ {\ dot {c}} J \ right) + R (J, {\ dot {c}}) {\ dot {c}} = 0}
Unde, în această ecuație, denotă legătura Levi-Civita a și R tensorul său de curbură .
∇{\ displaystyle \ nabla}M{\ displaystyle M}
Puncte conjugate
Practic, se spune că două puncte ale unei varietăți riemanniene sunt conjugate dacă pot fi aproape alăturate de o familie (1-parametru) de geodezie. Cel mai izbitor exemplu este dat de polul nord și polul sudic pe sferă, care pot fi unite de orice meridian. Arătăm că o varietate riemanniană de curbură secțională constantă are puncte conjugate dacă și numai dacă .
κ{\ displaystyle \ kappa}κ>0{\ displaystyle \ kappa> 0}
Definiție
Fie și să fie două puncte ale unei varietăți riemanniene unite de un c geodezic . Spunem că sunt conjugați dacă există un câmp Jacobi diferit de zero de-a lungul lui c care dispare în și .
p{\ displaystyle p}q{\ displaystyle q}J{\ displaystyle J}p{\ displaystyle p}q{\ displaystyle q}
Exemple
- Pe sferă , de curbură secțională , punctele antipodale sunt conjugate.S2{\ displaystyle S ^ {2}}κ=1{\ displaystyle \ kappa = 1}
- Pe Euclidean, nu există puncte conjugate.Rnu{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}
- Mai general, teorema Cartan-Hadamard arată că pe o varietate de curbură negativă (în sens larg), nu există niciodată puncte conjugate.
Bibliografie
- (ro) Sylvestre Gallot, Dominique Hulin și Jacques Lafontaine, Riemannian Geometry [ detaliu ediție ]
Referințe
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">