Spațiul vectorial implectic

În algebră , un spațiu vectorial este simplectic atunci când este prevăzut cu o formă simplectică , adică o formă bilineară alternativă și nedegenerată . Studiul acestor spații vectoriale prezintă unele asemănări cu studiul spațiilor prehilbertiene reale, deoarece definim și noțiunea de ortogonalitate . Dar există diferențe puternice, doar pentru că fiecare vector este ortogonal față de el însuși.

Spațiile vectoriale simplectice servesc ca modele pentru a defini varietăți simplectice , studiate în geometrie simplectică . Acestea din urmă sunt cadrul natural al mecanicii hamiltoniene .

Un spațiu vectorial prehilbertian complex este înzestrat automat cu o structură simplectică ca spațiu vectorial real. În ceea ce privește soiurile, analogul este noțiunea de soi Kähler .

Definiție

Fie un spațiu vectorial pe câmpul numerelor reale (cazul general va fi prezentat mai jos). O formă simplectică pe este o formă bilineară alternativă și nedegenerată , adică: V{\ displaystyle V}V{\ displaystyle V}ω:V×V→R{\ displaystyle \ omega: V \ times V \ to \ mathbb {R}}

• avem caracterul alternativ ω(tu,tu)=0,∀tu∈V{\ displaystyle \ omega (u, u) = 0, \ quad \ forall u \ in V}

care este uneori înlocuit cu antisimetrie : (aceste două proprietăți sunt echivalente);ω(tu,v)=-ω(v,tu),∀tu,v∈V{\ displaystyle \ omega (u, v) = - \ omega (v, u), \ quad \ forall u, v \ in V}

• și nondegeneracy : .tu≠0⟹ω(tu,⋅)≠0{\ displaystyle u \ neq 0 \ implică \ omega (u, \ cdot) \ neq 0}

Un spațiu vectorial simplectic este un spațiu vectorial prevăzut cu o formă simplectică  . (V,ω){\ displaystyle (V, \ omega)}V{\ displaystyle V}ω{\ displaystyle \ omega}

Se spune că doi vectori sunt (simplectic) ortogonali atunci când . Prin caracterul alternant al , orice vector al este ortogonal în sine. tu,v∈V{\ displaystyle u, v \ in V}ω(tu,v)=0{\ displaystyle \ omega (u, v) = 0}ω{\ displaystyle \ omega}v{\ displaystyle v}V{\ displaystyle V}

Propunere: Orice spațiu vectorial simplectic de dimensiune finită are dimensiunea chiar reală.

Demonstrație

Fie un spațiu vectorial simplectic cu dimensiuni finite. Să fie o bază vectorială reală a . Să fie reprezentative matricea de , și anume pentru . Deoarece este nedegenerată, matricea este inversabilă și, prin urmare, are un determinant diferit de zero. Deoarece este antisimetric, matricea este antisimetrică . Știm că determinantul unei matrice antisimetrice de ordin impar este zero, ceea ce este imposibil. Prin urmare, are o dimensiune uniformă.(V,ω){\ displaystyle (V, \ omega)}(v1,...,vnu){\ displaystyle (v_ {1}, ..., v_ {n})}V{\ displaystyle V}[ωeu,j]{\ displaystyle [\ omega _ {i, j}]}ω{\ displaystyle \ omega}ωeu,j: =ω(veu,vj){\ displaystyle \ omega _ {i, j}: = \ omega (v_ {i}, v_ {j})}eu,j=1,...,nu{\ displaystyle i, j = 1, ..., n}ω{\ displaystyle \ omega}[ωeu,j]{\ displaystyle [\ omega _ {i, j}]}ω{\ displaystyle \ omega}[ωeu,j]{\ displaystyle [\ omega _ {i, j}]}V{\ displaystyle V}◻{\ displaystyle \ square}

Notă  : noțiunea de matrice reprezentativă a unei forme simplectice nu este identică cu noțiunea de matrice simplectică .

Spațiu vectorial simplectic standard

Spațiul vectorial simplectic de referință este spațiul în care, în baza canonică , forma simplectică satisface relațiile (R2nu,ω){\ displaystyle (\ mathbb {R} ^ {2n}, \ omega)}(e1,...,enu,f1,...,fnu){\ displaystyle (e_ {1}, \ ldots, e_ {n}, f_ {1}, \ ldots, f_ {n})}ω{\ displaystyle \ omega}

ω(eeu,fj)=-ω(fj,eeu)=δeuj{\ displaystyle \ omega (e_ {i}, f_ {j}) = - \ omega (f_ {j}, e_ {i}) = \ delta _ {ij} \,} ω(eeu,ej)=ω(feu,fj)=0{\ displaystyle \ omega (e_ {i}, e_ {j}) = \ omega (f_ {i}, f_ {j}) = 0 \,}.

Reprezentarea matricială a formei simplectice standard este atunci:

[ωeu,j]=[0Eunu-Eunu0]{\ displaystyle [\ omega _ {i, j}] = {\ begin {bmatrix} 0 & I_ {n} \\ - I_ {n} & 0 \ end {bmatrix}}}

unde denotă matricea identității mărimii . Eunu{\ displaystyle I_ {n}}nu×nu{\ displaystyle n \ times n}

Există cumva direcții cuplate  : fiecare este ortogonală pentru toți vectorii de bază, cu excepția . eeu{\ displaystyle e_ {i}}feu{\ displaystyle f_ {i}}

O variantă a procesului de ortonormalizare Gram-Schmidt face posibilă demonstrarea faptului că orice spațiu vectorial simplectional cu dimensiuni finite are o astfel de bază, căreia îi este dat în general numele de bază Darboux .

Subspatii vectoriale

Fie un spațiu vectorial simplectic. Fie un subspatiu vectorial al . Perpendiculara (simplectic) a este prin definiție subspațiul vectorial (V,ω){\ displaystyle (V, \ omega)}W⊂V{\ displaystyle W \ subset V}V{\ displaystyle V}W{\ displaystyle W}

Wω: ={v∈V|ω(v,w)=0,∀w∈W}{\ displaystyle W ^ {\ omega}: = \ {v \ in V | \ omega (v, w) = 0, \ forall w \ in W \}}.

Subspatiul vectorial se spune: W{\ displaystyle W}

• simplectic dacăW∩Wω={0}{\ displaystyle W \ cap W ^ {\ omega} = \ {0 \}}
• izotrop dacăW⊂Wω{\ displaystyle W \ subset W ^ {\ omega}}
• coisotrop dacăWω⊂W{\ displaystyle W ^ {\ omega} \ subset W}
• Lagrangian siWω=W{\ displaystyle W ^ {\ omega} = W}

Orice subspatiu vectorial lagrangian al este: W{\ displaystyle W}(V,ω){\ displaystyle (V, \ omega)}

• (maxim) izotrop
• (minim) coisotrop
• de dimensiune jumătate din cea a .V{\ displaystyle V}

Spațiul implectic pe orice corp

Definiția spațiilor simplectice se extinde fără schimbări la orice câmp cu o altă caracteristică decât 2. În caracteristica 2, nu mai există o echivalență între caracterele alternative și antisismice.

Referințe

• Ralph Abraham și Jarrold E. Marsden, Foundations of Mechanics , (1978) Benjamin-Cummings, Londra ( ISBN  0-8053-0102-X ) .

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">