Categorie exactă

O categorie exactă , uneori numită exactă "în sensul lui Quillen " pentru a distinge categorii regulate (în) (exacte "în sensul lui Barr (în) ") și categorii abeliene (exacte "în sensul lui Buchsbaum (în) ") , este o categorie care cuprinde și generalizează noțiunea de secvență exactă și functor exact .

Categoriile exacte au fost introduse de Daniel Quillen ca parte a teoriei K algebrice .

Definiție

Fie B o categorie abeliană . O categorie exactă este o subcategorie aditivă plină de B , văzută ca datele unei categorii aditive A și a unei clase E de secvențe exacte scurte , care îndeplinește un set de axiome care specifică constrângerile acestei clase. A se presupune extinderi stabile, adică că dacă X și Z sunt în A și că orientarea X → Y → Z este corectă, atunci Y este în A .

Într - o secvență exactă scurt , unde și secvența în sine este numită conflation, f se numește inflație (sau admisibilă monomorfism ) și g se numește deflația (sau admisibilă epimorfism ). Observăm: $X {\ stackrel {f} {\ to}} Y {\ stackrel {g} {\ to}} Z$ ${\ displaystyle (X, f) = ker (g)}$ ${\ displaystyle (Z, g) = coker (f)}$

X {\ stackrel {f} {\ rightarrowtail}} Y {\ stackrel {g} {\ twoheadrightarrow}} Z

Axiomele enunțate de Quillen sunt:

(QE1) E este stabil prin izomorfism și conține toate extensiile divizate, adică secvențele formei . Mai mult, pentru orice continuare deflația este co-nucleul inflației, iar inflația este nucleul deflației; $X \ to X \ oplus Y \ to Y$
(QE2) Deflațiile (respectiv umflările) sunt stabile prin compoziție și schimbarea arbitrară a bazei (respectiv co-bază);
(QE3) Dacă un morfism M → P are un nucleu și poate factoriza o deflație N → P (adică avem N → M → P ), atunci este o deflație în sine. Simetric, dacă un morfism I → K are un cokernel și determină o inflație I → J (adică avem I → K → J ) atunci este o inflație.

S-a dovedit că ultima axiomă este o consecință a primelor două. Yoneda arătase deja acest rezultat, care a fost găsit de Keller în 1990. Acum se numește „axiomă obscură”.

Există mai multe axiomatizări diferite, dar ideea de bază este de a imita comportamentul obișnuit al secvențelor scurte exacte din categoriile abeliene. Că acest obiectiv este atins este rezultatul teoremei lui Quillen- Gabriel .

Un functor F: A → C de la o categorie exactă la alta se spune că este exact atunci când, pentru orice scurtă secvență exactă a lui A

X {\ stackrel {f} {\ rightarrowtail}} Y {\ stackrel {g} {\ twoheadrightarrow}} Z

următoarele

F (X) \ la F (Y) \ la F (Z)

o suită de C exactă .

Teorema lui Quillen-Gabriel

Pentru orice categorie mică mică ( A , E ), există o încorporare într-o categorie abeliană B , astfel încât E să corespundă exact clasei secvențelor scurte exacte din B (în sensul obișnuit al unei secvențe exacte scurte într-o categorie abeliană) . $A \ hookrightarrow B$

Exemple

Conform teoremei Quillen-Gabriel, orice categorie abeliană este în special exactă.
Fie X o diagramă , categoria pachetelor vectoriale algebrice de pe X este o categorie exactă, mulțimea E fiind formată din secvențe exacte scurte împărțite local.

Articole similare

Referințe

Theo Bühler , „ Categorii exacte ”, Expositions Mathematicae , vol. 28, n o 1,2010, p. 1–69 ( ISSN 0723-0869 , DOI 10.1016 / j.exmath.2009.04.004 , citit online , accesat la 9 februarie 2019 )

(ro) Theo Bühler , „ Categorii exacte ” , Expositions Mathematicae , vol. 28, n o 1,2010, p. 1-69 ( citiți online )
(ro) Dieter Happel , Categorii triangulate în reprezentarea algebrelor cu dimensiuni finite , vol. 119, Cambridge University Press,1988
(en) Bernhard Keller , „ Complexe de lanțuri și categorii stabile ” , Manuscripta Mathematica , vol. 67,1990, p. 379-417 ( DOI 10.1007 / BF02568439 )
(ro) Daniel Quillen , „Teoria K algebrică superioară: I” , în Hyman Bass , Teoriile K superioare , Springer, col. „Note de curs în matematică” ( nr . 341),1972( ISBN 978-3-540-06434-3 , DOI 10.1007 / BFb0067053 ) , p. 85-147 DOI : 10.1007 / BFb0067053