Categorie triangulată

În matematică, o categorie triunghiulară este o categorie cu structură suplimentară. Astfel de categorii au fost sugerate de Alexander Grothendieck și dezvoltate de Jean-Louis Verdier în teza sa din 1963 pentru a trata categoriile derivate .

Noțiunea de structură t , care este direct legată de aceasta, face posibilă reconstituirea (în sens parțial) a unei categorii dintr-o categorie derivată.

Definiție

O categorie triunghiulară este o categorie C aditivă prevăzută cu un „functor de traducere aditivă”, o colecție de triunghiuri (numite „triunghiuri distinse”) și care verifică un set de axiome care determină constrângerile pe care triunghiurile pot sau trebuie să fie. Se spune că se disting.

Dacă notăm cu T: C → C funcția de traducere (uneori notată ), atunci un triunghi este un sextuplet format din trei obiecte și trei morfisme: $X [1]$

X {\ stackrel {\ alpha} {\ to}} Y {\ stackrel {\ beta} {\ to}} Z {\ stackrel {\ gamma} {\ to}} TX

Ideea de bază este că într-o astfel de categorie, triunghiurile joacă un rol analog secvențelor exacte .

Axiomele lui Verdier sunt următoarele:

(TR1) Se distinge triunghiul . Pentru orice morfism f: X → Y , există un triunghi distinct („conul de cartografiere” al lui f ). Un triunghi izomorf la un triunghi distins este considerat distins, de asemenea. $X {\ stackrel {\ mathrm {id} _ {X}} {\ longrightarrow}} X \ to 0 \ to TX$ $X {\ stackrel {f} {\ longrightarrow}} Y \ to Z \ to TX$
(TR2) Triunghiul se distinge dacă și numai dacă se distinge triunghiul . $X {\ stackrel {f} {\ to}} Y {\ stackrel {g} {\ to}} Z {\ stackrel {h} {\ to}} TX$ $Y {\ stackrel {-g} {\ longrightarrow}} Z {\ stackrel {-h} {\ longrightarrow}} TX {\ stackrel {-Tf} {\ longrightarrow}} TY$
(TR3) Dacă avem o hartă între două morfisme, axioma (TR3) garantează că există un morfism între cele două conuri de mapare, cu relațiile de comutații. Avem astfel o hartă h (nu neapărat unică) care navetează toate pătratele din următoarea diagramă, unde fiecare linie descrie un triunghi distinct:

(TR4) Dacă ne oferim trei triunghiuri distincte ale formei

X {\ stackrel {f} {\ longrightarrow}} Y {\ stackrel {g} {\ longrightarrow}} Y / X {\ stackrel {} {\ longrightarrow}} TX

Y {\ stackrel {g} {\ longrightarrow}} Z {\ stackrel {k} {\ longrightarrow}} Z / Y {\ stackrel {} {\ longrightarrow}} TY

X {\ stackrel {g \ circ f} {\ longrightarrow}} Z {\ stackrel {l} {\ longrightarrow}} Z / X {\ stackrel {} {\ longrightarrow}} TX

apoi există un triunghi distins

Y / X {\ stackrel {u} {\ longrightarrow}} Z / X {\ stackrel {v} {\ longrightarrow}} Z / Y {\ stackrel {w} {\ longrightarrow}} T (Y / X)

care verifică relațiile de comutare octaedrică.

Există mai multe reformulări ale acestor axiome, în special (TR4).

structuri t și categorii t

Avem următorul fenomen: diferite categorii abeliene pot da categorii derivate echivalente . De fapt, este în general imposibil să se găsească o categorie din derivata sa. Noțiunea de structură t oferă o soluție, neapărat parțială, acestei situații.

Pentru a înțelege ideea de bază, ia în considerare o categorie abeliană A și scrie:

$D = D ^ {b} (A)$ , categoria derivată pentru complexele mărginite;
$D ^ {{\ geq n}}$ subcategoria completă a lui D constând din complexe astfel încât, cu excepția cazului în care i ≥ n ; $H ^ {i} (A) = 0$
$D ^ {{\ leq n}}$ subcategoria completă a lui D constând din complexe astfel încât, cu excepția cazului în care i ≤ n . $H ^ {i} (A) = 0$

Avem următoarele fapte:

(TS1) Dacă și , atunci ; $A \ in D ^ {\ leq 0}$ $B \ în D ^ {\ geq 1}$ $\ operatorname {Hom} (A, B) = 0$
(TS2a) ; $D ^ {\ leq 0} \ subset D ^ {\ leq 1}$
(TS2b) ; $D ^ {{\ geq 1}} \ subset D ^ {{\ geq 0}}$
(TS3) Pentru orice element Y al lui D , avem un triunghi distinct , unde și . $X \ to Y \ to Z \ to TX$ $X \ în D ^ {\ leq 0}$ $Z \ în D ^ {\ geq 1}$

Definiția unei structuri t este modelată pe baza acestor observații.

O structură t pe o categorie triunghiulară D este o pereche care îndeplinește axiomele (TS1), (TS2a), (TS2b) și (TS3) și astfel încât $\ left (D ^ {\ leq 0}, D ^ {\ geq 0} \ right)$

D ^ {\ leq n} = T ^ {- n} D ^ {\ leq 0}

D ^ {\ geq n} = T ^ {- n} D ^ {\ geq 0}

O categorie triunghiulară echipată cu o structură t se numește categorie t .

Inima de T -Structura este categoria abelian . Inima este identificată cu categoria inițială A , cu câteva precauții. În general, și acesta este unul dintre interesele acestei abordări, are proprietăți mult mai bune decât acestea: este deosebit de util în studiul snopilor pe un spațiu cu singularități (prin intermediul snopilor perversi ( fr ) ) și a categoriilor triangulate. $D ^ {{\ leq 0}} \ cap D ^ {{\ geq 0}}$

Exemple

Dacă k este un câmp, categoria k -spaces vector este triangular cu TX = X și triunghiuri distinse sunt toate secvențele exacte ale formei X → Y → Z → X → Y .
Exemplul canonic și rațiunea pentru categoriile triunghiulate: o categorie derivată este triunghiată.
Acest lucru rezultă în special din faptul că categoria de omotopie K (A) a lanțurilor de complexe (en) peste o categorie abeliană A este triangulată: funcționorul de traducere este exact funcția de suspensie a complexelor de lanț (care deplasează indicii d 'o crestătură și schimbați semnul operatorilor de margine), triunghiurile distincte sunt cele rezultate din conul de cartografiere . $X {\ stackrel {f} {\ longrightarrow}} Y \ to \ operatorname {Cone} (f) \ to TX$

Articole similare

Note și referințe

Aceste patru axiome sunt prezente în versiunea originală a lui Verdier. Dar, în realitate, acestea sunt redundante: putem deduce că ne restrângem la un set de trei axiome, deoarece (TR3) este dedus din celelalte (vezi JP mai)
AA Beilinson , J. Bernstein și P. Deligne , Faisceaux pervers , Paris, SMF , col. „Asterisc” ( n o 100)1982

(ro) Donu Arapura, Categorii triangulare și structuri t
Alexander Grothendieck și Jean-Louis Verdier , „Categorii derivate”, în SGA 4½
(ro) J. Peter May , Axiomele pentru categoriile triangulate
(ro) J. Peter May, Aditivitatea urmelor în categoriile triangulate