Categoria modulelor

În matematică, categoria modulelor pe un monoid R este o construcție care explică în mod abstract proprietățile observate în studiul modulilor pe un inel , prin generalizarea lor. Studiul categoriilor de module apare în mod natural în teoria reprezentării și geometria algebrică .

Deoarece R -modul este un spațiu vectorial , atunci când R este un corp comutativ , poate într -un astfel de caz identifică categoria modulelor pe R la categoria spatiilor vectoriale (in) pe corpul R . Pe de altă parte, fiecare grup abelian are o structură naturală a -modulului, ceea ce face posibilă identificarea categoriei modulelor la categoria grupurilor abeliene . $\ mathbb {Z}$ $\ mathbb {Z}$

Definiție

Este C o categorie monoidale și R o monoid de C . Categoria modulelor de pe R , notată R - Mod , este categoria definită după cum urmează:

Obiectele sunt modulele R în C , adică perechile (A, M) cu A un inel comutativ și M un A -modul ;
De Morfismele sunt module morfisme, adica, perechile (φ, u , ) , constând dintr - un morfism de inele φ: A → B și un morfism de A -modulelor . Compoziția este compoziția obișnuită a funcțiilor , iar identitatea este funcția de identitate . $\ mu: M \ to A \ otimes _ {\ phi} M$

Putem înzestra seturile homogene ale lui R - Mod cu o structură de grup abeliană . Într-adevăr, dacă M, N sunt două obiecte și dacă , putem defini $f_ {1}, f_ {2} \ in {\ mathrm {Hom}} _ {{R {\ text {-}} {\ mathrm {Mod}}}} (M, N)$

(f_ {1} + f_ {2}): m \ mapsto f_ {1} (m) + f_ {2} (m)

iar compoziția morfismelor este dată de produsul tensorial rezultat din categoria Ab a grupelor abeliene :

{\ mathrm {Hom}} _ {{R {\ text {-}} {\ mathrm {Mod}}}} (A, B) \ otimes {\ mathrm {Hom}} _ {{R {\ text {- }} {\ mathrm {Mod}}}} (B, C) \ to {\ mathrm {Hom}} _ {{R {\ text {-}} {\ mathrm {Mod}}}} (A, C)

ceea ce face un Ab -îmbogățit categorie (prin urmare , preadditive). Prin extinderea acestei structuri la cea a unui modul R , produsul tensor al modulelor face posibilă dotarea lui R - Mod cu o structură de categorie monoidală , cu R pentru unitate. De asemenea, are un functor intern Hom dat de acest produs tensor, ceea ce îl face o categorie monoidică închisă.

Proprietățile categoriei modulelor

Proprietăți categorice

Categoria R - Modul este preadditiv (en) , aditiv și abelian ;
Categoria R - Mod este monoid închis ;
R - Mod acceptă toate produsele și coprodusele;
R - Mod admite toate nucleele (in) și nucleele ;
R - Mod este o categorie Grothendieck (ro) ;
R - Mod este o bifibrare pe R , dată de funcția de proiecție canonică ; $R {\ text {-}} {\ mathrm {Mod}} \ to {\ mathrm {CRing}}$

Obiecte

Obiectul inițial , final și zero al R - Mod este banalul R- modul ; $\ {0 \}$

Morfisme

De monomorphisms sunt morfisme injective. Mai mult, orice monomorfism este nucleul cokernelului său;
De epimorphisms sunt morfisme surjective. Mai mult, tot epimorfismul este nucleul nucleului său;

Limite

Produsul este produsul direct al modulelor;
Coprodusul este suma directă a modulelor;

Vezi și tu

Articole similare

Teorema de încorporare Freyd-Mitchell
Teorema lui Eilenberg-Watts
Dualitatea Tannaka

Note

Prin convenție, considerăm în general modulele R din stânga.
Aceste obiecte sunt unice, cu excepția izomorfismelor.

Referințe

(ro) Saunders Mac Lane , Categorii pentru matematicianul de lucru [ detaliu ediție ]
(ro) Rankeya Datta, „ Categoria modulelor peste un inel comutativ și categoriile abeliene ”
(ro) Andy Kiersz, „ Colimiți și algebră omologică ”
(ro) „ Mod ” , pe nLab (ro)