Monoid (teoria categoriilor)

Noțiunea de obiect monoid sau monoidal în teoria categoriilor generalizează noțiunea algebrică cu același nume, precum și alte câteva structuri algebrice comune. Este formal un obiect al unei categorii monoidale care verifică anumite proprietăți care amintesc de cele ale monoidului algebric.

Definiție

Să fie o categorie monoidală . Un triplet unde ⟨VS,⊗,Eu⟩{\ displaystyle \ langle C, \ otimes, I \ rangle}(M,μ,η){\ displaystyle (M, \ mu, \ eta)}

• M este un obiect din categoria C  ;
• μ{\ displaystyle \ mu}este un morfism numit „multiplicare”;M⊗M→M{\ displaystyle M \ otimes M \ to M}
• η{\ displaystyle \ eta}este un morfism numit „unitate”;Eu→M{\ displaystyle I \ to M}

se numește monoid atunci când se deplasează următoarele diagrame  :

cu asociativitate, identitate în stânga și identitate în dreapta categoriei monoidale. α{\ displaystyle \ alpha}λ{\ displaystyle \ lambda}ρ{\ displaystyle \ rho}

Într-un mod dual, un comonoid este un monoid din categoria opusă . VSop{\ displaystyle C ^ {\ mathrm {op}}}

O definiție echivalentă este că un monoid este o categorie C îmbogățită cu un singur obiect.

Categoria monoizi

Putem defini categoria de monoizi pe C având: Monu(VS){\ displaystyle \ mathrm {My} (C)}

• monoizi pentru obiecte;
• morfisme care păstrează structura monoidă pentru săgeți.

Dacă și sunt doi monoizi, un morfism păstrează structura monoidului atunci când (M,μ,η){\ displaystyle (M, \ mu, \ eta)}(M′,μ′,η′){\ displaystyle (M ', \ mu', \ eta ')}f:M→M′{\ displaystyle f: M \ to M '}

• f∘μ=μ′∘(f⊗f){\ displaystyle f \ circ \ mu = \ mu '\ circ (f \ otimes f)}
• f∘η=η′{\ displaystyle f \ circ \ eta = \ eta '}.

În special, functorii monoidali  (en) sunt întotdeauna morfisme ale monoizilor.

In caz contrar,

Monu(VS)=LAlgVSLAssovs.{\ displaystyle \ mathrm {My} (C) = \ mathrm {Alg} _ {C} \ mathrm {Assoc}}

adică, categoria monoizilor peste C este identificată cu categoria algebrelor din operația asociativă.

Exemple

• Un monoid din este un monoid obișnuit de algebră  ;⟨Set,×,1⟩{\ displaystyle \ langle \ mathrm {Set}, \ times, 1 \ rangle}
• Un monoid din interior este un inel  ;⟨LAb,⊗Z,Z⟩{\ displaystyle \ langle \ mathrm {Ab}, \ otimes _ {\ mathbb {Z}}, \ mathbb {Z} \ rangle}
• Un monoid din este o k- algebră  ;⟨k-Vevs.t,⊗,1⟩{\ displaystyle \ langle k {\ text {-}} \ mathrm {Vect}, \ otimes, 1 \ rangle}
• Pentru orice categorie C , categoria endomorfismelor [C, C] este monoidală pentru compoziție, iar un monoid din această categorie este o monadă .

Referințe

• (ro) Saunders Mac Lane , Categorii pentru matematicianul de lucru [ detaliu ediție ]
• Porst, Hans-E. Pe categorii de monoizi, comonoizi și bimonoizi , Quaestiones Mathematicae 31.2 (2008): 127-139.

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">