Termenul de probabilitate are mai multe semnificații: provenind istoric din latina probabilitas , desemnează opusul conceptului de certitudine; este, de asemenea, o evaluare a naturii probabile a unui eveniment , adică o valoare face posibilă reprezentarea gradului său de certitudine; recent, probabilitatea a devenit o știință matematică și se numește teoria probabilității sau mai simplu probabilitatea ; în sfârșit, o doctrină poartă și numele de probabilism .
Probabilitatea unui eveniment este un număr real între 0 și 1. Cu cât este mai mare numărul, cu atât este mai mare riscul sau șansa ca evenimentul să se producă. Studiul științific al probabilității este relativ recent în istoria matematicii. Studiul probabilității a cunoscut multe evoluții încă din secolul al XVIII- lea prin studiul aleatoriei și imprevizibilității anumitor fenomene, în special a jocurilor de noroc. Aceștia i-au determinat pe matematicieni să dezvolte o teorie care avea apoi implicații în domenii la fel de variate precum meteorologia , finanțele sau chimia .
Inițial, în traducerile lui Aristotel , cuvântul „probabilitate” nu denota o cuantificare a întâmplării unui fapt, ci percepția că o idee este acceptată în mod obișnuit de toți. Abia în timpul Evului Mediu , apoi al Renașterii , în jurul comentariilor și inexactităților succesive din traducerea operei lui Aristotel , acest termen a cunoscut o schimbare semantică pentru a ajunge să desemneze plauzibilitatea unei idei.
Apariția conceptului de „risc” , înainte de studiul probabilității, a apărut abia în secolul al XII- lea, pentru evaluarea contractelor comerciale cu contractele din tratat Peter Olivi , și s-a dezvoltat în secolul al XVI- lea, odată cu răspândirea contractelor de asigurare maritimă. În afară de unele considerații elementare de către Girolamo Cardano în începutul XVI - lea secol, și de Galileo la începutul XVII - lea secol, începutul real datele teoriei probabilității de corespondență între Pierre de Fermat și Blaise Pascal în 1654.
Acesta a fost în a doua jumătate a XVII - lea secol, în urma opera lui Blaise Pascal , Pierre de Fermat și Christian Huygens privind problema punctelor , termenul „probabilitate“ este de a lua treptat sensul său actual, cu evoluția tratamentului matematic al subiectul de Jakob Bernoulli .
În XVIII - lea secol, Gabriel Cramer a dat un curs pe logica probabilistic , care va deveni o bază la articolul probabilitate de enciclopedie a Diderot , scrise la sfârșitul acestui secol. În secolul al XIX- lea, aceasta poate fi considerată teoria modernă a probabilității matematice.
Calculul probabilităților ia o nouă dezvoltare la începutul secolului XX E , cu axiomatica lui Kolmogorov ; apoi începe teoria probabilității . Probabilitatea devine o știință și o teorie, ca ramură a matematicii.
Astfel, există mai multe concepte pe care le vom detalia în următoarele secțiuni:
Prima utilizare a cuvântului probabilitatea apare în 1370 cu traducerea în etica Nicomaques de Aristotel prin Oresme , și apoi desemnează „caracterul a ceea ce este probabil“. Conceptul de probabil în Aristotel (ενδοξον, în greacă) este astfel definit în Subiecte :
„Sunt probabil opiniile primite de toți oamenii, sau de cei mai mulți dintre ei, sau de cei înțelepți, și dintre aceștia din urmă, fie de toți, fie de cei mai mulți, sau în cele din urmă de cei mai notabili și cei mai ilustri”
Ceea ce face o opinie probabilă în Aristotel este caracterul său general acceptat; doar traducerea lui Cicero în Tematica lui Aristotel, care traduce probabilis sau verisimilis, este că conceptul de probabilitate este asociat cu cel de „probabilitate”, care va avea un impact în timpul Evului Mediu și al Renașterii , cu comentarii succesive asupra opera lui Aristotel .
O propoziție, situație sau propoziție este adevărată sau falsă. Probabilitatea sa este „cunoașterea evidentă a adevărului sau falsității unei propoziții” . Noțiunea de incertitudine este, la rândul său, defectul acestei cunoștințe. Pentru o propunere, există apoi trei cazuri:
Această reprezentare dezvoltată de Cramer face posibilă dezvăluirea unui mod de măsurare a noțiunii de incertitudine sau probabilitate. Apoi oferă următoarea definiție a probabilității:
Definiție (Gabriel Cramer) - Întrucât întreaga certitudine rezultă din asigurarea că cineva are existența tuturor condițiilor necesare anumitor adevăruri și probabilitatea cunoașterii pe care o avem despre existența unora- În una dintre aceste condiții, noi priviți certitudinea ca întreg și probabilitatea ca parte. Prin urmare, gradul corect de probabilitate al unei propoziții va fi exact cunoscut atunci când putem spune și demonstra că această probabilitate crește la jumătate de certitudine sau la trei sferturi din întreaga certitudine, sau doar la o treime din certitudine etc.
După cum sa specificat anterior, noțiunea de probabilitate face posibilă cuantificarea întâmplării. Formalizarea la începutul XX - lea secol este acum utilizat pe scară largă. (de exemplu, consultați cartea lui Jacod și Protter pentru această secțiune)
Probabilitatea unui anumit eveniment A , notată , asociază o valoare cuprinsă între 0 și 1 în care apare evenimentul. Când se spune că evenimentul este aproape sigur (sau aproape sigur), adică are „toate șansele” de a se întâmpla. În schimb , dacă se spune că A este neglijabil (sau aproape imposibil), adică are șanse zero să apară.
Probabilitatea unui eveniment A poate fi obținută într-o manieră frecventistă, în special atunci când este posibil să se efectueze un experiment de mai multe ori și să se numere numărul de succese ale experimentului. Într-adevăr, dacă efectuăm un experiment de n ori independent și că în n A ori a cazurilor, evenimentul A se realizează, atunci probabilitatea lui A este dată de: . Mai probabilistic, atunci când numărul rezultatelor posibile ale experimentului este finit și aceste rezultate sunt la fel de probabile, probabilitatea lui A se obține prin: .
Matematic, evenimentul A este un subset al unui set Ω care reprezintă toate eventualitățile posibile. Pentru a obține o teorie, axiomele au fost propuse de Kolmogorov : probabilitatea trebuie să verifice:
Datorită acestei descrieri, mai multe concepte pot fi scrise într-un mod matematic.
Se spune că două evenimente sunt independente dacă cunoașterea probabilității primului eveniment nu ne ajută să prezicem probabilitatea celui de-al doilea și invers. Matematic, acest lucru este scris: . De exemplu, probabilitatea de a obține un as la prima aruncare de zaruri și de a obține un as la a doua aruncare de zaruri este înmulțirea celor două probabilități și este egală cu 1/36.
Este posibil să se ia în considerare probabilitatea unui eveniment (denotați-l A ) condiționat de un altul ( denotați-l B ). Atunci când cele două evenimente nu sunt independente, faptul de a ști probabilitatea o influențează probabilitatea celuilalt prin formula: . De exemplu, probabilitatea de a obține suma celor două zaruri egală cu 12 atunci când prima matriță este 6 este egală cu 1/6.
Există formule pentru a putea calcula orice tip de probabilitate. Acesta este cazul formulei lui Poincare , legea probabilității totale și teorema Bayes .
Încurajat de Pascal, Christian Huygens a publicat De ratiociniis in ludo aleae (raționamentul jocurilor de zaruri) în 1657. Această carte este prima lucrare majoră despre probabilitate. El definește noțiunea de speranță și dezvoltă mai multe probleme de împărțire a câștigurilor în timpul jocurilor sau extragerilor în urne. De asemenea, trebuie menționate două lucrări fondatoare: Ars Conjectandi de Jacques Bernoulli (postum, 1713) care definește noțiunea de variabilă aleatorie și oferă prima versiune a legii numerelor mari și Teoria probabilității de Abraham de Moivre (1718) care generalizează utilizarea combinatoricii .
Teoria probabilității clasice decolează cu adevărat numai cu noțiunile de măsură și seturile măsurabile pe care Émile Borel le-a introdus în 1897. Această noțiune de măsură este completată de Henri Léon Lebesgue și teoria sa de integrare . Prima versiune modernă a teoremei limitei centrale este dată de Alexander Liapunov în 1901 și prima dovadă a teoremei moderne este dată de Paul Lévy în 1910. În 1902, Andrei Markov a introdus lanțurile Markov pentru a întreprinde o generalizare a legii numărului mare pentru o serie de experiențe care depind unele de altele. Aceste lanțuri Markov vor cunoaște multe aplicații, printre altele pentru modelarea distribuției sau pentru indexarea site-urilor web pe Google.
Abia în 1933 teoria probabilității a apărut dintr-un set de metode și exemple variate și a devenit o teorie reală, axiomatizată de Kolmogorov .
Kiyoshi Itô stabilește o teorie și o lemă care îi poartă numele în anii 1940. Acestea permit legătura dintre calculul stochastic și ecuațiile diferențiale parțiale , făcând astfel legătura dintre analiză și probabilități. Matematicianul Wolfgang Doeblin a schițat la rândul său o teorie similară înainte de a se sinucide după înfrângerea batalionului său dinIunie 1940. Lucrările sale au fost trimise Academiei de Științe într-un plic sigilat care nu a fost deschis decât în 2000.
AxiomaticLa începutul XX - lea secol Kolmogorov definește axiome matematice pentru a investiga accidentul. Astfel, el construiește spațiul posibilităților, numit univers , care conține toate șansele posibile, el îi oferă un set care conține subseturile universului, numit trib , și cu o măsură de probabilitate care face posibilă calcularea corespunzătoare probabilități. Spațiul astfel construit satisface cele trei axiome ale probabilităților:
Pentru a putea gestiona mai bine șansa, este convenabil să folosiți o variabilă aleatorie . Poate fi real , dar poate fi și multidimensional sau chiar mai general. Această variabilă reală este, în teorie, o aplicație: că fiecare pericol combină rezultatele experimentului .
Această variabilă are o distribuție a valorilor sale dată de legea probabilității , care este o măsură. Acesta din urmă poate fi reprezentat în multe feluri, cel mai frecvent fiind prin utilizarea funcției de distribuție , a densității probabilității (dacă există) sau a funcției de masă , dacă este cazul. Multe proprietăți ale legilor probabilității și, prin urmare, ale variabilelor aleatorii, pot fi studiate: așteptare , momente , independență între mai multe variabile etc.
Teoreme de convergență și limiteEste posibil să se ia în considerare un număr infinit de variabile aleatorii . În acest caz, există o posibilă limită? Apare atunci problema noțiunii de convergență aleatorie. Există mai multe tipuri de convergențe: convergența în drept care este convergența legii variabilei (ca măsură), convergența în probabilitate , convergența aproape sigură sau chiar convergența în medie .
Există atunci multe teoreme de limitare. Cele mai cunoscute sunt: legea numerelor mari care anunță că media primelor n variabile aleatorii converge către media teoretică a legii comune a variabilelor aleatoare; teorema limită centrală , care dă renormalizare corectă a sumei variabilelor aleatoare pentru a avea o limită de non-triviale.
Calcul stocastic este studiul fenomenelor care evoluează în timp la întâmplare. Timpul poate fi modelat într-un mod discret, adică prin valorile întregi :, în acest caz fenomenul este reprezentat de o secvență (infinită) de variabile aleatoare: este o plimbare aleatorie . Timpul poate fi, de asemenea, modelat continuu, adică prin valori reale sau , atunci este un proces stocastic .
Mai multe proprietăți sunt apoi legate de calculul stochastic: proprietatea Markov anunță că viitoarea mișcare a fenomenului depinde doar de starea actuală și nu de mișcarea trecută; recurența și efemeritatea unui lanț Markov asigură returnarea sau trecerea unic într - un anumit stat; o martingală este un proces astfel încât starea viitoare este determinată în medie de starea actuală etc.
Doctrina de probabilitate, altfel cunoscut probabilism , este o teologie morală catolică , care a dezvoltat în timpul XVI - lea lea, sub influența, printre altele, Bartolomé de Medina și iezuiți . Odată cu apariția doctrinei de probabilitate, acest termen se va vedea o schimbare semantică pentru a desemna în cele din urmă la mijlocul XVII - lea secol, caracterul probabil al unei idei.
Probabilitatea unui aviz atunci desemnează mijlocul XVII - lea secol, este probabilitatea ca un aviz adevărat. Nu a fost până la sfârșitul anului al XVII - lea secol, cu apariția de probabilitate matematică, că noțiunea de probabilitate se va referi numai la mai multe opinii și idei , dar și faptele și vor aborda noțiunea de șansă pe care le cunoaștem astăzi.
Când se studiază un fenomen aleatoriu, există mai multe modalități de abordare a noțiunii de probabilitate legată de acest fenomen.
Apare apoi o noțiune filosofică: întrucât cunoaștem natura și lumea din jurul nostru doar prin experiența noastră și punctul nostru de vedere, o cunoaștem doar subiectiv și nu putem estima cu exactitate legile obiective care le guvernează.
IPCC folosește un limbaj natural calibrat pentru rezumatele pentru factorii de decizie din rapoartele sale.
„Următoarele calificări au fost utilizate pentru a indica probabilitatea evaluată a unui rezultat: aproape sigur (99-100% probabilitate), foarte probabil (90-100%), probabil (66-100%), aproximativ la fel de probabil ca nu (33 la 66%), puțin probabil (0 la 33%), foarte puțin probabil (0 la 10%), excepțional de puțin probabil (0 la 1%). Probabilitatea evaluată este indicată cu caractere italice: de exemplu, foarte probabil ... Alte calificative pot fi folosite și acolo unde este cazul: extrem de probabil (95 până la 100%), mai probabil decât nu (> 50 până la 100%), mai puțin probabil decât probabil ( 0 la <50%) și extrem de puțin probabil (0 la 5%). În cele din urmă, acest raport folosește și expresiile „interval probabil” și „interval foarte probabil”, ceea ce înseamnă că probabilitatea evaluată a unui rezultat este cuprinsă între 17 și 83% sau 5 până la 95%. "
Jocurile de noroc sunt cea mai naturală aplicație a probabilității, dar există multe alte domenii care se bazează sau folosesc probabilitatea. Acestea includ, printre altele:
Există mai multe modalități de abordare a probabilităților: calculul a priori și calculul a posteriori . (vezi secțiunea de interpretare a probabilităților de mai sus). Calculul probabilităților a posteriori corespunde unei atribuții a valorilor probabilităților necunoscute datorită teoremei lui Bayes .
Pentru a estima probabilitățile, se utilizează estimatori statistici pentru a aproxima mai bine variabila dorită. Un estimator este o valoare calculată dintr-un eșantion din totalul populației studiate. Un estimator este bine ales, adică va oferi o estimare bună a valorilor căutate, dacă este un estimator imparțial și convergent; adică media empirică se apropie de media teoretică și estimatorul converge la variabila aleatorie corectă pe măsură ce mărimea eșantionului crește. Metoda de maximă probabilitate face posibilă alegerea unui estimator bun.
Prin aceste metode, este posibil să se găsească parametrii necunoscuți ai unei legi a probabilității asociate cu fenomenul studiat.
Revizuirea bayesiană este o altă metodă pentru calcularea probabilităților posterioare . Acest lucru se realizează grație teoremei lui Bayes : În această formulă, ipoteza reprezintă ceea ce presupunem a priori despre fenomenul aleatoriu, dovada este o parte a fenomenului pe care îl cunoaștem și pe care îl putem măsura. Termenul se numește probabilitate . În acest fel, este posibil să se măsoare probabilitatea a posteriori a ipotezei pe care am stabilit-o luând în considerare dovada .
Exemplul 1Frecvența empirică este utilizată pentru a estima probabilitățile. Într-un eșantion de n indivizi, este suficient să se numere de câte ori individul aparține categoriei A căutate. Notând acest număr printre n extrageri, frecvența este apropiată de probabilitatea dorită . La 400 de aruncări de monede, dacă apare de 198 de ori fața laterală , rezultă că probabilitatea de a obține fața este de aprox . Acesta este un caz special al legii numărului mare . 0,495 este valoarea estimată a .
Exemplul 2Se cunoaște o listă de valori , se presupune că are o distribuție normală a cărei medie m este cunoscută. Întrebarea este de a găsi abaterea standard σ a distribuției normale. Statistic T definit de o estimator de σ , adică ea tinde să sigma ca n tinde la infinit.
Exemplul 3Ne întrebăm cum va fi vremea mâine, prognoza meteo oferă informații suplimentare. Sunt cunoscute Unele date: probabilitatea ca vremea bună prognoză știind că el de fapt , va fi bine: probabilitatea ca vremea bună prognoză știind că va ploua: .
Se alege o ipoteză: de exemplu , adică considerăm, a priori , că există una din două șanse ca vremea să fie bună mâine.
Apoi este posibil să se calculeze probabilitatea ca prognoza meteo să anunțe vreme bună: adică prognoza meteo anunță vreme bună în 55% din cazuri. Probabilitatea ca mâine să fie însorit știind că prognoza meteo a anunțat vreme bună este dată de:
Apoi, este posibil să se revizuiască a doua oară presupunerea că vremea va fi bună, urmărind un al doilea raport meteo dintr-o altă sursă. Am lua apoi ca o nouă ipoteză noua probabilitate calculată de a avea vreme bună.