Eveniment (probabilități)

În teoria probabilității , un eveniment legat de un experiment aleatoriu este un subset al rezultatelor posibile pentru acel experiment (adică un anumit subset al universului legat de experiment). Deoarece un eveniment este adesea definit de o propunere, trebuie să putem spune, cunoscând rezultatul experimentului aleatoriu, dacă evenimentul a fost realizat sau nu în timpul acestui experiment.

De exemplu, luați în considerare experimentul aleatoriu de a arunca o matriță pe 6 fețe. Rezultatul său este dat, când matrița se oprește, de numărul de puncte purtate de fața superioară a matriței. Setul posibilelor rezultate ale unei aruncări este, prin urmare, setul {1,2,3,4,5,6}. În sensul indicat mai sus, setul {2,4,6}, care este un subset al rezultatelor posibile, constituie un eveniment. Poate fi formulat și în intenție prin propoziție: pentru a obține un rezultat uniform .

Dacă aruncăm zarurile și obținem 5 ca rezultat, vom spune că evenimentul care obține un rezultat egal nu se realizează. În intenție, acest lucru este justificat de faptul că 5 nu este egal. S ccording la set-abordare este justificată de faptul că . Pe de altă parte, dacă obținem 2 ca rezultat, vom spune că evenimentul care obține un rezultat egal se realizează, deoarece 2 este egal sau pentru că . Putem reține că, în funcție de viziunea stabilită, un eveniment este realizat printr-un experiment dacă și numai dacă rezultatul acestui experiment aparține evenimentului (ca întreg). 5∉{2,4,6}{\ displaystyle 5 \ notin \ {2,4,6 \}}2∈{2,4,6}{\ displaystyle 2 \ in \ {2,4,6 \}}

Viziunea setată este mai relevantă decât viziunea intenționată atunci când vrem să descriem în ansamblu combinațiile de evenimente, probabilitățile acestora etc. De exemplu, dacă A și B sunt două evenimente, eveniment comun, desemnate pentru propunerea A și B corespunde intersecție SET-: . Tot pe exemplul unei role mor, știind că evenimentul obținerea unui rezultat mai mare decât 3 este mulțimea {4,5,6}, evenimentul comun obținerea unei mai mari rezultat chiar decât 3 este setul: . Opusul unui eveniment este complementul său în setul de posibilități. Pentru lansarea matriței, obținerea unui rezultat care nu este chiar este complementul lui {2,4,6} în {1,2,3,4,5,6}, adică setul {1,3,5} . În cele din urmă, viziunea set este, de asemenea, convenabilă pentru definirea probabilității unui eveniment, deoarece este egală (în cazul discret), raportul dintre cardinalul evenimentului (ca set) și cardinalul setului de rezultate posibile. Pentru exemplul nostru de lansare: LA∩B{\ displaystyle A \ cap B}{2,4,6}∩{4,5,6}={4,6}{\ displaystyle \ {2,4,6 \} \ cap \ {4,5,6 \} = \ {4,6 \}}

P(obțineți un rezultat uniform)=vs.lard({2,4,6})vs.lard({1,2,3,4,5,6})=36=0,5{\ displaystyle \ mathbb {P} ({\ text {obține un rezultat egal}}) = {\ frac {card (\ {2,4,6 \})} {card (\ {1,2,3,4 , 5,6 \})}} = {\ frac {3} {6}} = 0,5}

Definiție

Să fie universul unui experiment aleator , un trib pe , și spațiul probabilizable astfel constituit. Orice parte din care aparține tribului se numește eveniment . Ω{\ displaystyle \ Omega}LA{\ displaystyle {\ mathcal {A}}}Ω{\ displaystyle \ Omega}(Ω,LA){\ displaystyle \ left (\ Omega, {\ mathcal {A}} \ right)}Ω{\ displaystyle \ Omega}LA{\ displaystyle {\ mathcal {A}}}

Dacă evenimentul constă dintr-un singur element, atunci vorbim despre un eveniment elementar .

Cazuri speciale

Universul este un eveniment, care reunește toate rezultatele posibile, numite un anumit eveniment . Ω{\ displaystyle \ Omega}

Setul gol este un eveniment, numit eveniment imposibil . ∅{\ displaystyle \ emptyset}

Pentru tot ceea ce aparține , reprezentând un posibil rezultat, singletonul este un eveniment, numit eveniment elementar . ω{\ displaystyle \ omega}Ω{\ displaystyle \ Omega} {ω}{\ displaystyle \ {\ omega \}}

Exemple

Să presupunem că experimentul aleatoriu considerat este aruncarea unei monede. Universul experienței are apoi două rezultate posibile, capete și cozi și putem defini pentru această experiență un trib de patru evenimente: Ω{\ displaystyle \ Omega}

1. evenimentul elementar { stack };
2. evenimentul elementar { față };
3. evenimentul cert = { capete , cozi }, adică să tragă fie capete, fie cozi  ;Ω{\ displaystyle \ Omega}
4. evenimentul imposibil , adică să nu arunci capul sau coada .∅{\ displaystyle \ varnothing}

Să presupunem că avem 52 de cărți și doi jokeri pe o masă și tragem o singură carte. Desenarea unei anumite cărți în universul celor 54 de cărți reprezintă apoi un eveniment elementar . Subseturile (inclusiv evenimentele elementare) sunt pur și simplu numite „evenimente”. Evenimentele din acest univers pot fi:

• "Obtain a king" set format din cei 4 regi (set de patru evenimente elementare),
• „Obțineți un card de inimă” (set de 13 cărți)
• „Ia o figură” (set de 12 cărți).

Să presupunem că un asigurător auto ia în considerare un eșantion de șoferi care prezintă anumite riscuri. Evenimentele care vor fi luate în considerare pot sau nu să depășească o sumă totală de daune mai mare decât deductibilă. Noțiunea de eveniment în probabilități nu este deci identică cu noțiunea de rezultat. Definiția evenimentelor poate depinde, de exemplu, de concepția noastră despre risc (sau invers de noroc).

Setați operațiuni la evenimente

Evenimentele fiind seturi de rezultate, le putem aplica tuturor operațiunilor obișnuite stabilite .

Luați în considerare două evenimente. LA,B∈LA{\ displaystyle A, B \ in {\ mathcal {A}}}

• Noi numim complementare a , notat sau , setul de situații neprevăzute care nu aparțin . LA{\ displaystyle A}LAVS{\ displaystyle A ^ {C}}LA¯{\ displaystyle {\ bar {A}}}LA{\ displaystyle A}
  • LAVS{\ displaystyle A ^ {C}}se realizează dacă și numai dacă nu se realizează.LA{\ displaystyle A}
  • Formal, avem: .LAVS={ω∈Ω∣ω∉LA}{\ displaystyle A ^ {C} = \ {\ omega \ in \ Omega \ mid \ omega \ notin A \}}
• Se numește unirea sau reuniunea evenimentelor, notată (citiți „Uniunea B”), reuniunea contingențelor lor. LA∪B{\ displaystyle A \ cup B}
  • LA∪B{\ displaystyle A \ cup B} se realizează dacă unul dintre cele două evenimente este realizat (sau ambele).
  • Formal, avem: .LA∪B={ω∈Ω∣(ω∈LA)∨(ω∈B)}{\ displaystyle A \ cup B = \ {\ omega \ in \ Omega \ mid (\ omega \ in A) \ lor (\ omega \ in B) \}}
• Numim intersecția sau conjuncția evenimentelor, notate (citiți „A inter B”), ansamblul de contingențe care le sunt comune. LA∩B{\ displaystyle A \ cap B}
  • LA∩B{\ displaystyle A \ cap B} se realizează dacă cele două evenimente se desfășoară simultan.
  • Formal, avem: .LA∩B={ω∈Ω∣(ω∈LA)∧(ω∈B)}{\ displaystyle A \ cap B = \ {\ omega \ in \ Omega \ mid (\ omega \ in A) \ land (\ omega \ in B) \}}
• Numim diferența setată a evenimentelor, notată (citiți „A minus B”), setul de eventualități care aparțin, dar nu . LA∖B{\ displaystyle A \ setminus B}LA{\ displaystyle A}B{\ displaystyle B}
  • LA∖B{\ displaystyle A \ setminus B}se realizează dacă se realizează în timp ce nu este.LA{\ displaystyle A}B{\ displaystyle B}
  • Formal, avem: .LA∖B={ω∈LA∣ω∉B}{\ displaystyle A \ setminus B = \ {\ omega \ în A \ mid \ omega \ notin B \}}

Stabiliți relații între evenimente

Luați în considerare două evenimente. Asa de: LA,B∈LA{\ displaystyle A, B \ in {\ mathcal {A}}}

• Se spune că evenimentele sunt disjuncte dacă nu au nicio eventualitate comună, adică dacă .LA∩B=∅{\ displaystyle A \ cap B = \ varnothing}

• Spunem că este inclus în și observăm dacă aparțin toate contingențele . Realizarea evenimentului implică apoi automat cea a evenimentului .LA{\ displaystyle A}B{\ displaystyle B}LA⊂B{\ displaystyle A \ subset B}LA{\ displaystyle A}B{\ displaystyle B}LA{\ displaystyle A}B{\ displaystyle B}

Setați expresii ale evenimentelor aleatorii

Fie A, B, C trei evenimente.

Crescendo, șase cazuri probabile se prezintă experimentului:

• Nu apare niciun eveniment:

LA¯ ∩ B¯ ∩ VS¯ {\ displaystyle {\ bar {A}} \ \ cap \ {\ bar {B}} \ \ cap \ {\ bar {C}} \}

• Exact un eveniment apare:

(LA∖(B∪VS)) ∪ (B∖(VS∪LA)) ∪ (VS∖(LA∪B)) {\ displaystyle \ left (A \ backslash (B \ cup C) \ right) \ \ cup \ \ left (B \ backslash (C \ cup A) \ right) \ \ cup \ \ left (C \ backslash (A \ cupa B) \ dreapta) \}

• Se produce cel puțin un eveniment:

LA ∪ B ∪ VS {\ displaystyle A \ \ cup \ B \ \ cup \ C \}

• Două evenimente la mai apar:

LA¯ ∪ B¯ ∪ VS¯ {\ displaystyle {\ bar {A}} \ \ cup \ {\ bar {B}} \ \ cup \ {\ bar {C}} \}

• Au loc cel puțin două evenimente:

(B∩VS) ∪ (VS∩LA) ∪ (LA∩B) {\ displaystyle \ left (B \ cap C \ right) \ \ cup \ \ left (C \ cap A \ right) \ \ cup \ \ left (A \ cap B \ right) \}

• Toate cele trei evenimente au loc:

 LA ∩ B ∩ VS {\ displaystyle \ A \ \ cap \ B \ \ cap \ C \}

(Formulele pot fi generalizate la un set N de evenimente.)