Martingale (calcul stocastic)

O martingală este o secvență de variabile aleatorii (cu alte cuvinte, un proces stochastic ), cum ar fi așteptarea matematică la momentul respectiv , condiționată de informațiile disponibile la un moment anterior , notate , este (cu ). Xt{\ displaystyle X_ {t}} E(Xt){\ displaystyle E (X_ {t})}t{\ displaystyle t}s{\ displaystyle s}Fs{\ displaystyle F_ {s}}E(Xt|Fs)=Xs{\ displaystyle E (X_ {t} | F_ {s}) = X_ {s}}s≤t{\ displaystyle s \ leq t}

În special, într-un proces discret (număr întreg t) . E(Xt+1|X0,X1,...Xt)=Xt{\ displaystyle E (X_ {t + 1} | X_ {0}, X_ {1}, ... X_ {t}) = X_ {t}}

O martingală poate modela câștigurile / pierderile acumulate de un jucător în timpul repetărilor independente ale unui joc de șansă de așteptare zero (chiar dacă jucătorul își permite să-și schimbe miza pe baza câștigurilor din trecut), de unde împrumutul termenului martingale din lumea jocurilor .

Vom spune că este un proces potrivit pentru filtrare . X{\ displaystyle X} F{\ displaystyle F}

Vom vorbi despre sub-martingale if și super-martingale if . E(Xt|Fs)≥Xs{\ displaystyle E (X_ {t} | F_ {s}) \ geq X_ {s}}E(Xt|Fs)≤Xs{\ displaystyle E (X_ {t} | F_ {s}) \ leq X_ {s}}

Definiții

Proces stochastic

Un proces stocastic este o familie de variabile aleatorii , de obicei indexate de sau . R+{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {+}}NU{\ displaystyle \ mathbb {N}}

Filtrare

O filtrare este o serie crescândă de triburi (sau sigma-algebre) , adică . (Fnu)nu≥0{\ displaystyle ({\ mathcal {F}} _ {n}) _ {n \ geq 0}}Fnu⊂Fnu+1,  ∀nu∈NU{\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {n} \ subset {\ mathcal {F}} _ {n + 1}, \ \ \ forall n \ in \ mathbb {N}}

Filtrare naturală

Fie o serie de variabile aleatorii. Spunem că este definit prin filtrarea naturală a secvenței . (Xnu)nu≥0{\ displaystyle (X_ {n}) _ {n \ geq 0}}(Fnu)nu≥0{\ displaystyle ({\ mathcal {F}} _ {n}) _ {n \ geq 0}}Fnu=σ(X0,...,Xnu), ∀nu∈NU{\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {n} = \ sigma (X_ {0}, \ ldots, X_ {n}), \ \ forall n \ in \ mathbb {N}}(Xnu)nu≥0{\ displaystyle (X_ {n}) _ {n \ geq 0}}

Proces adaptat

Se spune că procesul este potrivit pentru filtrare dacă este -măsurabil pentru orice număr întreg n. (Xnu)nu≥0{\ displaystyle (X_ {n}) _ {n \ geq 0}}(Fnu)nu≥0{\ displaystyle ({\ mathcal {F}} _ {n}) _ {n \ geq 0}}Xnu{\ displaystyle X_ {n}}Fnu{\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {n}}

Martingale în NU{\ displaystyle \ mathbb {N}}

Fie filtrare. (Fnu)nu≥0{\ displaystyle ({\ mathcal {F}} _ {n}) _ {n \ geq 0}}

Fie o serie de variabile aleatorii. (Mnu)nu≥0{\ displaystyle (M_ {n}) _ {n \ geq 0}}

Spunem că este o martingală în ceea ce privește dacă: (Mnu)nu≥0{\ displaystyle (M_ {n}) _ {n \ geq 0}}(Fnu)nu≥0{\ displaystyle ({\ mathcal {F}} _ {n}) _ {n \ geq 0}}

1. (Mnu)nu≥0{\ displaystyle (M_ {n}) _ {n \ geq 0}}este potrivit pentru filtrare .(Fnu)nu≥0{\ displaystyle ({\ mathcal {F}} _ {n}) _ {n \ geq 0}}
2. Mnu{\ displaystyle M_ {n} \,}este integrabil pentru toți numerele întregi n .
3. E(Mnu+1|Fnu)=Mnu{\ displaystyle E (M_ {n + 1} | {\ mathcal {F}} _ {n}) = M_ {n}}.

Dacă respectă primele două condiții, și apoi se numește sub-martingale, și dacă , atunci se numește super-martingale. (Mnu)nu≥0{\ displaystyle (M_ {n}) _ {n \ geq 0}}E(Mnu+1|Fnu)≥Mnu ∀nu{\ displaystyle E (M_ {n + 1} | {\ mathcal {F}} _ {n}) \ geq M_ {n} \ \ forall n}E(Mnu+1|Fnu)≤Mnu ∀nu{\ displaystyle E (M_ {n + 1} | {\ mathcal {F}} _ {n}) \ leq M_ {n} \ \ forall n}

Se spune că este un -martingale. (Mnu)nu≥0{\ displaystyle (M_ {n}) _ {n \ geq 0}}Fnu{\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {n}}

Proces previzibil

Fie filtrare. (Fnu)nu≥0{\ displaystyle ({\ mathcal {F}} _ {n}) _ {n \ geq 0}}

Fie o serie de variabile aleatorii. (Danu)nu≥0{\ displaystyle (Y_ {n}) _ {n \ geq 0}}

Spunem că este un proces previzibil dacă este -măsurabil și este -măsurabil pentru tot numărul întreg n. (Danu)nu≥0{\ displaystyle (Y_ {n}) _ {n \ geq 0}}Da0{\ displaystyle Y_ {0} \,}F0{\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {0}}Danu+1{\ displaystyle Y_ {n + 1} \,}Fnu{\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {n}}

Istoricul numelor

Să prezentăm aici o istorie anti-cronologică a numelui (și nu a conceptului) martingalei (rezultat din această notă)

În teoria probabilității , prima apariție a cuvântului martingală (și nu a conceptului) se regăsește în teza lui Jean Ville (în 1939 ), în capitolul IV, paragraful 2 în expresia: „sistem de joc sau martingală”. El precizează că acest termen este împrumutat din vocabularul jucătorilor. Rețineți că numele în engleză ( martingale ) a fost preluat de la francezi de Joseph Leo Doob , atunci raportor al tezei lui Ville.

Martingala din jocuri

În limba jocurilor , termenul martingale apare pentru prima dată în 1611 în dicționarul francez-englez al lui Randle Cotgrave . Termenul „martingale” este definit prin cuvintele: absurd, prostesc, nepotrivit, grosolan, grosolan, în modul cel mai familiar ( absurd, prost, enervant, aproximativ, brutal urât ). În dicționarul Abbé Antoine François Prévost din 1750 , se propune o strategie care constă în faptul că jucătorul își dublează pariul la fiecare pierdere „să se retragă cu un câștig sigur, presupunând că va câștiga o dată”. S-ar putea crede că această strategie poate fi considerată absurdă . Conform unei expresii provensale, jouga a la martegalo înseamnă: a juca într-un mod de neînțeles, absurd . Rețineți că termenul martingale a apărut în dicționarul Academiei Franceze în 1762 .

Este absurdă martingala  ?

Termenul martegalo se referă la locuitorii din Martigues . Locația retrasă a Martigues , secolul  al XVI- lea, „și-a câștigat locuitorilor reputația de naivitate proverbială”  ; li se atribuie o anumită „trândăvie”, „naivitate”, precum și „observații batjocoritoare”.

Proprietăți

Proprietatea 1

Fie o martingală. (Mnu)nu≥0{\ displaystyle (M_ {n}) _ {n \ geq 0}}

Avem E(Mnu+1)=E(E(Mnu+1|Fnu))=E(Mnu)=...=E(M0){\ displaystyle E (M_ {n + 1}) = E (E (M_ {n + 1} | {\ mathcal {F}} _ {n})) = E (M_ {n}) = \ ldots = E (M_ {0})}

Cu alte cuvinte, secvența este constantă. (E(Mnu))nu≥0{\ displaystyle (E (M_ {n})) _ {n \ geq 0}}

Exemple de martingale

• Fie o variabilă aleatorie integrabilă și .X{\ displaystyle X \,}Xnu: =E(X|Fnu){\ displaystyle X_ {n}: = E (X | {\ mathcal {F}} _ {n})}

La fel și un -martingale. (Xnu)nu{\ displaystyle (X_ {n}) _ {n} \,}Fnu{\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {n}}

• Fie o serie de variabile aleatoare independente și centrate.(Xk)k{\ displaystyle (X_ {k}) _ {k} \,}

Secvența definită de este o -martingale cu . (Snu)nu{\ displaystyle (S_ {n}) _ {n} \,}Snu: =∑k=1nuXk{\ displaystyle S_ {n}: = \ sum _ {k = 1} ^ {n} X_ {k}}Fnu{\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {n}}Fnu=σ(X0,...,Xnu){\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {n} = \ sigma (X_ {0}, \ ldots, X_ {n})}

• Fie un -martingale, fie un proces mărginit previzibil cu privire la .(Xnu)nu{\ displaystyle (X_ {n}) _ {n}}Fnu{\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {n}}(Danu)nu{\ displaystyle (Y_ {n}) _ {n}}(Fnu)nu{\ displaystyle ({\ mathcal {F}} _ {n}) _ {n}}

Deci, definit de este un -martingale. (Znu)nu{\ displaystyle (Z_ {n}) _ {n} \,}Znu: =Da0X0+∑k=1nuDak(Xk-Xk-1){\ displaystyle Z_ {n}: = Y_ {0} X_ {0} + \ sum _ {k = 1} ^ {n} Y_ {k} (X_ {k} -X_ {k-1})}Fnu{\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {n}}

• Martingala lui Doob

Studiem așteptarea condițională a unei variabile aleatoare X în funcție de o succesiune de variabile aleatoare definite pe același spațiu de probabilitate și stabilim: (Danu)nu∈NU{\ displaystyle (Y_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}

Xnu=E[X|Da0,...,Danu]{\ displaystyle X_ {n} = \ mathbb {E} [X | Y_ {0}, ..., Y_ {n}]}

Secvența lui se numește martingala lui Doob. (Xnu)nu∈NU{\ displaystyle (X_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}

• Martingale din Wald

Definim secvența în funcție de funcția generatoare a unei secvențe de variabile aleatoare independente distribuite identic(Xnu)nu∈NU{\ displaystyle (X_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}(Danu)nu∈NU{\ displaystyle (Y_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}

Xnu=et∑eu=1nuDaeuE[etDa]-nu{\ displaystyle X_ {n} = e ^ {t \ sum _ {i = 1} ^ {n} Y_ {i}} \, \ mathbb {E} [e ^ {tY}] ^ {- n}}

Secvența lui se numește martingala Wald. (Xnu)nu∈NU{\ displaystyle (X_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}

• Exemplu de martingală în timp continuu

De exemplu, putem defini martingale cu mișcări browniene. Aceasta are multe legături cu integrarea stocastică. Începem prin definirea filtrării ca fiind filtrarea naturală a unei mișcări browniene standard . Deci procesul stochastic este o martingală. Aceasta oferă, de asemenea, descompunerea Doob a submartingalei(Bt)t{\ displaystyle (B_ {t}) _ {t}}(Mt=Bt2-t)t{\ displaystyle (M_ {t} = B_ {t} ^ {2} -t) _ {t}}(Bt2)t{\ displaystyle (B_ {t} ^ {2}) _ {t}}

Martingale și timpii morți

Teorema 1

Fie o martingală, cât și o perioadă de nefuncționare . (Mnu)nu{\ displaystyle (M_ {n}) _ {n} \,}Fnu{\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {n}}T{\ displaystyle T \,}

Apoi este o martingală (numită „martingala oprită”). (Mnu∧T)nu{\ displaystyle (M_ {n \ wedge T}) _ {n} \,}

Demonstrație

• Mnu∧T=∑j=1nu-1Mj∗1(T=j)+Mnu∗1(T≥nu){\ displaystyle M_ {n \ wedge T} = \ sum _ {j = 1} ^ {n-1} M_ {j} * 1 _ {(T = j)} + M_ {n} * 1 _ {(T \ geq not)}}.

∀k<nu Mk et 1(T=j){\ displaystyle \ forall k <n \ M_ {k} \ și \ 1 _ {(T = j)}}sunt măsurabile. Fnu{\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {n}}

(T≥nu)=(T<nu)vs.=(⋃k=0nu-1(T=k))vs.∈Fnu{\ displaystyle (T \ geq n) = (T <n) ^ {c} = (\ bigcup _ {k = 0} ^ {n-1} (T = k)) ^ {c} \ in {\ mathcal {F}} _ {n}}.

Deci este măsurabil Mnu∧T{\ displaystyle M_ {n \ wedge T} \,}Fnu{\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {n}}

• |Mnu∧T|≤|Mnu|+|∑j=1nu-1Mj|{\ displaystyle | M_ {n \ wedge T} | \ leq | M_ {n} | + | \ sum _ {j = 1} ^ {n-1} M_ {j} |}deci este integrabil.Mnu∧T{\ displaystyle M_ {n \ wedge T} \,}

• E(Mnu+1∧T|Fnu)=E(∑j=1nu-1+1Mj∗1(T=j)|Fnu)+E(Mnu+1∗1(T≥nu+1)|Fnu){\ displaystyle E (M_ {n + 1 \ wedge T} | {\ mathcal {F}} _ {n}) = E (\ sum _ {j = 1} ^ {n-1 + 1} M_ {j} * 1 _ {(T = j)} | {\ mathcal {F}} _ {n}) + E (M_ {n + 1} * 1 _ {(T \ geq n + 1)} | {\ mathcal { F}} _ {not})}.

Sau sunt măsurabile , la fel pentru . Mj et 1(T=j){\ displaystyle M_ {j} \ și \ 1 _ {(T = j)}}Fnu{\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {n}}∀j≤nu{\ displaystyle \ forall j \ leq n}1(T≥nu+1){\ displaystyle 1 _ {(T \ geq n + 1)}}

E(Mnu+1∧T|Fnu)=∑j=1nuMj∗1(T=j)+1(T≥nu+1)∗E(Mnu+1|Fnu)=∑j=1nuMj∗1(T=j)+1(T≥nu+1)∗Mnu=Mnu∧T{\ displaystyle E (M_ {n + 1 \ wedge T} | {\ mathcal {F}} _ {n}) = \ sum _ {j = 1} ^ {n} M_ {j} * 1 _ {(T = j)} + 1 _ {(T \ geq n + 1)} * E (M_ {n + 1} | {\ mathcal {F}} _ {n}) = \ sum _ {j = 1} ^ { n} M_ {j} * 1 _ {(T = j)} + 1 _ {(T \ geq n + 1)} * M_ {n} = M_ {n \ wedge T}}.  

Corolar

E(M0)=E(Mnu∧T){\ displaystyle E (M_ {0}) = E (M_ {n \ wedge T})}.

Bibliografie

• Procese stochastice, Dominique Foata și Aimé Fuchs, Dunod, 2004, ( ISBN  2 10 048850 3 )
• (ro) David Williams, Probability with martingales , Cambridge University Press,2018( 1 st  ed. 1991) ( ISBN  978-0-521-40605-5 )

Note și referințe

1. [1] istoria martingalelor , Roger Mansuy, Math. & Știință. zumzet. / Matematică Științe sociale ( 43 rd  an, n ° 169, 2005 (1), p. 105-113)
2. Ville, J., Studiu critic al noțiunii de colectiv , Paris, Gauthier-Villars,1939
3. A Dictionarie of the French and English Tongues A Dictionarie of the French and English Tongues , Randle Cotgrave, ediția originală din 1611.
4. [2] Lexicon manual sau dicționar portabil de cuvinte François ( 1750 ).
5. [3] , vezi Lou Trésor dou Félibrige sau Dicționar provensal-francez (1879), de Frédéric Mistral pentru expresii provensale.
6. unde denotă tribul generat de deci setul de părți aleσ(X0,...,Xnu){\ displaystyle \ sigma (X_ {0}, \ ldots, X_ {n})}Xeu{\ displaystyle X_ {i}}{X0,...,Xnu}{\ displaystyle \ {X_ {0}, \ ldots, X_ {n} \}}