q -analog
În matematică , mai precis în domeniul combinatoriei , un q -analog al unei teoreme, al unei identități sau al unei expresii este o generalizare care implică un nou parametru q și care se specializează în teorema inițială atunci când cineva ia limita când se apropie 1 De obicei, matematicienii sunt interesați de cazurile în care un q -analog apare în mod natural, mai degrabă decât de cazurile în care adăugăm în mod arbitrar un parametru q la o teoremă deja cunoscută. Primele q analogi studiate în detaliu au fost hipergeometrice seriile de bază, care au fost introduse în XIX - lea secol.
De Q- Analogii găsi aplicații în mai multe domenii, inclusiv studiul fractali , teoria numerelor , și expresii ale entropiei sistemelor dinamice haotice. De q analogi apar și în studiul grupurilor cuantice si superalgebras (in) q -déformées .
Există două grupuri principale de q -analogi: q -analogurile clasice, care au fost introduse în opera lui Leonhard Euler și care au fost apoi extinse de Frank Hilton Jackson (în) și q- analoge neconvenționale.
q - teoria clasică
q -derivativ
Derivata unei funcții variabile reale în este limita ratei de creștere atunci când se apropie și se numește în mod tradițional diferența așa . Dar, pentru non-zero, putem indica și coeficientul astfel încât . Acest ultim coeficient este numit q -derivativ al lui en , care tinde bine spre când tinde spre 1, dacă este derivabil în . Menționăm că , atunci q -derivative funcției este în valoare , care tinde spre bine instrumentul derivat atunci când tinde către 1. Acest lucru justifică următoarea definiție:
f{\ displaystyle f}X{\ displaystyle x}τ=f(X′)-f(X)X′-X{\ displaystyle \ tau = {\ frac {f (x ') - f (x)} {x'-x}}}X′{\ displaystyle x '}X{\ displaystyle x}h{\ displaystyle h}X′-X{\ displaystyle x'-x}τ=f(X+h)-f(X)h{\ displaystyle \ tau = {\ frac {f (x + h) -f (x)} {h}}}X{\ displaystyle x}q{\ displaystyle q}X′/X{\ displaystyle x '/ x}τ=f(qX)-f(X)(q-1)X{\ displaystyle \ tau = {\ frac {f (qx) -f (x)} {(q-1) x}}}f{\ displaystyle f}X{\ displaystyle x}f′(X){\ displaystyle f '(x)}q{\ displaystyle q}f{\ displaystyle f}X{\ displaystyle x}X↦Xnu{\ displaystyle x \ mapsto x ^ {n}}qnu-1q-1Xnu-1{\ displaystyle {\ frac {q ^ {n} -1} {q-1}} x ^ {n-1}}nuXnu-1{\ displaystyle nx ^ {n-1}}q{\ displaystyle q}
q -enumeri
Definim q -analogul întregului pozitiv prin:
nu{\ displaystyle n}
[nu]q=1-qnu1-q=qnu-1q-1=1+q+q2+...+qnu-1.{\ displaystyle [n] _ {q} = {\ frac {1-q ^ {n}} {1-q}} = {\ frac {q ^ {n} -1} {q-1}} = 1 + q + q ^ {2} + \ ldots + q ^ {n-1}.}q -factorial
Apoi definim în mod natural q -analogul factorialului întregului prin:
nu{\ displaystyle n}
nu!q{\ displaystyle n! _ {q}}
|
=[1]q⋅[2]q⋯[nu-1]q⋅[nu]q{\ displaystyle = [1] _ {q} \ cdot [2] _ {q} \ cdots [n-1] _ {q} \ cdot [n] _ {q}}
|
|
=1-q1-q⋅1-q21-q⋯1-qnu-11-q⋅1-qnu1-q{\ displaystyle = {\ frac {1-q} {1-q}} \ cdot {\ frac {1-q ^ {2}} {1-q}} \ cdots {\ frac {1-q ^ {n -1}} {1-q}} \ cdot {\ frac {1-q ^ {n}} {1-q}}}
|
|
=1⋅(1+q)⋯(1+q+⋯+qnu-2)⋅(1+q+⋯+qnu-1).{\ displaystyle = 1 \ cdot (1 + q) \ cdots (1 + q + \ cdots + q ^ {n-2}) \ cdot (1 + q + \ cdots + q ^ {n-1}).}
|
Acest q -analog al factorialului are următoarea interpretare combinatorie: în timp ce este numărul de permutări de ordine , numărați aceleași permutări în timp ce țineți evidența numărului de inversiuni . Asta este de a spune că , dacă există numărul de inversiuni din permutarea și toate permutările de ordin n , avem: .
nu!{\ displaystyle n!}nu{\ displaystyle n}nu!q{\ displaystyle n! _ {q}}inv(σ){\ displaystyle {\ text {inv}} (\ sigma)}σ{\ displaystyle \ sigma}Snu{\ displaystyle S_ {n}}∑σ∈Snuqinv(σ)=nu!q{\ displaystyle \ sum _ {\ sigma \ in S_ {n}} q ^ {{\ text {inv}} (\ sigma)} = n! _ {q}}
Q -factorial este de asemenea concisă în termeni de Pochhammer q -symbols :
nu!q=(q;q)nu(1-q)nu{\ displaystyle n! _ {q} = {\ frac {(q; q) _ {n}} {(1-q) ^ {n}}}}.
q -binomial coeficienți
Din q -factorial, definim coeficienții q -binomiali sau coeficienții binomi gaussieni , q -analogii coeficienților binomiali :
(nuk)q=nu!q(nu-k)!qk!q{\ displaystyle {\ binom {n} {k}} _ {q} = {\ frac {n! _ {q}} {(nk)! _ {q} k! _ {q}}}}, de asemenea, remarcat .
[nuk]q{\ displaystyle \ left [{\ begin {matrix} n \\ k \ end {matrix}} \ right] _ {q}}Acest lucru permite, de asemenea, să definiți un q -analog al exponențialei (în)
eqX=∑nu=0∞Xnu[nu]q!{\ displaystyle e_ {q} ^ {x} = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {x ^ {n}} {[n] _ {q}!}}},
apoi pentru a defini q -analogii funcțiilor trigonometrice și hiperbolice, precum și un q -analog al transformatei Fourier .
q - analogi neclasici
Aplicații
Note și referințe
(fr) Acest articol este preluat parțial sau în totalitate din articolul din Wikipedia
engleză intitulat
„ q-analog ” ( vezi lista autorilor ) .
-
(în) Harold Exton, q-Funcții și aplicații hipergeometrice , E. Horwood, 1983 ( ISBN 978-0-85312491-7 ) .
-
(în) FH Jackson, „We q-functions and has some difference operator”, Trans. Roy. Soc. Edin. , zbor. 46, 1908, p. 253-281.
-
(en) Thomas Ernst , „ O metodă pentru calculul q ” , JNMP , vol. 10, n o 4,2003, p. 487-525 ( citiți online ).
-
(ro) Victor Kac și Pokman Cheung, Quantum Calculus , Springer,2002( citiți online ) , capitolul 1
-
(în) George Pólya și Gábor Szegő , Probleme și teoreme în analiză , vol. Eu, Springer ,1997( 1 st ed. 1972) ( linia citit ) , p. 11. În partea de jos a acestei pagini 11 este scris: „ Cf. CF Gauss: Summatio quarundam serierum singularium, Opera, Vol. 2, în special p. 16-17 . "
-
Cf. de exemplu (în) Eric W. Weisstein , „ q -binomial coefficient ” , pe MathWorld sau (în) „Umbral calculus” , în Michiel Hazewinkel , Encyclopædia of Mathematics , Springer ,2002( ISBN 978-1556080104 , citit online ).
Vezi și tu
Articol asociat
q -derivat (in)
linkuri externe
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">