În matematică și mai precis în teoria homotopiei , conul unei aplicații este un spațiu topologic construit din conul având ca bază spațiul de pornire al aplicației, prin identificarea punctelor acestei baze cu cele ale spațiului de sosire folosind aplicația.
Fie X și Y două spații topologice și f : X → Y o hartă continuă . Conul de harta f sau cofiber omotop lui f , notată cu C f , este spațiul topologic „obținut prin atașarea C ( X ) ( denumit conul X ) la Y -a lungul f “ , adică, să spunem raportul dintre disjuncte uniunea CX ⊔ Y prin identificarea fiecărui element x din x ⊂ CX cu imaginea ei f ( x ) în Y . Mai explicit, este coeficientul uniunii disjuncte X × [0, 1] ⊔ Y prin relația de echivalență : ( x , 0) ∼ ( x ' , 0) și ( x , 1) ∼ f ( x ).
Pentru un morfism al spațiilor punctate f : ( X , x 0 ) → ( Y , y 0 ), coeficient suplimentar cu ( x 0 , t ) ∼ y 0 (pentru toate t ∈ [0, 1] și nu numai pentru t = 1), se obține „conul redus” C ✻ f de f . Aceasta înseamnă înlocuirea, în definiția de mai sus, a conului CX al spațiului cu conul redus C ✻ ( X , x 0 ) al spațiului ascuțit.
Toate aceste proprietăți sunt transpuse în spații ascuțite, luând conurile reduse ale aplicațiilor ascuțite și spațiilor ascuțite.
Conul redus al unui morfism al spațiilor bine punctate este echivalent homotopic cu conul său nededus.
Conurile a două hărți continue homotopice sunt echivalente din punct de vedere homotopic.
Conul unei hărți f este cilindrul dublu al hărților hărții constante a lui X pe un punct și al hărții f .
Pentru un complex CW X , scheletul ( n + 1) X n + 1 este homeomorf pentru conul hărții
reatașarea celulelor ( n + 1), de-a lungul marginii lor, la scheletul n- .
Pentru orice spațiu ascuțit ( X , x 0 ) și orice falcă α: ( S 1 , 1) → ( X , x 0 ), reprezentând un element al grupului fundamental al lui ( X , x 0 ), putem forma conul C ✻ α. În acest con, dantela α devine contractilă, prin urmare clasa sa de echivalență în grupul fundamental al ( C ✻ α, x 0 ) este elementul neutru .
Acest lucru permite, pentru orice grup G definit de generatoare și relații , pentru a construi un 2-complex al cărui grup fundamental G .
Conul aplicației permite interpretarea omologiei relative (en) a unei perechi de spații ( X , A ) ca omologie redusă (en) a coeficientului :
dacă H ✻ este o teorie omologică și i : A → X o cofibrare , atunci
prin aplicarea exciziei pe conul de i .
Un morfism între doi complecși CW conectați pur și simplu este o echivalență homotopică dacă și numai dacă conul său este contractil .
Fie H ✻ o teorie omologică. Harta f : X → Y induce un izomorfism în H ✻ dacă și numai dacă harta punctului din C f induce un izomorfism în H ✻ , adică dacă H ✻ ( C f , ∙) = 0.
Dacă A este un închis pentru X și dacă includerea i a A în X este un cofibration, atunci conul i este homotopically echivalent cu X / A . Ca cofibration de Y în C f este închis , conul este echivalent cu homotopically C f / Y astfel suspensia SX la X . Continuând astfel, conul includerii C f în SX dă suspendarea Y , etc.
Dacă h : Y → Z este o altă aplicație continuă, compusă h ∘ f este homotopically zero , dacă și numai dacă h este extensibil într - o mapare continuă a C f în Z .
Versiunea ascuțită a acestui echivalență demonstrează corectitudinea a secvenței Puppe :
Con de cartografiere (algebră omologică )
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">