Sistem zecimal

Sistemul zecimal este un sistem numeric care folosește baza zece. În acest sistem, puterile a zece și multiplele lor se bucură de reprezentare privilegiată.

Numere zecimale

Sistemul zecimal este utilizat pe scară largă. Astfel se constituie, de exemplu, numerele:

Sisteme de evaluare

Oamenii cu o bază zecimală au folosit diverse tehnici de-a lungul anilor pentru a reprezenta numerele. Iată câteva exemple.

Sistemele numerice ale căror cifre reprezintă puteri de zece sunt de tip aditiv. Acesta este cazul numerotației egiptene . Exemplu: este scris 1506

Lotus-stylized-1000.svg Figura Hiero 100.pngFigura Hiero 100.pngFigura Hiero 100.png Figura Hiero 1.pngFigura Hiero 1.pngFigura Hiero 1.png
Figura Hiero 100.pngFigura Hiero 100.png Figura Hiero 1.pngFigura Hiero 1.pngFigura Hiero 1.png

în script hieroglific (1000 + 100 + 100 + 100 + 100 + 100 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1).

Astfel de sisteme de numerotare sunt, de asemenea, de tip aditiv, dar implică un sistem chinar auxiliar. Acesta este cazul numerelor mansardate, etrusce, romane și chuvash . Exemplu: 2604 este scris MMDCIIII. în cifre romane (1000 + 1000 + 500 + 100 + 1 + 1 + 1 + 1). Numeralul roman cunoaște, de asemenea, o variantă aditivă și subtractivă: 2604, în acest fel, este scris MMDCIV. (1000 + 1000 + 500 + 100 - 1 + 5).

Sisteme numerice care folosesc nouă cifre pentru unități, precum și pentru zeci, sute etc. sunt încă de tip aditiv. Acesta este cazul cifrelor armeni , alfabetice arabe , gotice , grecești și ebraice . Exemplu: 704 este scris ψδ cu cifre grecești ionice (700 + 4).

Sistemele numerice ale căror cifre reprezintă unități și puteri de zece sunt de tip hibrid. Acesta este cazul numerelor chinezești și japoneze . Exemplu: 41 007 este scris 四万 千七 în sistemul japonez (4 × 10.000 + 1.000 + 7). De asemenea, sistemul chinezesc folosește zero pentru a indica pozițiile goale înaintea unităților: 41 007, este scris 四 萬千 〇 七 în cifre chinezești (4 × 10 000 + 1 000 + 0 + 7).

Sistemele numerice ale căror cifre reprezintă unități sunt de tip pozițional . Acesta este cazul non-alfabetic arab , european, majoritatea numerelor numerelor indiene și mongole și thailandeze . Exemplu: 8002 este scris ๘๐๐๒ în cifre thailandeze (8002).

Istoric

Baza zece este foarte veche. Se naște dintr-o alegere naturală, dictată de numărul de degete ale celor două mâini. Cele proto-indo-europeni , probabil , numărate din zece de bază. A fost dezvoltat un sistem de notație zecimală:

Rețineți, totuși, utilizarea sistemelor non-zecimale, dintre care aici sunt câteva exemple.

Baze combinate

Numerotarea zecimală combinată cu o bază auxiliară

Numerele zecimale folosesc uneori baze auxiliare:

Număr zecimal utilizat ca sistem auxiliar

Sisteme de unitate

În China, măsurătorile de capacitate și greutate sunt decimate în jurul anului 170 î.Hr. AD . În Statele Unite, sistemul monetar era zecimal în 1786. În Europa, zecimalizarea unităților a fost inițiată în Franța din 22 august 1790, când Ludovic al XVI-lea a solicitat Academiei de Științe să numească o comisie care să definească unitățile. . Acesta din urmă pledează pentru divizarea zecimală.

Avantaje și dezavantaje

Cele mai multe limbi moderne împart numerele în baza zece din cauza unora dintre punctele sale forte:

Cu toate acestea, abia la generalizarea notației poziționale și la existența unui algoritm de divizare adaptat la această notație, unitățile de măsură își pierd treptat submultiplii non-zecimali - în special, notația care include 3 factori, cum ar fi senarul, duodecimal și octodecimal.

Când lira din Franța a inclus 20 de cenți de 12 denari (sau în Marea Britanie 20 de șilingi de 12 pence ), agenții economici au apreciat că această unitate ar putea fi împărțită exact la 20 de divizori diferiți (inclusiv 1 și 240). În 1971, în ciuda tehnologiei informației care face posibilă acum gestionarea cu ușurință a eterogenității relațiilor non-zecimale dintre submultipli, Marea Britanie nu a ezitat să-și zecimalizeze moneda.

Matematică

Conversia la baza N a unui număr scris în bază zecimală

Pentru a trece de la un număr din baza zecimală la un număr din baza N , putem aplica următoarea metodă:

Fie K numărul în baza zecimală pentru a converti în N bază .

  1. Efectuarea diviziune întreg de K prin N . Fie D rezultatul acestei diviziuni și R restul
  2. Dacă D > = N , începeți de la 1
  3. În caz contrar, scrierea în baza N a lui K este egală cu concatenarea ultimului rezultat și toate resturile începând cu ultimul.

Exemplu: conversia în bază hexazecimală (baza șaisprezece) a numărului 3257 scris în bază zecimală

Știind că 11 (unsprezece) este scris B și 12 (doisprezece) este scris C, scrierea lui 3257 (trei mii două sute cincizeci și șapte) în bază hexazecimală este CB9.

Conversia la baza zecimală a unui număr scris în baza N

Pentru a trece de la un număr din baza N la un număr în baza zecimală, putem aplica următoarea metodă:

Fie K numărul din baza N de convertit.

Pentru orice cifră c de rang r în K , calculăm c × N r . Reprezentarea lui K în baza zece este suma tuturor produselor.

Numărul de r începe de la zero de la dreapta la stânga.

Exemplu
Numărul "10110" din baza doi este scris în baza zece:

1 × 2 4 + 0 × 2 3 + 1 × 2 2 + 1 × 2 1 + 0 × 2 0 = 22 (baza zece)

Exemplu
Numărul "14043" din baza șase este scris în baza zece:

1 × 6 4 + 4 × 6 3 + 0 × 6 2 + 4 × 6 1 + 3 × 6 0 = 2187 (baza zece)

Exemplu
Numărul "3FA" din baza șaisprezece este scris în baza zece:

3 × 16 2 + 15 × 16 1 + 10 × 16 0 = 1018 (baza zece)

Memento: F în baza șaisprezece valorează cincisprezece, A în baza șaisprezece valorează zece.

Note și referințe

  1. Maurice Caveing, Eseu despre cunoașterea matematică: în Mesopotamia și Egiptul antic , Villeneuve d'Ascq, Presses Univ. Nord,1994, 417  p. ( ISBN  2-85939-415-X ) , p.  243,244.
  2. Walter William Rouse Ball O scurtă relatare a istoriei matematicii, Dover Publications, 2001, capitolul I, p.   2 și 4 aritmetica egipteană timpurie (aritmetica în epoca egipteană veche), p.  3 matematică egipteană timpurie , p.  5 matematică egipteană și feniciană , p.  6, 7 și 8 geometrie egipteană timpurie (cu referire la papirusul Rhind și PI), p.   ( ISBN  1402700539 )
  3. Vezi pagina 13 în Matematica Egiptului, Mesopotamiei, Chinei, Indiei și Islamului: o carte sursă , Victor J. Katz și Annette Imhausen , Princeton University Press, 2007
  4. Vezi pagina 118 în Dicționarul enciclopedic de matematică - EDM 2 , Kiyosi Itô, MIT Press, 2000
  5. Templul 2007 , p.  152-154.
  6. Vezi pagina 104 în Știința antică și medievală , René Taton, Quadrige PUF, 1966
  7. Vezi paginile 20-21 în istoria de Științe sub conducerea lui Philippe de Cotardière Tallandier 2004 - Extrase: „La începutul II - lea mileniu, când cuneiforme este acum în loc, un sistem digital unic s' a impus. Acesta este un sistem numeric sexagesimal, adică bazat pe baza șaizeci și nu pe baza zecimală care ne este familiară. "
  8. Vezi paginile 40-41 din Tehnologia Mesopotamiei , Graham Faiella, Editura Rosen, 2006
  9. Vezi pagina 77 în The Princeton Companion to Mathematics editat de Timothy Gowers , June Barrow-Green și Imre Leader , Princeton University Press, 2008
  10. Vezi paginile 111-114 din „Prima scriere: invenția scriptului ca istorie și proces , editat de Stephen D. Houston, Cambridge University Press, 2004
  11. A se vedea, de asemenea, pagina 341 în Abstracție și reprezentare: eseuri despre evoluția culturală a gândirii , Peter Damerow, Luwer Academic Publishers, 1996
  12. A se vedea pagina 16 în Pași fugari - Urmărirea concepției aritmeticii și algebrei în China antică , Lay Yong Lam și Tian Se Ang, World Scientific Publishing, 2004. Extrase (referitoare la baza cifrelor mayașe): „a început ca vigesimal după unitate 1 la 19, dar apoi a trecut la trei sute șaizeci și, în cele din urmă (în locul patru) la șapte mii două sute) . "

Vezi și tu

Bibliografie

Articole similare