În matematică și mai exact în topologie , o aplicație deschisă este o aplicație între două spații topologice care trimit deschideri de la unul la deschiderile de la celălalt. În mod similar, o aplicație închisă trimite închis din primul spațiu în închis din al doilea.
Fie două spații topologice X și Y ; spunem că o hartă f de la X la Y este deschisă dacă pentru orice U deschis de X , imaginea f ( U ) este deschisă în Y ; In mod similar, se spune că f este închis , dacă pentru toate închise U din X , imaginea f ( U ) este închis în Y .
În ambele cazuri, nu este necesar ca f să fie continuu ; deși definițiile pot părea similare, sunt deschise sau închise joacă un rol mult mai puțin important în topologie decât aplicațiile continue în care este imaginea inversă a oricărui deschis din Y care trebuie să fie un X deschis .
Se spune că o hartă f : X → Y este relativ deschisă dacă corestricția sa X → f ( X ) este deschisă.
O hartă f : X → Y este deschisă dacă și numai dacă pentru toate x ale lui X și pentru toate vecinătățile U ale x , f ( U ) este o vecinătate a lui f ( x ).
Pentru a afișa o aplicație este deschisă, pur și simplu verifica pe o bază a spațiului inițial X . Cu alte cuvinte, f : X → Y este deschisă dacă și numai dacă imaginea prin f fiecărei deschise a unei baze de X este deschis.
Aplicațiile deschise și închise pot fi, de asemenea, caracterizate în termeni de interior și aderență . O hartă f : X → Y este:
Compusă din două aplicații deschise este deschis, compus din două aplicații închise este închisă.
Produsul a două serii deschise este deschis, dar, în general, produsul a două pârtii închise nu este închisă.
Pentru orice bijecție f : X → Y bijecția reciprocă f −1 : Y → X este continuă dacă și numai dacă f este deschis (sau închis, care este echivalent pentru o bijecție).
Dacă f : X → Y este o hartă continuă care este fie deschisă, fie închisă, atunci:
În primele două cazuri, a fi deschis sau închis este doar o condiție suficientă; este, de asemenea, o condiție necesară în acest din urmă caz.
Este adesea util să aveți termeni și condiții care să garanteze că o aplicație este deschisă sau închisă. Următoarele rezultate sunt printre cele mai frecvent utilizate.
Orice aplicare continuă de la un spațiu compact la un spațiu separat este (deci curată) închisă.
În analiza funcțională , teorema Banach-Schauder (cunoscută și sub numele de teorema hărții deschise) spune că orice operator liniar continuu surjectiv între spațiile Banach este o hartă deschisă.
În analiza complexă , teorema imaginii deschise spune că orice funcție holomorfă neconstantă definită pe o deschidere conectată a planului complex este o hartă deschisă.
În geometria diferențială , o parte a teoremei inversiunii locale spune că o funcție continuu diferențiată între spațiile euclidiene, a căror matrice iacobiană este inversabilă la un punct dat, este o aplicație deschisă într-un vecinătate a acestui punct. Mai general, dacă o hartă F : U → R m a unei hărți deschise U ⊂ R n în R m este astfel încât diferențialul d F ( x ) este surjectiv în orice punct x ∈ U , atunci F este o hartă deschisă.
În cele din urmă, teorema invarianței domeniului (datorită lui Brouwer și folosind celebra sa teoremă a punctului fix ) spune că este deschisă o hartă continuă și locală injectivă între două varietăți topologice de aceeași dimensiune finită.
N. Bourbaki , Elemente de matematică, cartea III: Topologie generală [ detaliu ediții ], cap. I, § 5