În matematică , o algebră (unitară asociativă) peste un câmp comutativ se spune că este simplă dacă inelul său de bază este simplu , adică dacă nu admite un ideal cu două cozi, altul decât {0} și el - același, și dacă mai mult nu se reduce la 0. Dacă a este un inel simplu , atunci ei centru este un câmp comutativ K , și considerând a ca o algebră peste K , atunci a este un simplu algebra peste K .
Ulterior, notăm cu K un câmp comutativ, iar orice algebră peste K se presupune a fi de dimensiune finită peste K
Se spune că o algebră peste K este centrală dacă nu este redusă la 0 și dacă centrul său este subinelul său K .1. Fie A algebra simplu peste K . In timp ce centrul A este un câmp de extensie (comutativ) Z de K , A poate fi considerată ca o algebră peste Z și A este o singură algebra centrală (in) pe Z . Astfel, o parte din studiul algebrelor simple pe un câmp comutativ se rezumă la studiul algebrelor simple centrale pe un câmp comutativ.
Aici vom studia algebra centrală simpla (sau algebra centrală simplă) pe K .
Exemple
Spunem că o algebră centrală simplă peste K este desfășurată ( împărțită în engleză) dacă există un număr întreg n ≥ 1 astfel încât A este izomorfă pentru algebra M n ( K ) a matricilor pătrate de ordinul n .
Să A o algebră de peste K . Este echivalent să spunem că:
Fie D și D 'algebre cu diviziuni centrale peste K , n și n ' întregi ≥ 1. Pentru ca algebra M n ( D ) și M n ' ( D ') să fie izomorfă, este necesar și suficient ca n = n 'și că algebra D și D ' sunt izomorfe. Fie E și E 'spații vectoriale cu dimensiuni finite diferite de zero pe D și respectiv pe D '. Pentru ca algebrele End D ( E ) și End D ' ( E ') peste K să fie izomorfe, este necesar și suficient ca câmpurile de algebră D și D 'peste K să fie izomorfe și ca dimensiunile lui E și E ' să fie egale .
Clasificarea simplu algebra centrală peste K este deci redus la clasificarea algebrelor diviziunii centrale peste K .
Fie A algebra simplu centrală și M un modul de finit generat peste A . Apoi, K algebră de endomorphisms de M este o singură algebra centrală peste K .
Algebrele centrale simple peste K au mai multe proprietăți remarcabile.
Să o algebră singură centrală peste K și B o algebră simplu peste K . Oricare ar fi homorfismele (unitare) f și g ale lui A în B , există un element inversabil b al lui B astfel încât g ( x ) = bf ( x ) b −1 , pentru orice element x al lui A ( f și g sunt deci conjugate ).
În special, orice automorfism al lui A este un automorfism interior al lui A , adică este de forma x ↦ axa -1 , unde a este un element inversabil al lui A , iar acest automorfism este apoi notat cu Int a . Maparea unui ↦ Int o de grup A * a elementelor inversabile ale A în grupul Aut K ( A ) din automorfisme de K algebră A este surjectiv și kernel este gruparea K * de nenuli scalari K , și astfel obținem un izomorfism al grupurilor din A * / K * pe Aut K ( A ).
Sau D o algebră divizie centrală pe K și E un spațiu vectorial de dimensiune finită n peste K . Atunci grupul de elemente inversabile ale lui End ( E ) este grupul liniar GL ( E ) al lui E , iar harta f ↦ Int f de la GL ( E ) la Aut K (End ( E )) este un homomorfism surjectiv cu nucleul K , și astfel obținem un izomorfism de la GL ( E ) / K * pe Aut K (End ( E )). Dacă n ≥ 2, atunci grupul GL ( E ) / K * este canomic izomorf pentru grupul proiectiv al spațiului proiectiv P ( E ).
Sau O o singură algebră centrală peste K . Atunci dimensiunea lui A peste K este un pătrat d 2 și numim gradul lui A numărul natural d .
Să o algebră singură centrală peste K și a gradului de A . Există o overbody comutativă L de K astfel încât centrala simplu L algebră L ⊗ K A la L dedusă din A prin extensie a scalari de la K la L este dislocat, adică izomorf M d ( L ), și se spune că un astfel de câmp de extensie L al lui K este un corp de neutralizare sau un corp de desfășurare a unui .
Exemple
Există un câmp neutralizant L al lui A, astfel încât dimensiunea lui L este finită, și astfel încât L (considerat ca o extensie a lui K ) să fie Galois .
Sau D o algebră divizie centrală peste K . Atunci există un element maxim L pentru relația de incluziune a setului de subcâmpuri ale lui D care sunt comutative. Atunci L este un corp neutralizant al lui D și, mai general, al lui M n ( D ). Prin urmare, pentru orice spațiu vectorial dimensional finit E pe D , L este un câmp neutralizant al End ( E ).
La un element al algebrei centrale simple, putem asocia scalari care generalizează urmele , determinantul și un polinom care generalizează polinomul caracteristic , matricile pătrate și endomorfismele spațiilor vectoriale pe un câmp comutativ.
Să o algebră singură centrală pe K , de gradul de A , L un corp de neutralizare A și B = L ⊗ K A L algebra simplă central dedus din A prin extensie de scalari K la L . Pentru orice element x al lui A și pentru orice izomorfism al L -algebrelor h din B pe M d ( L ), urmele, determinantul și polinomul caracteristic al matricei h (1 ⊗ x ) ale lui M d ( L ) nu depind de A și x (și nu L sau h ) și se numesc urme reduse , polinom standard mic și caracteristic redus la x în A (din K ) și denotăm Trd A / K ( x ), Nrd A / K ( x ) și respectiv Prd A / K ( x ).
De exemplu, dacă A = M d ( K ) sau A = End K ( E ), unde E este un spațiu vectorial finit diferit de zero peste K , urmele reduse, norma redusă și polinomul caracteristic redus al unui element de A nu sunt altele decât urmele, determinantul și polinomul său caracteristic.
În general :
Fie E un spațiu vectorial dimensional finit n peste câmpul H al cuaternionilor . Atunci gradul A = End H ( E ) este de 2 d . Prin restrângerea scalarilor, putem considera E ca un spațiu vectorial complex E 0 , iar apoi End H ( E ) este o subalgebră reală a unității algebrei centrale simple complexe End C ( E 0 ). Pentru orice endomorfism f al lui E , urma redusă, norma redusă și polinomul caracteristic redus al elementului f al lui A nu este alta decât urma, norma și polinomul caracteristic al elementului f al capătului C ( E 0 ).
Să f fie o endomorphism de E . Numim urma lui f și notăm cu Tr f urma redusă a lui f , împărțită la 2. Norma redusă a lui f este un număr real pozitiv sau zero , iar apoi numim determinant al lui f și notăm prin det f rădăcina pătrată a normei reduse a lui f .