Corpul stâng

În matematică , un câmp stâng sau inel de divizare (uneori numit simplu câmp , vezi mai jos) este una dintre structurile algebrice utilizate în algebra generală . Este un set prevăzut cu două operații binare care fac posibile anumite tipuri de adunare, scădere, multiplicare și divizare. Mai precis, un câmp din stânga este un inel în care setul de elemente diferite de zero este un grup pentru multiplicare.

Conform definiției alese a unui câmp care diferă în funcție de autori (comutativitatea înmulțirii nu este întotdeauna impusă), noțiunea de câmp stâng este fie strict echivalentă cu cea a câmpului (dacă nu este impusă comutativitatea înmulțirii) sau constituie o generalizare a noțiunii de corp (dacă este impusă). Pentru mai multe detalii, ne referim la articolul Corp (matematică) .

Definiție

Un câmp stâng este un inel (unitar), care nu este redus la un element, în care orice element diferit de zero are un invers pentru înmulțire. Cu alte cuvinte, este un inel unitar care nu este redus la un element și în care setul de elemente diferite de zero este un grup pentru multiplicare.

Exemple

Orice câmp comutativ este un câmp stâng.
Cel mai faimos exemplu de câmp stâng necomutativ este cel al cuaternarilor , descoperit de William Rowan Hamilton în 1843 .
Să fie un automorfism al corpurilor. Luați în considerare inelul seriei Laurent formale cu coeficienți complecși cu legea multiplicativă definită după cum urmează: în loc să permiteți pur și simplu coeficienților să treacă cu nedeterminat , pentru că ne poziționăm pentru . Dacă este un automorfism non-trivial al câmpului de complexe (de exemplu conjugarea ), atunci inelul seriei Laurent corespunzătoare este un câmp stâng necomutativ. ${\ displaystyle \ sigma: \ mathbb {C} \ rightarrow \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C} ((z, \ sigma))}$ $z$ $\ alpha \ in {\ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle z ^ {i} \ alpha: = \ sigma ^ {i} (\ alpha) z ^ {i}}$ ${\ displaystyle i \ in \ mathbb {Z}}$ $\ sigma$

Rezultate

O teoremă Wedderburn asigură că orice câmp stâng finit este comutativ.
Având în vedere un modul simplu pe un inel (unitar) R , inelul endomorfismelor acestui modul este un câmp stâng, a priori necomutativ chiar dacă R este. Este una dintre multele forme ale lemei lui Schur .
Centrul unui corp stânga K este prin definiție set Z ( K ) = { x ∈ K | ∀ y ∈ K , xy = yx }. Este un câmp comutativ. Ca rezultat, un câmp stâng este în mod natural prevăzut cu o structură de algebră asociativă peste un câmp comutativ, acesta este un caz particular al algebrei de diviziune . Când dimensiunea lui K pe centrul său este finită, arătăm că este un pătrat .

Note și referințe

André Blanchard, Câmpuri necomutative , PUF,1972, p. 43
André Blanchard, op. cit. , p. 66

Articole similare

Algebra divizională
Identity Hua (ro)
Almost-body (ro)