Algebra unui monoid

În algebra , în special inele teorie , algebra unui monoid M pe un inel comutativ A este o algebră formată din combinații liniare ale elementelor M , la coeficienți în A . Această construcție generalizează cea a inelelor de polinoame și intervine, atunci când M este un grup , în teoria reprezentărilor sale și în definirea omologiei sale . Când A este un inel necomutativ , aceeași construcție nu oferă o A -algebră ci doar un inel.

Definiție

Fie A un inel comutativ (unificat) și M un monoid. Notăm A M O -modul a cererilor de milioane în A . O algebră de M , notat A [ M ], este submodulul lui A M formată din finit suport mapări (adică zero , cu excepția unei părți finită de M ), înzestrat cu definită multiplicare prin:

(fg) (m) = \ sum _ {x, y \ in M, xy = m} f (x) g (y).

Dacă identificăm fiecare element m al lui M cu funcția caracteristică a singletonului { m }, atunci M este identificat cu o parte din A [ M ] și A [ M ] este A - modulul liber de bază M , dotat cu produsul care se extinde (prin bilinearity ) legea monoid M . Mai explicit, se notează un element al lui A [ M ]

f = \ sum _ {m \ in M} f_ {m} m, \ quad f_ {m} \ in A

unde elementele $f m$ sunt aproape toate zero, iar produsul a două astfel de elemente este dat de:

\ left (\ sum _ {x \ in M} f_ {x} x \ right) \ left (\ sum _ {y \ in M} g_ {y} y \ right) = \ sum _ {m \ in M} \ left (\ sum _ {x, y \ in M, xy = m} f_ {x} g_ {y} \ right) m.

Dacă M este un grup, A [ M ] se numește grupul algebra M .

Exemple

Dacă A este inelul ℤ de numere întregi , grupul aditiv al A [ M ] este grupul abelian liber pe M .
Pentru orice mulțime I , algebra polinoamelor A [( X i ) i ∈ I ] este A- algebră a monoidului liber comutativ pe I , adică a monoidului M = ℕ ( I ) al hărților suportului finit al lui I în ℕ (furnizat cu adaos natural), în timp ce algebra polinomial în aceleași variabile, dar non-comutativă , este algebra de monoid liber pe I .
Toate A -algebrele, chiar comutative și unificate, nu sunt algebre ale monoizilor. De exemplu, dacă A este un câmp cu caracteristică diferit de 2, singura A -algebră de rangul 2 monoid este A [ ℤ / 2ℤ ] ≃ A [ X ] / ( X 2 - 1) ≃ A [ X ] / ( X 2 - X ) ≃ A ⊕ A , iar A [ X ] / ( X 2 ) nu este izomorfă pentru aceasta deoarece are un element nilpotent diferit de zero.

Proprietate universală

A posteriori, A [ M ] poate fi caracterizat (cu izomorfism aproape) de o proprietate universal : pentru un fix, ca functorul care în M asociată A [ M ] (din categoria monoids cu cea a A algebre) este deputatul părăsit functor uitat . A [ M ] se numește o algebră liberă a monoid M .

Caz în care inelul nu este comutativ

În cazul în care A nu este comutativ, A [ M ] nu este o algebră peste A , dar centrul A . Prin urmare, este în special un inel.

Este, de asemenea, un A - bimodule .

Referințe

N. Bourbaki , Elements of math : Algebra, capitolele 1-3, Springer , 2007 ( ISBN 978-3-540-33849-9 )
Serge Lang , Algebra [ detaliile edițiilor ]

Articole similare

Algebra unui grup finit
Algebra a groupoid (ro)