Ecuațiile Gauss-Codazzi
În geometria Riemanniană , ecuațiile Gauss-Codazzi-Mainardi sunt ecuații fundamentale în cadrul teoriei hipersuprafețelor imersate într-un spațiu euclidian și, mai general, submanifolduri ale unei varietăți riemanniene . Există, de asemenea, aplicații în cazul suprafețelor imersate într-o varietate pseudo-Riemanniană .
În geometria clasică a suprafeței, ecuațiile Gauss-Codazzi-Mainardi constau dintr-o pereche de ecuații. Prima ecuație, numită uneori ecuația Gaussiană , leagă curbura intrinsecă (sau curbura Gaussiană ) a suprafeței de derivatele hărții Gaussian , prin a doua formă fundamentală . Această ecuație este chiar baza teoremei lui Gauss egregium . A doua ecuație, numită uneori ecuația Codazzi-Mainardi , este o condiție structurală pe a doua derivată a hărții Gauss. Această ecuație implică curbura extrinsecă (sau curbura medie ) a suprafeței. Aceste ecuații arată că componentele celei de-a doua forme fundamentale și derivatele sale clasifică în întregime suprafața până la o transformare euclidiană , care se ridică la una dintre teoremele lui Pierre-Ossian Bonnet .
Declarație formală
Fie i: M ⊂ P o n- subvarietate dimensională cufundată într-o varietate Riemanniană P de dimensiune n + p . Există o incluziune naturală a pachetului tangent al lui M în cel al lui P , iar nucleul este pachetul normal al lui M :
0→TXM→TXP|M→TX⊥M→0.{\ displaystyle 0 \ rightarrow T_ {x} M \ rightarrow T_ {x} P | _ {M} \ rightarrow T_ {x} ^ {\ perp} M \ rightarrow 0.}Valoarea oferă următorul efect exact :
TP|M=TM⊕T⊥M.{\ displaystyle TP | _ {M} = TM \ oplus T ^ {\ perp} M.}Urmând această secvență, conexiunea Levi-Civita ∇ ′ a lui P se descompune într-o componentă tangențială și o componentă normală. Pentru fiecare X ∈ T M și câmpul vector Y pe M ,
∇X′Da=⊤(∇X′Da)+⊥(∇X′Da).{\ displaystyle \ nabla '_ {X} Y = \ top (\ nabla' _ {X} Y) + \ bot (\ nabla '_ {X} Y).}Este
∇XDa=⊤(∇X′Da),α(X,Da)=⊥(∇X′Da).{\ displaystyle \ nabla _ {X} Y = \ top (\ nabla '_ {X} Y), \ quad \ alpha (X, Y) = \ bot (\ nabla' _ {X} Y).}Formula lui Gauss asigură apoi că ∇ X este conexiunea Levi-Civita pentru M și α este o formă diferențială vectorială simetrică cu valori în pachetul normal.
Un corolar imediat este ecuația Gauss. Pentru X , Y , Z , W ∈ T M ,
⟨R′(X,Da)Z,W⟩=⟨R(X,Da)Z,W⟩+⟨α(X,Z),α(Da,W)⟩-⟨α(Da,Z),α(X,W)⟩{\ displaystyle \ langle R '(X, Y) Z, W \ rangle = \ langle R (X, Y) Z, W \ rangle + \ langle \ alpha (X, Z), \ alpha (Y, W) \ rangle - \ langle \ alpha (Y, Z), \ alpha (X, W) \ rangle}unde R este curbura tensorului P și R este M .
Ecuația Weingarten este un analog cu formula Gauss pentru o conexiune în pachet normal. Fie X ∈ T M și ξ un câmp al vectorilor normali. Decompunem apoi derivata covariantă a lui ξ pe X în componente normale și tangențiale:
∇Xξ=⊤(∇Xξ)+⊥(∇Xξ)=-LAξ(X)+DX(ξ).{\ displaystyle \ nabla _ {X} \ xi = \ top (\ nabla _ {X} \ xi) + \ bot (\ nabla _ {X} \ xi) = - A _ {\ xi} (X) + D_ {X} (\ xi).}Asa de
-
Ecuațiile Weingarten :⟨LAξX,Da⟩=⟨α(X,Da),ξ⟩{\ displaystyle \ langle A _ {\ xi} X, Y \ rangle = \ langle \ alpha (X, Y), \ xi \ rangle}
-
D X este o conexiune metrică (en) în pachetul normal.
Există, prin urmare, câteva conexiuni: ∇, definită pe fasciculul tangent al lui M ; și D , setat la pachetul normal al M . Aceste două se combină pentru a da o conexiune cu privire la orice produs tensor T M și T ⊥ M . În special, ele definesc pe deplin derivata covariantă a lui α:
(∇~Xα)(Da,Z)=DX(α(Da,Z))-α(∇XDa,Z)-α(Da,∇XZ).{\ displaystyle ({\ tilde {\ nabla}} _ {X} \ alpha) (Y, Z) = D_ {X} \ left (\ alpha (Y, Z) \ right) - \ alpha (\ nabla _ { X} Y, Z) - \ alpha (Y, \ nabla _ {X} Z).}Ecuația Codazzi-Mainardi dă
⊥(R′(X,Da)Z)=(∇~Xα)(Da,Z)-(∇~Daα)(X,Z).{\ displaystyle \ bot \ left (R '(X, Y) Z \ right) = ({\ tilde {\ nabla}} _ {X} \ alpha) (Y, Z) - ({\ tilde {\ nabla} } _ {Y} \ alfa) (X, Z).}
Enunțul ecuațiilor clasice
În geometria diferențială clasică, ecuațiile Codazzi-Mainardi sunt exprimate în general cu a doua formă fundamentală:
ev-ftu=eΓ121+f(Γ122-Γ111)-gΓ112{\ displaystyle e_ {v} -f_ {u} = e \ Gamma _ {12} ^ {1} + f (\ Gamma _ {12} ^ {2} - \ Gamma _ {11} ^ {1}) - g \ Gamma _ {11} ^ {2}}
fv-gtu=eΓ221+f(Γ222-Γ121)-gΓ122{\ displaystyle f_ {v} -g_ {u} = e \ Gamma _ {22} ^ {1} + f (\ Gamma _ {22} ^ {2} - \ Gamma _ {12} ^ {1}) - g \ Gamma _ {12} ^ {2}}
Dovada ecuațiilor clasice
A doua derivată a unei suprafețe parametrizate (în) poate fi exprimată în bază, precum și simbolurile Christoffel și a doua formă fundamentală.
(Xtu,Xv,NU){\ displaystyle (X_ {u}, X_ {v}, N)}
Xtutu=Γ111Xtu+Γ112Xv+eNU{\ displaystyle X_ {uu} = \ Gamma _ {11} ^ {1} X_ {u} + \ Gamma _ {11} ^ {2} X_ {v} + eN}
Xtuv=Γ121Xtu+Γ122Xv+fNU{\ displaystyle X_ {uv} = \ Gamma _ {12} ^ {1} X_ {u} + \ Gamma _ {12} ^ {2} X_ {v} + fN}
Xvv=Γ221Xtu+Γ222Xv+gNU{\ displaystyle X_ {vv} = \ Gamma _ {22} ^ {1} X_ {u} + \ Gamma _ {22} ^ {2} X_ {v} + gN}
De Schwarz Teorema afirmă că următoarele derivatele parțiale fac naveta:
(Xtutu)v=(Xtuv)tu{\ displaystyle \ left (X_ {uu} \ right) _ {v} = \ left (X_ {uv} \ right) _ {u}}Dacă diferențiem față de v și față de u, obținem:
Xtutu{\ displaystyle X_ {uu}}Xtuv{\ displaystyle X_ {uv}}
(Γ111)vXtu+Γ111Xtuv+(Γ112)vXv+Γ112Xvv+evNU+eNUv=(Γ121)tuXtu+Γ121Xtutu+(Γ122)tuXv+Γ122Xtuv+ftuNU+fNUtu{\ displaystyle \ left (\ Gamma _ {11} ^ {1} \ right) _ {v} X_ {u} + \ Gamma _ {11} ^ {1} X_ {uv} + \ left (\ Gamma _ { 11} ^ {2} \ right) _ {v} X_ {v} + \ Gamma _ {11} ^ {2} X_ {vv} + e_ {v} N + eN_ {v} = \ left (\ Gamma _ {12} ^ {1} \ right) _ {u} X_ {u} + \ Gamma _ {12} ^ {1} X_ {uu} + \ left (\ Gamma _ {12} ^ {2} \ right) _ {u} X_ {v} + \ Gamma _ {12} ^ {2} X_ {uv} + f_ {u} N + fN_ {u}}Dacă înlocuim apoi expresiile de mai sus cu derivatele secundare și egalăm coeficienții lui N:
fΓ111+gΓ112+ev=eΓ121+fΓ122+ftu{\ displaystyle f \ Gamma _ {11} ^ {1} + g \ Gamma _ {11} ^ {2} + e_ {v} = e \ Gamma _ {12} ^ {1} + f \ Gamma _ {12 } ^ {2} + f_ {u}}prin rearanjarea termenilor, găsim prima ecuație Codazzi-Mainardi.
Note și referințe
(fr) Acest articol este preluat parțial sau în întregime din articolul din Wikipedia
engleză intitulat
„ Gauss-Codazzi ecuații ” (a se vedea lista autorilor ) .
-
(La) Carl Friedrich Gauss , " Disquitiones Generales circa Superficies Curvas " , Comm. Soc. Gott. , vol. 6,1828
-
în cinstea lui Gaspare Mainardi (de) (1856) și a lui Delfino Codazzi (1868-1869), care au găsit în mod independent acest rezultat. Cf. (ro) Morris Kline (ro) , Gândirea matematică de la vremuri antice la moderne: volumul 3 , OUP ,1972, 399 p. ( ISBN 978-0-19-506137-6 , citit online ) , p. 885.
-
Ossian Bonnet , „ Memorie asupra teoriei suprafețelor aplicabile unei suprafețe date ”, JEP , vol. 25,1867, p. 31-151
-
Terminologie (în) Michael Spivak , (O introducere cuprinzătoare la) Geometria diferențială [ ediții cu amănuntul ], zbor. 3
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">