Grupul euclidian

În matematică , grupul euclidian notat E (n) sau Is (n) este grupul de simetrie al unui spațiu euclidian de dimensiune n. Elementele sale sunt izometriile care păstrează metrica euclidiană.

Grup liniar euclidian

Un spațiu vectorial euclidian este un spațiu vectorial real de dimensiune finită și prevăzut cu un produs punct .

Grupul de izometrii ale unui spațiu vectorial euclidian de dimensiunea n este notat și include: ${\ displaystyle \ operatorname {O} (n)}$

rotații, care păstrează orientarea și formează un subgrup notat . ${\ displaystyle \ operatorname {SO} (n)}$

a reflexiile și anti-rotație , care nu păstrează orientarea și formează nu un grup (ca nu conține identitatea).

${\ displaystyle \ operatorname {O} (n)}$ este un subgrup al grupului liniar general . ${\ displaystyle \ operatorname {GL} (n, \ mathbb {R})}$

Subgrupuri ale grupului liniar euclidian (de finalizat)

Orice subgrup finit de este fie un grup ciclic , un grup diedru, fie grupul de simetrie al unui poliedru regulat . $\ operatorname {SO} (3)$

Grup afin euclidian

Un spațiu afin euclidian este un spațiu afin al cărui spațiu vector subiacent este euclidian.

Grupul de izometrii afine ale unui spațiu euclidian afin de dimensiunea n este notat și include: ${\ displaystyle \ operatorname {Is} (\ mathbb {R} ^ {n}) = \ mathbb {R} ^ {n} \ rtimes \ operatorname {O} (n)}$

a deplasărilor (transformări de conservare orientare: translations , rotații , bolțuri ) care formează un subgrup notat . ${\ displaystyle \ operatorname {Is} ^ {+} (\ mathbb {R} ^ {n}) = \ mathbb {R} ^ {n} \ rtimes \ operatorname {SO} (n)}$

a anti-deplasare (Transformările direcția de mers înapoi: simetrii , reflecții , antirotations ) care nu formează un grup (deoarece identitatea de transformare este o mișcare).

${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n} \ rtimes \ operatorname {O} (n)}$ este un subgrup al grupului afin . ${\ displaystyle GA (n, \ mathbb {R}) = \ mathbb {R} ^ {n} \ rtimes \ operatorname {GL} (n, \ mathbb {R})}$

Invarianți ai grupului afin euclidian

Evident, distanța euclidiană este invariantă sub acțiunea unei transformări a acestui grup, dar și unghiurile sunt păstrate, paralelismul, baricentrul, alinierea și raportul încrucișat. Orientarea nu este menținută de antiplocări.

Vezi și tu