Ecuația eikonală

În optica geometrică , ecuația eikonală sau iconică este ecuația fundamentală care guvernează calea luminii într-un mediu. Permite să demonstreze toate celelalte legi, precum legile lui Snell-Descartes și să determine traiectoria razelor de lumină .

Unda electromagnetică progresivă într-un mediu neomogen

Poziția problemei

Într-un mediu liniar local izotrop , dar neomogen, componentele spectrale ale câmpurilor sunt date de ecuațiile lui Maxwell  ; fără surse libere, toate câmpurile pot fi scrise în aceeași formă ca și câmpul electric  :

E→(r→,t)=Eo→(r→)exp⁡(-eu(ωt-koS(r→))){\ displaystyle {\ vec {E}} \ left ({\ vec {r}}, t \ right) = {\ vec {E_ {o}}} \ left ({\ vec {r}} \ right) \ exp \ left (-i \ left (\ omega t-k_ {o} \, S ({\ vec {r}}) \ right) \ right)}

unde . ko=ωvs.{\ displaystyle k_ {o} = {\ tfrac {\ omega} {c}}}

Pentru un câmp monocromatic dat, există o infinitate de perechi posibile. De acum înainte, se ia în considerare doar una astfel încât variația lui este cea mai mică pe scara lungimii de undă  ; funcția corespunzătoare se numește funcție eikonală (sau iconică) și se poate observa că suprafețele cu constantă corespund suprafețelor de undă. (Eo→,S){\ displaystyle ({\ vec {E_ {o}}}, S)}Eo→{\ displaystyle {\ vec {E_ {o}}}}λo{\ displaystyle \ lambda _ {o}}S{\ displaystyle S}S(r→){\ displaystyle S ({\ vec {r}})}

Aproximarea fundamentală a opticii geometrice

Aproximarea fundamentală a opticii geometrice constă în a considera că variațiile relative ale amplitudinilor, precum și ale constantelor și ale mediului, sunt foarte slabe pe scara lungimii de undă: εr{\ displaystyle \ varepsilon _ {r}}μr{\ displaystyle \ mu _ {r}}

λo=2πko{\ displaystyle \ lambda _ {o} = {\ frac {2 \ pi} {k_ {o}}}}.

O analiză a ordinelor de mărime arată că, în fiecare prim membru al ecuațiilor lui Maxwell, termenul cuprinzând este preponderent, iar celălalt neglijabil. Într-adevăr, avem kogrladS{\ displaystyle k_ {o} \, \ mathrm {grad} \, S}

∂euE→(r→,t)=(∂euE→0+euE→0k0∂euS)e-eu(ωt-k0S(r→)){\ displaystyle \ partial _ {i} {\ vec {E}} ({\ vec {r}}, t) = (\ partial _ {i} {\ vec {E}} _ {0} + i {\ vec {E}} _ {0} k_ {0} \ partial _ {i} S) e ^ {- i (\ omega t-k_ {0} S ({\ vec {r}}))}} ∂eu2E→(r→,t)=(∂eu2E→0+2eu∂euE→0k0∂euS+euE→0k0∂eu2S-E→0k02(∂euS)2)e-eu(ωt-k0S(r→)){\ displaystyle \ partial _ {i} ^ {2} {\ vec {E}} ({\ vec {r}}, t) = (\ partial _ {i} ^ {2} {\ vec {E}} _ {0} + 2i \ partial _ {i} {\ vec {E}} _ {0} k_ {0} \ partial _ {i} S + i {\ vec {E}} _ {0} k_ {0 } \ partial _ {i} ^ {2} S - {\ vec {E}} _ {0} k_ {0} ^ {2} (\ partial _ {i} S) ^ {2}) e ​​^ {- i (\ omega t-k_ {0} S ({\ vec {r}}))}} ∂t2E→(r→,t)=-ω2E→0(r→)e-eu(ωt-k0S(r→)){\ displaystyle \ partial _ {t} ^ {2} {\ vec {E}} ({\ vec {r}}, t) = - \ omega ^ {2} {\ vec {E}} _ {0} ({\ vec {r}}) e ^ {- i (\ omega t-k_ {0} S ({\ vec {r}}))}}

Ceea ce dă, atunci când este injectat în ecuația de propagare pentru un mediu material liniar, omogen și izotrop

ΔE→-εr1vs.2∂2E→∂t2=0→{\ displaystyle \ Delta {\ vec {E}} - \ varepsilon _ {r} {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ partial ^ {2} {\ vec {E}} } {\ partial t ^ {2}}} = {\ vec {0}}}

ecuația

ΔE→0+2euk0(∇→S.∇→)E→0+euE→0k0ΔS-E→0k02(∇→S)2+εrvs.2ω2E→0(r→)=0→{\ displaystyle \ Delta {\ vec {E}} _ {0} + 2ik_ {0} ({\ vec {\ nabla}} S. {\ vec {\ nabla}}) {\ vec {E}} _ { 0} + i {\ vec {E}} _ {0} k_ {0} \ Delta S - {\ vec {E}} _ {0} k_ {0} ^ {2} ({\ vec {\ nabla} } S) ^ {2} + {\ frac {\ varepsilon _ {r}} {c ^ {2}}} \ omega ^ {2} {\ vec {E}} _ {0} ({\ vec {r }}) = {\ vec {0}}}

unde putem separa partea reală și imaginară și putem folosi și obține cele două ecuații λo=2πko{\ displaystyle \ lambda _ {o} = {\ frac {2 \ pi} {k_ {o}}}}k0=ωvs.{\ displaystyle k_ {0} = {\ frac {\ omega} {c}}}

λ2ΔE→0-E→0(∇→S)2+εrE→0(r→)=0→{\ displaystyle \ lambda ^ {2} \ Delta {\ vec {E}} _ {0} - {\ vec {E}} _ {0} ({\ vec {\ nabla}} S) ^ {2} + \ varepsilon _ {r} {\ vec {E}} _ {0} ({\ vec {r}}) = {\ vec {0}}} 2(∇→S.∇→)E→0+E→0k0ΔS=0→{\ displaystyle 2 ({\ vec {\ nabla}} S. {\ vec {\ nabla}}) {\ vec {E}} _ {0} + {\ vec {E}} _ {0} k_ {0 } \ Delta S = {\ vec {0}}}

cu toate acestea, aproximarea opticii geometrice constă în a considera că variațiile mediului și, prin urmare, ale amplitudinii câmpului sunt slabe la scara unei lungimi de undă, ceea ce implică faptul că termenul este neglijabil, am dedus λ2ΔE→0{\ displaystyle \ lambda ^ {2} \ Delta {\ vec {E}} _ {0}}

(grad→S)2=εr=nu2{\ displaystyle \ left ({\ overrightarrow {\ operatorname {grad}}} S \ right) ^ {2} = \ varepsilon _ {r} = n ^ {2}}

care este relația numită ecuație eikonală, care este încă scrisă

grad→S=nutu→{\ displaystyle {\ overrightarrow {\ operatorname {grad}}} S = n \, {\ vec {u}}}

unde denotă un vector unitate de . tu→{\ displaystyle {\ vec {u}}}VS3{\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {3}}

Apoi deducem cu ușurință structura acestei unde monocromatice, numită undă optică geometrică  : câmpurile sunt transversale:

Bo→=grad→S×Eo→vs.{\ displaystyle {\ vec {B_ {o}}} = {\ overrightarrow {\ operatorname {grad}}} \, S \ times {\ frac {\ vec {E_ {o}}} {c}}}

Această ecuație nu implică și nici nu permite în mod explicit să ajungă prin calea optică . Eo→{\ displaystyle {\ vec {E_ {o}}}}ω{\ displaystyle \ omega}

Structura locală a acestei unde este similară cu cea a unei unde plane progresive, deoarece la scara lungimii de undă este scrisă faza sa

φ=koS(r→)=ko[S(ro→)+grad→S⋅(r→-ro→)]≡koS(ro→)+nukotu→⋅(r→-ro→){\ displaystyle \ varphi = k_ {o} \, S ({\ vec {r}}) = k_ {o} \ left [S ({\ vec {r_ {o}}}) + {\ overrightarrow {\ operatorname {grad}}} \, S \ cdot \ left ({\ vec {r}} - {\ vec {r_ {o}}} \ right) \ right] \ equiv k_ {o} \, S ({\ vec {r_ {o}}}) + nk_ {o} {\ vec {u}} \ cdot \ left ({\ vec {r}} - {\ vec {r_ {o}}} \ right)}

Este

φ≡k→⋅r→+φo{\ displaystyle \ varphi \ equiv {\ vec {k}} \ cdot {\ vec {r}} + \ varphi _ {o}}

din care urmează simplitatea valului de optică geometrică, manipulările matematice efectuate fiind aceleași ca și pentru undele plane monocromatice progresive.

Note:

• ecuația eikonală rămâne valabilă în mediile anizotrope, denotând unda normală într-un punct și este unul dintre cei doi indici posibili în acest punct, dată fiind direcția .tu→{\ displaystyle {\ vec {u}}}nu{\ displaystyle n}tu→{\ displaystyle {\ vec {u}}}
• câmpul electric este apoi scris în general cuE→(r→,t)=LA→exp⁡(eu(k→⋅r→-ω0t)){\ displaystyle {\ vec {E}} ({\ vec {r}}, t) = {\ vec {A}} \ exp \ left (i ({\ vec {k}} \ cdot {\ vec {r }} - \ omega _ {0} t) \ right)}LA→=E0→exp⁡(euφ0).{\ displaystyle {\ vec {A}} = {\ vec {E_ {0}}} \ exp (i \ varphi _ {0}).}

Propagarea energiei - Conceptul de rază de lumină

Din motive experimentale, în optică ne interesează doar fluxul mediu de energie, calculat folosind un vector Poynting mediu . Razele de lumină sunt definite ca liniile câmpului , adică liniile curente de energie electromagnetică în medie. Dacă , sau dacă este real, dar imaginar pur, spunem că unda este neomogenă (sau evanescentă dacă  ; în acest caz, nu este paralelă nici cu , nici cu unde , nici cu planul cu - dar pentru fixat și direcția sa depinde de . prin urmare, polarizarea undei este neomogenă, totuși, dacă este reală în orice punct, se spune că unda este omogenă și apoi este paralelă cu , independent de miracolul opticii geometrice: razele luminoase sunt linii ale câmpului (sau ) și nu depind de caracteristicile undei ( și ). În rest, vom considera că este real peste tot; arătăm că acest lucru se poate realiza numai, în general, dacă n < este real în orice caz. ⟨R→⟩{\ displaystyle \ langle {\ vec {R}} \ rangle}⟨R→⟩{\ displaystyle \ langle {\ vec {R}} \ rangle}tu→∈VS3∖R3{\ displaystyle {\ vec {u}} \ in \ mathbb {C} ^ {3} \ smallsetminus \ mathbb {R} ^ {3}}tu→{\ displaystyle {\ vec {u}}}nu{\ displaystyle n}nu2∈R{\ displaystyle n ^ {2} \ in \ mathbb {R}}⟨R→⟩{\ displaystyle \ langle {\ vec {R}} \ rangle}tu′→=Re⁡(tu→){\ displaystyle {\ vec {u '}} = \ operatorname {Re} \ left ({\ vec {u}} \ right)}v′→=Re⁡(v→){\ displaystyle {\ vec {v '}} = \ operatorname {Re} \ left ({\ vec {v}} \ right)}v→=nutu→{\ displaystyle {\ vec {vb}} = n \, {\ vec {u}}}(tu→,w→){\ displaystyle \ left ({\ vec {u}}, {\ vec {w}} \ right)}w→=Sunt⁡(tu→){\ displaystyle {\ vec {w}} = \ operatorname {Im} \ left ({\ vec {u}} \ right)}v→{\ displaystyle {\ vec {vb}}}Eo→{\ displaystyle {\ vec {E_ {o}}}}tu→{\ displaystyle {\ vec {u}}}⟨R→⟩{\ displaystyle \ langle {\ vec {R}} \ rangle}tu→{\ displaystyle {\ vec {u}}}Eo→{\ displaystyle {\ vec {E_ {o}}}}tu→{\ displaystyle {\ vec {u}}}v→{\ displaystyle {\ vec {vb}}}Eo→{\ displaystyle {\ vec {E_ {o}}}}ω{\ displaystyle \ omega}tu→{\ displaystyle {\ vec {u}}}

Ecuația razelor de lumină

Raza este parametrizată de abscisa curbiliniară , un punct al razei este deci reprezentat de vector . Prin definiție, este tangentă la rază: s{\ displaystyle s}r→(s){\ displaystyle {\ vec {r}} (s)}tu→{\ displaystyle {\ vec {u}}}

dr→ds=tu→=∇→Snu{\ displaystyle {\ frac {d {\ vec {r}}} {ds}} = {\ vec {u}} = {\ frac {{\ vec {\ nabla}} S} {n}}}

Deducem ecuația generală a unei raze de lumină într-un mediu de index  : nu(r→){\ displaystyle n ({\ vec {r}})}

dds(nudr→ds)=∇→nu{\ displaystyle {\ frac {d} {ds}} \ left (n {\ frac {d {\ vec {r}}} {ds}} \ right) = {\ vec {\ nabla}} n} Demonstrație

dds(nudreuds)=dds(∂S∂reu) =∑jdrjds⋅∂∂rj(∂S∂reu) =∑j1nu∂S∂rj⋅∂∂reu(∂S∂rj) =1nu∑j12∂∂reu(∂S∂rj)2 =12nu∂∂reu∑j(∂S∂rj)2 =12nu∂nu2∂reu =∂nu∂reu{\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {d} {ds}} \ left (n {\ frac {dr_ {i}} {ds}} \ right) & = {\ frac {d} {ds} } \ left ({\ frac {\ partial S} {\ partial r_ {i}}} \ right) \\\ & = \ sum _ {j} {\ frac {dr_ {j}} {ds}} \ cdot {\ frac {\ partial} {\ partial r_ {j}}} \ left ({\ frac {\ partial S} {\ partial r_ {i}}} \ right) \\\ & = \ sum _ {j} {\ frac {1} {n}} {\ frac {\ partial S} {\ partial r_ {j}}} \ cdot {\ frac {\ partial} {\ partial r_ {i}}} \ left ({\ frac {\ partial S} {\ partial r_ {j}}} \ right) \\\ & = {\ frac {1} {n}} \ sum _ {j} {\ frac {1} {2}} { \ frac {\ partial} {\ partial r_ {i}}} \ left ({\ frac {\ partial S} {\ partial r_ {j}}} \ right) ^ {2} \\\ & = {\ frac {1} {2n}} {\ frac {\ partial} {\ partial r_ {i}}} \ sum _ {j} \ left ({\ frac {\ partial S} {\ partial r_ {j}}} \ dreapta) ^ {2} \\\ & = {\ frac {1} {2n}} {\ frac {\ partial n ^ {2}} {\ partial r_ {i}}} \\\ & = {\ frac {\ partial n} {\ partial r_ {i}}} \ end {align}}}

Această ecuație face posibilă descrierea căii urmate de lumină într-un mediu omogen (linie dreaptă), dar și în timpul unui miraj sau într-o fibră optică, de exemplu. La traversarea unei dioptrii , divergă, este necesar să se utilizeze legile lui Snell-Descartes . ∇→nu{\ displaystyle {\ vec {\ nabla}} n}

Proprietatea razelor de lumină

Principiul lui Fermat (1650)

Din ecuația eikonală, este ușor să arătăm că calea optică dintre două puncte și fixă este minimă în cazul în care există o singură undă a geometriei optice în orice punct (și, prin urmare, un singur departament asociat ...). În cazul mai general în care razele diferitelor unde se pot intersecta, este doar staționar (acest lucru s-ar dovedi folosind ecuațiile Lagrange). Un discipol al lui Euclid ghicise deja acest principiu, într-un caz foarte particular: cel al unei reflexii pe o oglindă plană. L{\ displaystyle L}LA{\ displaystyle A}B{\ displaystyle B}L{\ displaystyle L}

Consecințe imediate

• Propagarea rectilinie a luminii: în cazuri simple, cu dioptrii sau oglinzi separate de medii omogene, razele vor consta, așadar, din linii rupte în punctele situate pe aceste dioptrii (sau oglinzi), ceea ce înseamnă că staționaritatea nu va fi căutată doar pe această clasă restrânsă de curbe; putem găsi apoi cazuri în care, pentru rază, este maximă pe această clasă, sau doar staționară sau minimă - dar pe setul tuturor curbelor care merg de la fix la, nu poate fi niciodată maxim (absolut) pentru raze.L{\ displaystyle L}L{\ displaystyle L}LA{\ displaystyle A}B{\ displaystyle B}L{\ displaystyle L}
• Legea returului invers ... dar exemplul reflectării parțiale arată clar că principiul lui Fermat indică doar care sunt diferitele căi posibile pentru lumină, fără a specifica modul în care fluxul luminos este distribuit între ele!

Legile lui Snell-Descartes (Harriot, 1598)

Dovada (prin găsirea extremumului sau prin continuitatea componentei tangențiale a mașinii ) duce imediat la construirea lui Descartes. L=nu1LAEu+nu2EuB{\ displaystyle L = n_ {1} AI + n_ {2} IB}v→{\ displaystyle {\ vec {vb}}}eructație→v→=0→{\ displaystyle {\ overrightarrow {\ operatorname {rot}}} \, {\ vec {v}} = {\ vec {0}}}

Note și referințe

1. JP Pérez, Optică. Principii fundamentale și aplicații , 5 - lea  ediție, Masson, Paris, 1996, pagina 169.

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">