Soi algebric proiectiv

În geometria algebrică , varietățile proiective formează o clasă importantă de varietăți. Acestea verifică proprietățile de compactitate și proprietățile de finitate. Este obiectul central al geometriei algebrice globale .

Pe un câmp închis algebric, punctele unui distribuitor proiectiv sunt punctele unui set algebric proiectiv.

Definiție

Fixăm un câmp (comutativ) . k{\ displaystyle k}

• Algebră omogenă . Fie coeficientul unui ideal omogen (adică ideal generat de polinoame omogene). Este apoi o algebră gradatăB{\ displaystyle B}k[T0,...,Tnu]{\ displaystyle k [T_ {0}, \ ldots, T_ {n}]}

B=⊕d≥0Bd,{\ displaystyle B = \ oplus _ {d \ geq 0} B_ {d},} unde este mulțimea claselor modulo de polinoame omogene de grade . Elementele de sunt numite elemente omogene de grad . Un ideal omogen de este un ideal generat de elemente omogene. Un ideal omogen particular este un set de elemente omogene de grad strict pozitiv. Acesta este idealul maxim generat de clasele de .Bd{\ displaystyle B_ {d}}Eu{\ displaystyle I}d{\ displaystyle d}Bd{\ displaystyle B_ {d}}d{\ displaystyle d}B{\ displaystyle B}B+,{\ displaystyle B _ {+},}T0,...,Tnu{\ displaystyle T_ {0}, \ ldots, T_ {n}}

• Spațiul topologic . Prin definiție, setul Proj este alcătuit din idealuri prime omogene de a nu conține (prin urmare strict conținut în ) și maxim pentru această proprietate. Pentru orice ideal omogen , denotăm setul de idealuri prime din Proj care conțin . Când modificăm , părțile din constituie părțile închise ale topologiei lui Zariski pe Proj .B{\ displaystyle B}B{\ displaystyle B}B+{\ displaystyle B _ {+}}B+{\ displaystyle B _ {+}}Eu{\ displaystyle I}V+(Eu){\ displaystyle V _ {+} (I)}q{\ displaystyle q}B{\ displaystyle B}Eu{\ displaystyle I}Eu{\ displaystyle I}V+(Eu){\ displaystyle V _ {+} (I)}ProjB{\ displaystyle {\ rm {Proj}} B}B{\ displaystyle B}

• O bază de topologie . Dacă este un element omogen, denotăm complementul lui . Este o deschidere principală . Principalele deschideri constituie o bază a topologiei. Mai mult, spațiul topologic este homeomorf până la spectrul maxim , unde este setul de elemente ale localizării care pot fi reprezentate de o fracțiune cu grad omogen . Algebra este de tip finit peste .f{\ displaystyle f}D+(f){\ displaystyle D _ {+} (f)}V+(fB){\ displaystyle V _ {+} (fB)}D+(f){\ displaystyle D _ {+} (f)}Spm(B(f)){\ displaystyle {\ rm {Spm}} (B _ {(f)})}B(f){\ displaystyle B _ {(f)}} Bf{\ displaystyle B_ {f}}b/fm{\ displaystyle b / f ^ {m}}b{\ displaystyle b}mdeg⁡f{\ displaystyle m \ deg f}B(f){\ displaystyle B _ {(f)}}k{\ displaystyle k}

• Propunere . Există o structură unică de colector algebrice pe astfel încât pentru orice omogenă, nu subvarietatea deschis este izomorf cu colectorul algebrică afin .ProjB{\ displaystyle {\ rm {Proj}} B}f{\ displaystyle f}D+(f){\ displaystyle D _ {+} (f)} SpmB(f){\ displaystyle {\ rm {Spm}} B _ {(f)}}

• Definiție . Un colector proiectiv pe o colector algebric peste izomorfă unui algebră omogen .k{\ displaystyle k}k{\ displaystyle k}ProjB{\ displaystyle {\ rm {Proj}} B}k{\ displaystyle k}B{\ displaystyle B}

• Un colector cvasiproiectiv este o subvarietate deschisă a unui colector proiectiv. Orice colector rafinat este scufundat ca o subvarietate deschisă într-un colector proiectiv. Astfel, orice varietate cvasi-afină este cvasiproiectivă.

Exemple

• Multiplexul proiectiv se numește spațiul proiectiv al dimensiunii sur . Remarcăm acest soi sau . Este uniunea deschiderilor care sunt izomorfe pentru spațiul afin Spm . Punctele sale de pe sunt exact punctele spațiului proiectiv al dimensiunii de pe . Dimensiunea sa Krull este .Projk[T0,...,Tnu]{\ displaystyle {\ rm {Proj}} k [T_ {0}, \ ldots, T_ {n}]}nu{\ displaystyle n}k{\ displaystyle k}Pknu{\ displaystyle \ mathbb {P} _ {k} ^ {n}}Pnu{\ displaystyle \ mathbb {P} _ {n}}nu+1{\ displaystyle n + 1}D+(Teu){\ displaystyle D _ {+} (T_ {i})}k[X1,...,Xnu]{\ displaystyle k [X_ {1}, \ ldots, X_ {n}]}k{\ displaystyle k}nu{\ displaystyle n}k{\ displaystyle k}nu{\ displaystyle n}

• Dacă este un polinom omogen cu variabile și nu zero. Atunci este o suprafață a , deci a dimensiunii . Deoarece , obținem apoi o curbă plană proiectivă. Acesta este în special cazul curbelor Fermat (cu și ) și a curbelor eliptice .f{\ displaystyle f}nu+1{\ displaystyle n + 1}Proj(k[T0,...,Tnu]/(f)){\ displaystyle {\ rm {Proj}} (k [T_ {0}, \ ldots, T_ {n}] / (f))}Pknu{\ displaystyle \ mathbb {P} _ {k} ^ {n}}nu-1{\ displaystyle n-1}nu=2{\ displaystyle n = 2}f=T0p+T1p+T2p{\ displaystyle f = T_ {0} ^ {p} + T_ {1} ^ {p} + T_ {2} ^ {p}}p>2{\ displaystyle p> 2}

Proprietăți

• Dacă este o algebră omogenă, coeficientul lui . Apoi este o subvarietate închisă a spațiului proiectiv . În schimb, arătăm că orice submanifold închis al unui spațiu proiectiv (sau al unei varietăți proiective) este o varietate proiecțională.B{\ displaystyle B}k[T0,...,Tnu]{\ displaystyle \ scriptstyle k [T_ {0}, \ ldots, T_ {n}]}ProjB{\ displaystyle {\ rm {Proj}} B}Pknu{\ displaystyle \ scriptstyle \ mathbb {P} _ {k} ^ {n}}
• Produsul a doua varietati proiective este varietate proiectivă. Acest lucru rezultă din încorporarea Segre, care identifică produsul ca o subvenție închisă a .Pknu×kPkm{\ displaystyle \ scriptstyle \ mathbb {P} _ {k} ^ {n} \ times _ {k} \ mathbb {P} _ {k} ^ {m}}Pknum+nu+m{\ displaystyle \ scriptstyle \ mathbb {P} _ {k} ^ {nm + n + m}}
• Orice varietate proiectivă este separată și curată  (în) activată .k{\ displaystyle k}
• Dacă este un morfism dintr-o varietate proiectivă într-o varietate algebrică separată, atunci este o hartă închisă (adică imaginea oricărei părți închise este închisă).f:X→Da{\ displaystyle \ scriptstyle f: X \ to Y}f{\ displaystyle f}
• Dacă = ℝ sau ℂ, varietatea topologică este compactă . Pentru orice distribuitor proiectiv pornit , setul de puncte al este apoi o parte închisă (pentru topologia varietății topologice) . În special, este compact pentru topologia indusă.k{\ displaystyle k} Pknu{\ displaystyle \ scriptstyle \ mathbb {P} _ {k} ^ {n}}X{\ displaystyle X}k{\ displaystyle k}X(k){\ displaystyle X (k)}k{\ displaystyle k}X{\ displaystyle X}Pknu{\ displaystyle \ scriptstyle \ mathbb {P} _ {k} ^ {n}}X(k){\ displaystyle X (k)}
• Pentru spațiul proiectiv , arătăm cu ușurință că algebra O ( ) a funcțiilor regulate este egală cu (adică singurele funcții regulate globale sunt funcții constante). Pentru o varietate proiectivă în general, -algebra este de dimensiune vectorială finită. Acesta este un caz particular al teoremei lui Serre privind cohomologia snopilor coerenți . Astfel, varietățile proiective trebuie comparate cu spații analitice compacte (complexe).Pknu{\ displaystyle \ scriptstyle \ mathbb {P} _ {k} ^ {n}}Pknu{\ displaystyle \ scriptstyle \ mathbb {P} _ {k} ^ {n}}Pknu{\ displaystyle \ scriptstyle \ mathbb {P} _ {k} ^ {n}}k{\ displaystyle k}X{\ displaystyle X}k{\ displaystyle k}OX(X){\ displaystyle O_ {X} (X)}
• Rezultă că o varietate proiectivă care este și afină constă în mod necesar dintr-un număr finit de puncte (adică de dimensiunea 0).

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">