Soi algebric non-singular

Un soi algebric non-singular (sau neted) este un soi fără punct singular (en) . Este cadrul natural pentru multe teoreme fundamentale în geometria algebrică.

Definiție

Spunem că un soi algebric este regulat atunci când inelul său local este un inel local obișnuit pentru orice punct . $X$ $O_ {X, x}$ $x \ în X$

Fie o varietate algebrică peste un câmp . Fie o închidere algebrică a . Se spune că este non-singular sau neted dacă soiul obținut după schimbarea bazei este un soi regulat. $X$ $k$ ${\ latra}}$ $k$ $X$ $X _ {{{\ bar {k}}}}$ ${\ bar {k}} / k$

Exemple

Spațiile afine și spațiile proiective nu sunt singulare. ${\ mathrm {Spm}} k [T_ {1}, \ ldots, T_ {n}]$ ${\ mathrm {Proj}} k [T_ {0}, \ ldots, T_ {n}]$
O curbă plană nu este singulară dacă și numai dacă polinoamele nu au un zero comun în (ceea ce echivalează cu a spune că generează unitatea ideală a ). ${\ displaystyle \ mathrm {Spm} (k [T, S] / (F (T, S)))}$ $F, \ partial F / \ partial T, \ partial F / \ partial S$ ${\ bar {k}} ^ {2}$ $k [T, S]$
Dacă este un corp imperfect (adică un corp care nu este perfect ), atunci există care nu este a - a -a putere , unde este caracteristica . Fie extensia radială definită de -lea rădăcina de . Apoi este o varietate algebrică , regulată, dar nu singulară. $k$ $\ lambda \ în k$ $p$ $p$ $k$ $k '= k [T] / (T ^ {p} - \ lambda)$ $p$ $\ lambda$ ${\ mathrm {Spm}} (k ')$ $k$

Observație A fi regulat este o proprietate absolută a varietății algebrice, în timp ce a fi non-singular depinde de câmpul de bază pe care îl considerăm. În exemplul de mai sus, nu este non-singular ca -variantă, ci este singular ca -varietate. ${\ mathrm {Spm}} (k ')$ $k$ $k '$

Proprietăți

Dacă este non-singular, atunci este regulat. Reversul este adevărat dacă este perfect . $X$ $k$
Criteriul iacobian : Fie o varietate algebrică afină conectată de dimensiune d . Atunci este non-singular dacă și numai dacă rangul matricei Jacobian este egal cu n - d pentru toate . $X = {\ mathrm {Spm}} [T_ {1}, ..., T_ {n}] / (F_ {1}, ..., F_ {m})$ $X$ $Jac_ {x} (F_ {1}, ..., F_ {m})$ $X$
Fie o varietate algebrică complexă (adică definită în câmpul numerelor complexe). Fie spațiul analitic complex (en) asociat . Atunci este non-singular dacă și numai dacă este o varietate analitică complexă , adică local biholomorfă la un set deschis de ℂ n . $X$ $X ^ {{{\ mathrm {an}}}}$ $X$ $X$ $X ^ {{{\ mathrm {an}}}}$
Dacă este nesingular și conectat de dimensiunea n , atunci este ireductibil și chiar integral , iar fasia formelor diferențiale de pe este locală liberă de rangul n . Cu alte cuvinte, este un pachet vectorial de rang n (numit pachet cotangent ) pe . $X$ $X$ $X$ $X$
Structură locală : Spre deosebire de varietăți analitice complexe sau diferențiale, o varietate algebrică, chiar și non-singulară, nu este locală (pentru topologia lui Zariski) izomorfă la deschiderea unui spațiu afin. Dar acest lucru devine adevărat dacă înlocuim topologia Zariski cu topologia étale . În termeni mai concreți, fiecare punct al unei varietăți algebrice non-singulare are un vecinătate deschisă (a lui Zariski!) Care este răspândită într-o deschidere a unui spațiu afin.