Varietate algebrică afină
În geometria algebrică , o varietate afină este un model local pentru varietăți algebrice , adică sunt obținute prin lipirea varietăților afine. Aproximativ, o varietate afina este un set algebric afină X cu o structură algebrică suplimentară care este datele inelului funcțiilor regulate pe fiecare porțiune de deschidere a X .
Origine
Puncte de vedere analitice și algebrice
Cel mai simplu punct de vedere pentru a descrie o varietate algebrică afină este setul de soluții ale unui sistem de ecuații polinomiale cu coeficienți într - un câmp comutativ K . Cu alte cuvinte, o varietate afină este un subset al lui K n ale cărui puncte anulează polinoamele P 1 , ..., P r ale lui K [X 1 , ..., X n ]. Geometria algebrică oferă o viziune pur algebrică a acestui concept de varietate afină, prin următoarea echivalență:
{P1(X1,...,Xnu)=0⋮Pr(X1,...,Xnu)=0≡Spm K[X1,...,Xnu](P1,...,Pr){\ displaystyle \ left \ {{\ begin {array} {l} P_ {1} (x_ {1}, \ dots, x_ {n}) = 0 \\\ vdots \\ P_ {r} (x_ {1) }, \ dots, x_ {n}) = 0 \ end {array}} \ right. \ quad \ equiv \ quad {\ text {Spm}} {\ frac {K [X_ {1}, \ dots, X_ { n}]} {\ sqrt {(P_ {1}, \ dots, P_ {r})}}}}
cu Spm spectrul maxim (adică ansamblul idealurilor maxime), idealul generat de și √ radicalul unui ideal .
(P1,...,Pr){\ displaystyle (P_ {1}, \ dots, P_ {r})}
Peu{\ displaystyle P_ {i}}![P_i](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ba1396129f7be3c7f828a571b6649e6807d10d3)
Punctul de vedere din stânga se spune că este analitic și cel din dreapta algebric . În punct de vedere algebric, nu mai tratăm puncte de K n, ci polinoame cu n nedeterminat.
Exemple
- Setul este o varietate algebrică afin (locul de anulare a polinomului zero), corespunde Spm K [X 1 , ..., X n ] întreg.Knu{\ displaystyle K ^ {n}}
![K ^ {n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d63366b3d00300e06eee81786182062b98775c5)
- Cercul x² + y² = 1 în ² este un soi afin, la fel ca conicele.
Explicația corespondenței ≡
Notăm cu A = K [X 1 , ..., X n ] / √ (P 1 , ..., P r ) coeficientul K -algebră care servește la definirea varietății afine.
Acest coeficient face posibil pentru a scrie P i (X 1 , ..., X n ) = 0 , prin înlocuirea mici x j ∈ K de mare nedeterminat X j . Prin urmare, putem efectua în mod formal aceleași calcule pe X j ca pe x j .
Radicalul ideal permite simplificări ale formei
Î(X1,...,Xnu)m=0⇒Î(X1,...,Xnu)=0{\ displaystyle Q (X_ {1}, \ dots, X_ {n}) ^ {m} = 0 \ quad \ Rightarrow \ quad Q (X_ {1}, \ dots, X_ {n}) = 0}![{\ displaystyle Q (X_ {1}, \ dots, X_ {n}) ^ {m} = 0 \ quad \ Rightarrow \ quad Q (X_ {1}, \ dots, X_ {n}) = 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7220495940d1e2aec8d5a36fe4b04ed6afa0837c)
cu Q un polinom și m număr întreg pozitiv, cum ar fi ce se va întâmpla în lucrul cu mici x j ∈ K . Cu alte cuvinte, A este o redusă K - algebra , în sensul că numai elementul său nilpotent este 0.
Operația Spm este utilizată pentru a extrage din A un set pe care vrem să îl identificăm cu Z (P 1 , ..., P r ) ⊂ K n , intersecția zerourilor tuturor P i , c 'adică a varietății din punct de vedere analitic. Avem de fapt următoarea injecție canonică
ϕ:Z(P1,...,Pr)→Spm (K[X1,...,Xnu]/(P1,...,Pr))(la1,...,lanu)↦π((X1-la1,...,Xnu-lanu)){\ displaystyle {\ begin {array} {rcl} \ phi: Z (P_ {1}, \ dots, P_ {r}) & \ to & {\ text {Spm}} (K [X_ {1}, \ puncte, X_ {n}] / {\ sqrt {(P_ {1}, \ dots, P_ {r})}}) \\ (a_ {1}, \ dots, a_ {n}) & \ mapsto & \ pi (\, (X_ {1} -a_ {1}, \ dots, X_ {n} -a_ {n}) \,) \ end {array}}}![{\ displaystyle {\ begin {array} {rcl} \ phi: Z (P_ {1}, \ dots, P_ {r}) & \ to & {\ text {Spm}} (K [X_ {1}, \ puncte, X_ {n}] / {\ sqrt {(P_ {1}, \ dots, P_ {r})}}) \\ (a_ {1}, \ dots, a_ {n}) & \ mapsto & \ pi (\, (X_ {1} -a_ {1}, \ dots, X_ {n} -a_ {n}) \,) \ end {array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b30dce651361816cfb59163b69af32b7cce542b)
cu π proiecția canonică în inelul coeficient. Dacă, în plus, câmpul K este închis algebric , Nullstellensatz demonstrează că această injecție este o bijecție. Când K nu este închis algebric, harta nu mai este surjectivă în general. De exemplu, membrul din stânga poate fi gol fără cel din dreapta.
π{\ displaystyle \ pi}![\ pi](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9be4ba0bb8df3af72e90a0535fabcc17431e540a)
Informații cu privire la soiul afin este codat în integritatea lui A . Luați în considerare în special varietatea afină reală ( x -1) ( x -2) = 0. Prin integritate în numerele reale, deducem imediat că x = 1 sau x = 2, ceea ce înseamnă că varietatea are 2 puncte. Verificăm dacă Spm A are și 2 puncte, așa cum ar trebui. Pe de altă parte, nu putem scrie nici X = 1, nici X = 2 în polinoame, deoarece fiecare ar reduce varietatea la 1 punct, prin urmare A nu este integral aici. Se întâmplă ca o varietate afină să fie formată dintr-o singură piesă dacă și numai dacă algebra sa de coeficient A este integrală, adică √ (P 1 , ..., P r ) este un ideal prim . Spunem în acest caz că soiul este ireductibil .
În cele din urmă, rețineți că A este un K - algebră de tip finit ; restul acestui articol este deci dedicat structurii spectrelor maxime ale acestor algebre. Vom vedea că acestea sunt spații topologice inelate local.
Definiți acum o varietate algebrică afină ca Spm A , cu A o K -algebră de tip finit. O varietate afină este apoi înzestrată în mod natural cu topologia Zariski . Aici luăm în considerare doar spectrul maxim și nu totalitatea spectrului prim ; deci nu există puncte generice și varietățile afine satisfac axioma de separare T 1 , în loc de T 0 .
Cu topologia lui Zariski, avem o bună definiție a dimensiunii, dimensiunea Krull, care coincide cu intuiția pe cazuri simple.
Pachet de funcții regulate
Când este închis algebric și este redus , orice element de se poate identifica cu o aplicație , care oricărui ideal maxim asociază clasa de in . Când , această hartă nu este alta decât harta polinomială asociată cu când este identificată cu teorema zero a lui Hilbert.
k{\ displaystyle k}
LA{\ displaystyle A}
f{\ displaystyle f}
LA{\ displaystyle A}
Spm(LA)→k{\ displaystyle {\ rm {Spm}} (A) \ to k}
m{\ displaystyle m}
f{\ displaystyle f}
LA/m=k{\ displaystyle A / m = k}
LA=k[X1,...,Xnu]{\ displaystyle A = k [X_ {1}, \ ldots, X_ {n}]}
f{\ displaystyle f}
Spm(LA){\ displaystyle {\ rm {Spm}} (A)}
knu{\ displaystyle k ^ {n}}![k ^ n](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29d0ca5fd176db2867ec07a961a31f17bc6fb07e)
Prin analogie, în cazul general ( arbitrar și nu neapărat redus), elementele sunt numite funcții regulate pe (spre deosebire de funcțiile raționale care pot avea poli). Și întrucât localizarea are un spectru maxim , este firesc să apelați elementele funcțiilor obișnuite în aer liber .
k{\ displaystyle k}
LA{\ displaystyle A}
LA{\ displaystyle A}
Spm(LA){\ displaystyle {\ rm {Spm}} (A)}
LAf{\ displaystyle A_ {f}}
D(f){\ displaystyle D (f)}
LAf{\ displaystyle A_ {f}}
D(f){\ displaystyle D (f)}![D (f)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d5afbbd0e5cc5450dff4f0de2006936c4bc3acc)
Pentru a defini funcțiile obișnuite pentru orice funcții deschise , avem nevoie de noțiunea de snopi pe .
Spm(LA){\ displaystyle {\ rm {Spm}} (A)}
Spm(LA){\ displaystyle {\ rm {Spm}} (A)}![{\ displaystyle {\ rm {Spm}} (A)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5080fd8aa71ccbceee89fcebfed4f3cfec775334)
Propunere - Fie spațiul topologic . Până la izomorfism, există un singur snop de inele comutative pe care inelul secțiunilor de pe orice deschidere principală este identificat cu inelul localizat . Pentru orice ideal maxim de , inelul de germeni cu funcții regulate en (văzut ca punct de ) este identificat cu localizat de en .
X{\ displaystyle X}
Spm(LA){\ displaystyle {\ rm {Spm}} (A)}
OX{\ displaystyle O_ {X}}
X{\ displaystyle X}
D(f){\ displaystyle D (f)}
LAf{\ displaystyle A_ {f}}
m{\ displaystyle m}
LA{\ displaystyle A}
m{\ displaystyle m}
X{\ displaystyle X}
LAm{\ displaystyle A_ {m}}
LA{\ displaystyle A}
m{\ displaystyle m}![m](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a07d98bb302f3856cbabc47b2b9016692e3f7bc)
Pentru tot ceea ce este deschis , elementele de sunt numite funcții regulate . Cuplul este un spațiu inelat local . Și grinda se numește grinda structurală a .
U{\ displaystyle U}
OX(U){\ displaystyle O_ {X} (U)}
U{\ displaystyle U}
X,OX{\ displaystyle X, O_ {X}}
OX{\ displaystyle O_ {X}}
(X,OX){\ displaystyle (X, O_ {X})}![(X, O_X)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/acfbd4d1b273c000d677befd7530789c05fc808a)
Exemple
- Dacă și dacă este o întâlnire deschisă, principală deschisă , atunci unde este un mcd de . Atenție că, în general.X=Spm(k[X1,...,Xnu]){\ displaystyle X = {\ rm {Spm}} (k [X_ {1}, \ ldots, X_ {n}])}
U{\ displaystyle U}
D(f1),...,D(fm){\ displaystyle D (f_ {1}), \ ldots, D (f_ {m})}
OX(U)=k[X1,...,Xnu]f{\ displaystyle O_ {X} (U) = k [X_ {1}, \ ldots, X_ {n}] _ {f}}
f{\ displaystyle f}
feu{\ displaystyle f_ {i}}
U≠D(f){\ displaystyle U \ neq D (f)}![{\ displaystyle U \ neq D (f)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc2041aa940623b326849dac74e6e9ff114375b9)
- Să presupunem integrate de câmpuri de fracții . Deci, orice localizare a canonicului se cufundă în . Funcțiile obișnuite pe un deschis sunt apoi fracțiile astfel încât pentru orice deschidere principală conținută în , pot fi scrise în forma pentru unul și un număr natural întreg . Așa cum nu dispare niciodată în (adică nu aparține nici unui ideal maxim în ), este o fracție rațională fără pol într-un anumit sens.LA{\ displaystyle A}
K{\ displaystyle K}
LA{\ displaystyle A}
K{\ displaystyle K}
U{\ displaystyle U}
α{\ displaystyle \ alpha}
D(f){\ displaystyle D (f)}
U{\ displaystyle U}
α{\ displaystyle \ alpha}
g/fnu{\ displaystyle g / f ^ {n}}
g∈LA{\ displaystyle g \ în A}
nu{\ displaystyle n}
f{\ displaystyle f}
D(f){\ displaystyle D (f)}
f{\ displaystyle f}
D(f)⊆Spm(LA){\ displaystyle D (f) \ subseteq {\ rm {Spm}} (A)}
α{\ displaystyle \ alpha}
U{\ displaystyle U}![U](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/458a728f53b9a0274f059cd695e067c430956025)
Dacă este un morfism de -algebre, care induce o hartă continuă , atunci avem un morfism de spații inelate local a căror hartă continuă subiacentă este , iar morfismul inelar este .
ϕ:LA→B{\ displaystyle \ phi: A \ to B}
k{\ displaystyle k}
f:Da=Spm(B)→X=Spm(LA){\ displaystyle f: Y = {\ rm {Spm}} (B) \ to X = {\ rm {Spm}} (A)}
(X,OX)→(Da,ODa){\ displaystyle (X, O_ {X}) \ to (Y, O_ {Y})}
f{\ displaystyle f}
B=ODa(Da)→LA=OX(X){\ displaystyle B = O_ {Y} (Y) \ to A = O_ {X} (X)}
ϕ{\ displaystyle \ phi}![\ phi](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72b1f30316670aee6270a28334bdf4f5072cdde4)
Definiție formală
O (algebric) afin soi peste un câmp este un spațiu inelat local al formei în care este spectrul maximal al unui - algebra tip finit înzestrat cu topologia Zariski și unde este fascicolul funcțiilor regulate pe . Dacă nu există confuzie posibilă, soiul afin va fi notat simplu .
k{\ displaystyle k}
(X,OX){\ displaystyle (X, O_ {X})}
X{\ displaystyle X}
k{\ displaystyle k}
LA{\ displaystyle A}
OX{\ displaystyle O_ {X}}
X{\ displaystyle X}
(X,OX){\ displaystyle (X, O_ {X})}
X{\ displaystyle X}![X](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab)
Un morfism al varietăților afine este un morfism al spațiilor inelate local .
X→Da{\ displaystyle X \ to Y}
(X,OX)→(Da,ODa){\ displaystyle (X, O_ {X}) \ to (Y, O_ {Y})}![{\ displaystyle (X, O_ {X}) \ to (Y, O_ {Y})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d91605e154e94d0b49eac092e6906f381f3f4cd6)
Exemplu Varietatea afină se numește spațiul afin de dimensiune peste .
Spm(k[X1,...,Xnu]){\ displaystyle {\ rm {Spm}} (k [X_ {1}, \ ldots, X_ {n}])}
nu{\ displaystyle n}
k{\ displaystyle k}![k](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3c9a2c7b599b37105512c5d570edc034056dd40)
Primele proprietăți
- Un morfism al varietăților afine este determinat în mod unic de un morfism de -algebre, iar morfismul este cel asociat cu cel de mai sus. Astfel un morfismf:Spm(B)→Spm(LA){\ displaystyle f: {\ rm {Spm}} (B) \ to {\ rm {Spm}} (A)}
k{\ displaystyle k}
ϕ:LA→B{\ displaystyle \ phi: A \ to B}
f{\ displaystyle f}
ϕ{\ displaystyle \ phi}![\ phi](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72b1f30316670aee6270a28334bdf4f5072cdde4)
Spm(k[X1,...,Xnu]/Eu)→Spm(k[Da1,...,Dam]/J){\ displaystyle {\ rm {Spm}} (k [X_ {1}, \ ldots, X_ {n}] / I) \ to {\ rm {Spm}} (k [Y_ {1}, \ ldots, Y_ {m}] / J)}
este întotdeauna dat de un morfism de -algebre astfel încât . Pe planul stabilit (dacă este închis algebric), morfismul trimite un punct pe , unde . Este o hartă polinomială.
k{\ displaystyle k}
ψ:k[Da1,...,Dam]→k[X1,...,Xnu]{\ displaystyle \ psi: k [Y_ {1}, \ ldots, Y_ {m}] \ to k [X_ {1}, \ ldots, X_ {n}]}
ψ(J)⊆Eu{\ displaystyle \ psi (J) \ subseteq I}
k{\ displaystyle k}
(X1,...,Xnu)∈Z(Eu){\ displaystyle (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) \ în Z (I)}
(P1(X1,...,Xnu),...,Pm(X1,...,Xnu)){\ displaystyle (P_ {1} (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}), \ ldots, P_ {m} (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}))}
Peu(X1,...,Xnu)=ψ(Daeu){\ displaystyle P_ {i} (X_ {1}, \ ldots, X_ {n}) = \ psi (Y_ {i})}![{\ displaystyle P_ {i} (X_ {1}, \ ldots, X_ {n}) = \ psi (Y_ {i})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f00acc4e9cebc6d1c2151c4bdd4bd5120acd15ed)
- Orice subvenție închisă a unui soi afin este un soi rafinat pentru un ideal .Spm(LA){\ displaystyle {\ rm {Spm}} (A)}
Spm(LA/Eu){\ displaystyle {\ rm {Spm}} (A / I)}
Eu{\ displaystyle I}![Eu](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/535ea7fc4134a31cbe2251d9d3511374bc41be9f)
- Pentru orice , varietatea afină este o subvenție deschisă a cărui spațiu subiacent este .f∈LA{\ displaystyle f \ în A}
Spm(LAf){\ displaystyle {\ rm {Spm}} (A_ {f})}
Spm(LA){\ displaystyle {\ rm {Spm}} (A)}
D(f){\ displaystyle D (f)}![D (f)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d5afbbd0e5cc5450dff4f0de2006936c4bc3acc)
- În general, există subvenții deschise afine dintre care nu sunt de formă și există subvenții deschise care nu sunt afine.Spm(LA){\ displaystyle {\ rm {Spm}} (A)}
Spm(LAf){\ displaystyle {\ rm {Spm}} (A_ {f})}![{\ displaystyle {\ rm {Spm}} (A_ {f})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd750202c10b66cd81475d0d5e115f8a410635bf)
Deoarece polinoamele sunt formal derivate (iar derivatele lor sunt polinoame), putem algebraiza o parte din calculele geometriei diferențiale . În special este posibil să se efectueze calcule liniare pe un distribuitor algebric Spm A la fiecare dintre punctele sale m , construind acolo un spațiu vectorial tangent și cotangent. Aceste spații vectoriale sunt obținute din inelul localizat A m .
Referinţă
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">