Tribul produsului
Definiție
Având în vedere două spații măsurabile și , tribul produsului, remarcat , face posibilă acordarea unei structuri spațiale măsurabile setului de produse ; este definit după cum urmează:
(Ω1,T1){\ displaystyle (\ Omega _ {1}, {\ mathcal {T}} _ {1})}(Ω2,T2){\ displaystyle (\ Omega _ {2}, {\ mathcal {T}} _ {2})}T1⊗T2{\ displaystyle {\ mathcal {T}} _ {1} \ otimes {\ mathcal {T}} _ {2}} Ω1×Ω2{\ displaystyle \ Omega _ {1} \ times \ Omega _ {2}}
-
T1⊗T2{\ displaystyle {\ mathcal {T}} _ {1} \ otimes {\ mathcal {T}} _ {2}}este câmpul generat de blocurile măsurabile unde sau, în mod echivalent, cel mai mic trib care conține pavele măsurabile;R=R1×R2{\ displaystyle R = R_ {1} \ times R_ {2}}R1∈T1,R2∈T2{\ displaystyle R_ {1} \ in {\ mathcal {T}} _ {1}, R_ {2} \ in {\ mathcal {T}} _ {2}}
- ea poate fi , de asemenea , definite ca cele mai mici de fabricare trib măsurabile proiecțiile și definite prin: .pr1{\ displaystyle pr_ {1}}pr2{\ displaystyle pr_ {2}}preu(ω1,ω2)=ωeu, eu=1,2{\ displaystyle pr_ {i} (\ omega _ {1}, \ omega _ {2}) = \ omega _ {i}, \ i = 1,2}
Este foarte ușor să arătăm că o aplicație , definită pe un spațiu măsurabil cu valori în spațiul produsului , este măsurabilă pentru tribul produsului dacă și numai dacă aplicațiile coordonate sunt fiecare măsurabile pentru triburi .
f{\ displaystyle f}(Ω,LA){\ displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {A}})}(E1×E2,T1×T2){\ displaystyle (E_ {1} \ times E_ {2}, {\ mathcal {T}} _ {1} \ times {\ mathcal {T}} _ {2})}feu{\ displaystyle f_ {i}}Teu{\ displaystyle {\ mathcal {T}} _ {i}}
De Lema de transport arată că hartile y ↦ ( x, y ) (pentru x fixe) și x ↦ ( x, y ) (pentru y fixe) sunt de asemenea măsurabile.
Exemplu: tribul borelian produs
Având în vedere două spații topologice și prevăzute cu triburile lor boreliene respective și . Există apoi două modalități naturale de a oferi produsului o structură spațială măsurabilă:
(Ω1,O1){\ displaystyle (\ Omega _ {1}, {\ mathcal {O}} _ {1})}(Ω2,O2){\ displaystyle (\ Omega _ {2}, {\ mathcal {O}} _ {2})}B1{\ displaystyle {\ mathcal {B}} _ {1}}B2{\ displaystyle {\ mathcal {B}} _ {2}}Ω1×Ω2{\ displaystyle \ Omega _ {1} \ times \ Omega _ {2}}
- din tribul produs B1⊗B2{\ displaystyle {\ mathcal {B}} _ {1} \ otimes {\ mathcal {B}} _ {2}}
- din tribul Borelian generat de topologia produsului , remarcat .O1×O2{\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {1} \ times {\ mathcal {O}} _ {2}}B(O1×O2){\ displaystyle {\ mathcal {B}} ({\ mathcal {O}} _ {1} \ times {\ mathcal {O}} _ {2})}
- Noi întotdeauna: .B1⊗B2⊂B(O1×O2){\ displaystyle {\ mathcal {B}} _ {1} \ otimes {\ mathcal {B}} _ {2} \ subset {\ mathcal {B}} ({\ mathcal {O}} _ {1} \ times {\ mathcal {O}} _ {2})}
Într-adevăr, proiecțiile sunt continue pentru topologia produsului, deci măsurabile pentru tribul Borelian; tribul produs fiind cel mai mic trib, făcând proiecțiile măsurabile, se obține incluziunea dorită.
preu{\ displaystyle pr_ {i}}
- Dacă spațiile topologice au o bază numărabilă atunci .(Ωeu,Oeu){\ displaystyle (\ Omega _ {i}, {\ mathcal {O}} _ {i})}B1⊗B2=B(O1×O2){\ displaystyle {\ mathcal {B}} _ {1} \ otimes {\ mathcal {B}} _ {2} = {\ mathcal {B}} ({\ mathcal {O}} _ {1} \ times { \ mathcal {O}} _ {2})}
Într-adevăr, fie o deschidere de , atunci este o uniune numărabilă de blocuri măsurabile ale formei (deoarece acestea formează o bază numărabilă a topologiei produsului): de unde de unde .
U{\ displaystyle U}O1×O2{\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {1} \ times {\ mathcal {O}} _ {2}}U{\ displaystyle U}U1×U2{\ displaystyle U_ {1} \ times U_ {2}}U∈B1⊗B2,{\ displaystyle U \ in {\ mathcal {B}} _ {1} \ otimes {\ mathcal {B}} _ {2},}B(O1×O2)⊂B1⊗B2{\ displaystyle {\ mathcal {B}} ({\ mathcal {O}} _ {1} \ times {\ mathcal {O}} _ {2}) \ subset {\ mathcal {B}} _ {1} \ alteori {\ mathcal {B}} _ {2}}
Un posibil contraexemplu este setul de funcții reale delimitate.
Ω1=Ω2=B(R,R){\ displaystyle \ Omega _ {1} = \ Omega _ {2} = {\ mathcal {B}} (\ mathbb {R}, \ mathbb {R})}
Produs de n triburi
Produsul unui număr finit de, să zicem , triburi este definit în mod similar: este cel mai mic trib care conține plăcile măsurabile . Proprietățile declarate pentru produsul a două triburi se extind fără dificultate la cazul triburilor.
nu{\ displaystyle n}R1×...×Rnu{\ displaystyle R_ {1} \ times \ ldots \ times R_ {n}}nu{\ displaystyle n}
Produs numeros al triburilor
Dacă luăm acum în considerare un produs numărabil al spațiilor măsurate , tribul produsului , definit pe setul de produse , este tribul generat de seturile formei unde și unde, cu excepția unui număr finit de indici .
(Ωnu,Tnu){\ displaystyle (\ Omega _ {n}, {\ mathcal {T}} _ {n})}⊗nu∈NUTnu{\ displaystyle \ otimes _ {n \ in \ mathbb {N}} {\ mathcal {T}} _ {n}}∏nu∈NUΩnu{\ displaystyle \ prod _ {n \ in \ mathbb {N}} \ Omega _ {n}}∏nu∈NURnu{\ displaystyle \ prod _ {n \ in \ mathbb {N}} R_ {n}}Rnu∈Tnu{\ displaystyle R_ {n} \ în {\ mathcal {T}} _ {n}}Rnu=Ωnu{\ displaystyle R_ {n} = \ Omega _ {n}}nu{\ displaystyle n}
Vezi și tu
Măsurarea produsului
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">