Lema de transport
În matematică și mai ales în teoria măsurătorilor , lema de transport este utilizată pentru a arăta că anumite aplicații sunt măsurabile .
În cazul în care este un set și este un set de părți , vom nota tribul generat de .
LA{\ displaystyle A}VS⊂P(LA){\ displaystyle {\ mathcal {C}} \ subset {\ mathcal {P}} \ left (A \ right)}LA{\ displaystyle A}σ(VS){\ displaystyle \ sigma \ left ({\ mathcal {C}} \ right)}VS{\ displaystyle {\ mathcal {C}}}
State
Fie și să fie două seturi, o aplicație și un set de părți ale , atunci avem .
X{\ displaystyle X}Da{\ displaystyle Y}f:X→Da{\ displaystyle f: \; X \ to Y}E⊂P(Da){\ displaystyle {\ mathcal {E}} \ subset {\ mathcal {P}} \ left (Y \ right)}Da{\ displaystyle Y}f-1(σ(E))=σ(f-1(E)){\ displaystyle f ^ {- 1} \ left (\ sigma \ left ({\ mathcal {E}} \ right) \ right) = \ sigma \ left (f ^ {- 1} \ left ({\ mathcal {E }} \ corect corect)}
Exemplu de aplicare
O aplicație clasică a lemei de transport este de a arăta că o hartă continuă este boreliană .
Într-adevăr dacă și sunt spații topologice , este borelian dacă și numai dacă ; sau după lema transportului . Dacă presupunem că este continuu , atunci avem și așadar .
(X,O){\ displaystyle (X, {\ mathcal {O}})}(Da,U){\ displaystyle (Y, {\ mathcal {U}})}}f:(X,σ(O))→(Da,σ(U)){\ displaystyle f: (X, \ sigma ({\ mathcal {O}})) \ to (Y, \ sigma ({\ mathcal {U}}))}}f-1(σ(U))⊂σ(O){\ displaystyle f ^ {- 1} (\ sigma ({\ mathcal {U}})) \ subset \ sigma \ left ({\ mathcal {O}} \ right)}f-1(σ(U))=σ(f-1(U)){\ displaystyle f ^ {- 1} \ left (\ sigma \ left ({\ mathcal {U}} \ right) \ right) = \ sigma \ left (f ^ {- 1} \ left ({\ mathcal {U }} \ corect corect)}f{\ displaystyle f}f-1(U)⊂O{\ displaystyle f ^ {- 1} \ left ({\ mathcal {U}} \ right) \ subset {\ mathcal {O}}}σ(f-1(U))⊂σ(O){\ displaystyle \ sigma (f ^ {- 1} \ left ({\ mathcal {U}} \ right)) \ subset \ sigma ({\ mathcal {O}})}f-1(σ(U))⊂σ(O){\ displaystyle f ^ {- 1} (\ sigma ({\ mathcal {U}})) \ subset \ sigma \ left ({\ mathcal {O}} \ right)}
Caz general
Mai general, lema transportului spune că dacă și sunt spații măsurabile și dacă astfel, atunci este măsurabilă dacă și numai dacă acest lucru nu este banal și poate simplifica considerabil caracterizarea aplicațiilor -măsurabile.
(X,LA){\ displaystyle (X, {\ mathcal {A}})}(Da,B){\ displaystyle (Y, {\ mathcal {B}})}VS⊂P(Da){\ displaystyle {\ mathcal {C}} \ subset {\ mathcal {P}} (Y)}σ(VS)=B{\ displaystyle \ sigma ({\ mathcal {C}}) = {\ mathcal {B}}}f:(X,LA)→(Da,B){\ displaystyle f: (X, {\ mathcal {A}}) \ to (Y, {\ mathcal {B}})}f-1(VS)⊂LA{\ displaystyle f ^ {- 1} ({\ mathcal {C}}) \ subset {\ mathcal {A}}}(LA,B){\ displaystyle ({\ mathcal {A}}, {\ mathcal {B}})}
Note și referințe
-
Marc Briane și Gilles Pagès, Teoria integrării , Paris, Vuibert , col. „Marile cursuri Vuibert”,Octombrie 2000, 302 p. ( ISBN 2-7117-8946-2 ) , p. 49 și 53.
-
Vedeți demonstrația lemei de transport pe Wikiversitate .
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">