Trib născut

Fiind dat un set de părți ale aceluiași set $X$ , tribul generat de sau Borel extindere a este cel mai mic trib (în sensul de includere) care conține . O observăm sau . $\ mathcal C$ $\ mathcal C$ $\ mathcal C$ $\ mathcal C$ ${\ displaystyle \ sigma ({\ mathcal {C}})}$ ${\ displaystyle B {\ mathcal {C}}}$

Definiții

Trib generat de un set de piese

Propunere și definiție - fie $X$ un set și un set de subseturi de $X$ . Există un trib mai mic pe $X$ (pentru includere) care conține . Noi o numim tribul născut de , și l - am scrie în jos . $\ mathcal C$ $\ mathcal C$ $\ mathcal C$ ${\ displaystyle \ sigma ({\ mathcal {C}})}$

Dovedim cu ușurință existența definind-o ca intersecție a tuturor triburilor de pe $X$ care conțin (această intersecție are un sens, deoarece există cel puțin un astfel de trib, și anume așa-numitul trib discret format din toate părțile lui $X$ ) . ${\ displaystyle \ sigma ({\ mathcal {C}})}$ $\ mathcal C$

Trib generat de o familie de aplicații

Definiție - Fie $X$ un set, $I$ un set de indici și fiecare să fie un spațiu măsurabil și o hartă . $i \ in I$ ${\ displaystyle (X_ {i}, {\ mathcal {A}} _ {i})}$ ${\ displaystyle f_ {i} \, \ colon \, X \ to X_ {i}}$

Tribul generat de reuniunea triburilor de imagine reciprocă se numește un trib generat de familie . O observăm . $(f_ {i}) _ {{i \ in I}}$ ${\ displaystyle f_ {i} ^ {- 1} ({\ mathcal {A}} _ {i})}$ ${\ displaystyle \ sigma (f_ {i}, i \ in I)}$

Este ușor să verificați dacă:

tribul generat este cel mai mic trib care face simultan toate hărțile $f$ $i$ măsurabile .
observând , pentru orice hartă a unui spațiu măsurabil la , $g$ este măsurabilă dacă și numai dacă fiecare este. ${\ displaystyle {\ mathcal {A}} = \ sigma (f_ {i}, i \ in I)}$ $g$ ${\ displaystyle (Y, {\ mathcal {B}})}$ $(X, {\ mathcal A})$ ${\ displaystyle f_ {i} \ circ g}$

Exemple

Fie și , atunci . $A \ in {\ mathcal P} (X), A \ neq X$ ${\ displaystyle A \ neq \ varnothing}$ ${\ displaystyle \ sigma (\ {A \}) = \ {\ varnothing, A, {} ^ {c} A, X \}}$
Să fie setul de singuliți ai universului . Tribul este egal sau contabil . ${\ displaystyle {\ mathcal {L}} = \ {\ {x \}, x \ în X \}}$ ${\ displaystyle X \,}$ $\ sigma ({\ mathcal L})$ $\ {A \ în {\ mathcal P} (X), A$ ${} ^ {c} A \,$ $\} \,$
Într-un spațiu topologic , tribul generat de deschis (sau, ceea ce vine la același lucru, de închis ) este numit tribul Borelian .
Având în vedere un spațiu măsurat , tribul generat de elementele și seturile neglijabile pentru $μ$ se numește tribul complet al lui . Este menționat în articolul „ Finalizarea unei măsuri ”. ${\ displaystyle (X, {\ mathcal {A}}, \ mu)}$ ${\ mathcal A}$ ${\ mathcal A}$

Construcție neterminată

O metodă de construcție a recurenței transfinite permite, în general, o descriere a tribului generat de o parte . A fost aplicat în 1898 de Émile Borel pentru a defini familia care acum este numită tribul Borelian . $\ mathcal C$

Pentru a o descrie, să folosim mai întâi o notație: pentru un set de părți ale unui set $X$ , denotăm setul de reuniuni numărabile ale elementelor și setul de intersecții numărabile. ${\ mathcal {F}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {\ sigma}}$ ${\ mathcal {F}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {\ delta}}$

O primă idee, care nu este concludentă, ar putea fi următoarea: plecăm de la setul compus din elementele și complementele lor. Pentru a construi elemente noi ale tribului generat, aplicăm părților care apar în clasă operațiile de uniune numărabilă și intersecție numărabilă: obținem astfel o nouă clasă . Începem operația din nou prin pozare și așa mai departe prin recurență. Am putea spera ca reuniunea a secvenței în creștere a răspunsurilor la întrebarea: aceasta este , evident , nu este gol, fiecare este stabil de complementar, operațiunile de reuniune sau de trimitere intersecție infinit în . Dar acest ultim punct nu implică faptul că ele trimit reunirea lui în sine: că ne gândim la o posibilă succesiune de seturi în care fiecare este un element al . Nu există nicio garanție că întâlnirea sau intersecția sa vor fi, de asemenea, într-una din . ${\ mathcal {F}} _ {0}$ $\ mathcal C$ ${\ mathcal {F}} _ {0}$ ${\ mathcal {F}} _ {1}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {2} = ({\ mathcal {F}} _ {1}) _ {\ sigma} \ cup ({\ mathcal {F}} _ {1}) _ { \ delta}}$ ${\ mathcal {F}} _ {n}$ ${\ mathcal {F}} _ {n}$ ${\ mathcal {F}} _ {n}$ ${\ mathcal {F}} _ {n + 1}$ ${\ mathcal {F}} _ {n}$ ${\ displaystyle (A_ {i}) _ {i \ in \ mathbb {N} ^ {*}}}$ $Avea}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {i} \ setminus {\ mathcal {F}} _ {i-1}}$ ${\ mathcal {F}} _ {n}$

Această idee poate fi totuși exploatată, dar cu condiția de a împinge mai departe construcția prin efectuarea unei recidive transfinite . Definim o aplicație sursă astfel încât, cu fiecare ordinal , aplicația asociază un set de părți ale lui $X$ , conform următoarei proceduri: ${\ displaystyle \ aleph _ {1} +1}$ ${\ displaystyle \ alpha \ in \ aleph _ {1} +1}$

${\ mathcal {F}} _ {0}$ este ansamblul alcătuit din elementele și complementele lor. ; $\ mathcal C$
pentru fiecare ordinal $α$ , ; ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {\ alpha +1} = ({\ mathcal {F}} _ {\ alpha}) _ {\ sigma} \ cup ({\ mathcal {F}} _ {\ alfa}) _ {\ delta}}$
pentru toate limită ordinal $p$ , . ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {\ beta} = \ bigcup _ {\ alpha <\ beta} {\ mathcal {F}} _ {\ alpha}}$

Not˘am cu $ω 1$ primul ordinal nenumărat ; putem verifica apoi cu ușurință că:

{\ displaystyle \ sigma ({\ mathcal {C}}) = \ bigcup _ {\ alpha <\ omega _ {1}} {\ mathcal {F}} _ {\ alpha}.}

Includerea în sens este ușor - prin inducție transfinit putem vedea cu ușurință că pentru orice ordinal $α$ , este inclus în . Prin urmare, întregul este și el. $\ supset$ ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {\ alpha}}$ ${\ displaystyle \ sigma ({\ mathcal {C}})}$ ${\ displaystyle \ bigcup _ {\ alpha <\ omega _ {1}} {\ mathcal {F}} _ {\ alpha}}$
Pentru semnificație , observăm acest lucru și că, prin urmare, este suficient să ne asigurăm că acest ultim set este el însuși un trib pentru a garanta că acesta va conține . Cu toate acestea, este evident ne-gol, stabil prin complementaritate, deoarece fiecare este (recurență transfinită ușoară, folosind legile lui De Morgan pentru trecerea la un ordinal succesor ), doar stabilitatea prin uniune numărabilă necesită puțină atenție. Fie deci o secvență de elemente ale ; pentru fiecare denotați cel mai mic ordinal, cum ar fi și, în cele din urmă, set . Ca o uniune numărabilă de ordinali numărabili, $β$ este ea însăși un ordinal numărabil - atunci este ușor să verificăm asta . Stabilitatea pe uniune numărabilă este dovedită. $\ subset$ ${\ displaystyle {\ mathcal {C}} \ subset {\ mathcal {F}} _ {0} \ subset \ bigcup _ {\ alpha <\ omega _ {1}} {\ mathcal {F}} _ {\ alpha }}$ ${\ displaystyle \ sigma ({\ mathcal {C}})}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {\ alpha}}$ $(A_i) _ {i \ in \ N}$ ${\ displaystyle \ bigcup _ {\ alpha <\ omega _ {1}} {\ mathcal {F}} _ {\ alpha}}$ $eu$ $\ alpha_i$ ${\ displaystyle A_ {i} \ in {\ mathcal {F}} _ {\ alpha _ {i}}}$ ${\ displaystyle \ beta = \ bigcup _ {i \ in \ mathbb {N}} \ alpha _ {i}}$ ${\ displaystyle \ bigcup _ {i \ in \ mathbb {N}} A_ {i} \ in {\ mathcal {F}} _ {\ beta +1} \ subset \ bigcup _ {\ alpha <\ omega _ {1 }} {\ mathcal {F}} _ {\ alpha}}$

Când $X$ este un spațiu topologic metrizabil și topologia pe $X$ , această construcție admite variante. Aici nu este necesar să inițializați recurența prin amestecarea deschisă și închisă așa cum s-ar face dacă s-ar urma instrucțiunile date mai sus pentru a defini . Într-adevăr, metrizabilitatea garantează că fiecare închis este un G δ (și fiecare deschis este un F σ ), deci dacă inițializăm recurența luând , le găsim pe cele închise ; se poate alege desigur simetric o inițializare pornind de la setul de închis. Considerarea comună a acestor două iterații paralele duce la introducerea notațiilor standardizate, aceste familii crescânde de clase jucând un rol important în teoria descriptivă a mulțimilor : aceasta se numește ierarhie Borel . $\ mathcal C$ ${\ mathcal {F}} _ {0}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {0} = {\ mathcal {C}}}$ ${\ mathcal {F}} _ {1}$

Un rezultat al cardinalității

Teorema - Fie un spațiu măsurat. Dacă există o parte infinită numărabilă a tribului care o generează, atunci are puterea continuului . $(X, {\ mathcal A})$ ${\ mathcal A}$ ${\ mathcal A}$

Dovadă : Să denotăm partea infinită numărabilă a enunțului. $\ mathcal C$

Triburile infinite au toate cel puțin puterea continuului (vezi secțiunea „Cardinalitatea triburilor” din articolul „ Trib ”). conținând mulțimea infinită , este infinită și cardinalul său este, prin urmare, mai mare sau egal cu cardinalul continuumului. ${\ mathcal A}$ $\ mathcal C$ ${\ mathfrak {c}}$

Să arătăm inegalitatea inversă. Cu notațiile secțiunii anterioare, clasa care inițializează inducția este infinită. Construim o reuniune numărabilă a părților din fiecare secvență de elemente (fiind înțeles, desigur, că multe suite oferă aceeași reuniune). Cardinalul lui este, prin urmare, mai mic sau egal cu cel al lui , care este . Este la fel cu intersecțiile și concluzionăm că cardinalul lui este mai mic sau egal cu . ${\ mathcal {F}} _ {0}$ ${\ mathcal {F}} _ {0}$ ${\ mathcal {F}} _ {0}$ ${\ displaystyle ({\ mathcal {F}} _ {0}) _ {\ sigma}}$ ${\ displaystyle ({\ mathcal {F}} _ {0}) ^ {\ mathbb {N}}}$ ${\ displaystyle \ aleph _ {0} ^ {\ aleph _ {0}} = {\ mathfrak {c}}}$ ${\ mathcal {F}} _ {1}$ ${\ mathfrak {c}}$

Folosind același raționament, cardinalul lui este la rândul său mai mic sau egal cu . ${\ mathcal {F}} _ {2}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {c}} ^ {\ aleph _ {0}} = {\ mathfrak {c}}}$

Arătăm apoi prin inducție transfinită că pentru toate $α < ω 1$ :

{\ displaystyle \ mathrm {card} \, {\ mathcal {F}} _ {\ alpha} \ leq {\ mathfrak {c}}.}

Când $α$ este un ordinal succesor, este aceeași metodă ca cea explicată în pasajul de la la ; atunci când $α$ este un ordinal limită, este prin definiție o uniune numărabilă de seturi de cardinale mai mici sau egale cu , prin urmare ea însăși de cardinale mai mici sau egale cu . ${\ mathcal {F}} _ {1}$ ${\ mathcal {F}} _ {2}$ ${\ mathfrak {c}}$ ${\ displaystyle \ aleph _ {0} \, {\ mathfrak {c}} = {\ mathfrak {c}}}$

În cele din urmă, tribul este scris ca o uniune de seturi care sunt toate de formă , folosind un set de indici cardinali . Concluzionăm că . ${\ mathcal A}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {\ alpha}}$ $\ aleph _ {1}$ ${\ displaystyle \ mathrm {card} \, {\ mathcal {A}} \ leq \ aleph _ {1} \, {\ mathfrak {c}} = {\ mathfrak {c}}}$

CQFD

Această teoremă se aplică în special tribului borelian de pe spațiul ℝ n , care este generat de blocurile cu coordonate raționale . Mai general, concluzia sa este valabilă și pe orice spațiu infinit Lusin .

Setați extensii de funcții

În problemele menționate în această secțiune, avem informații despre o funcție $μ$ definită pe o clasă de părți ale unui set $X$ și dorim să le propagăm către întregul trib generat . $\ mathcal C$ ${\ displaystyle \ sigma ({\ mathcal {C}})}$

Probleme de unicitate

În această problematică, știm că $μ$ este restricția unei măsuri; vrem să ne asigurăm că, cu această restricție, avem suficiente informații despre subiect pentru a caracteriza pe deplin $μ$ .

Se pare că cunoașterea unei măsurători pe o parte generatoare a unui trib nu permite în general reconstituirea acestuia: două măsurători pot coincide pe o clasă fără a coincide totuși pe întregul trib . $\ mathcal C$ ${\ displaystyle \ sigma ({\ mathcal {C}})}$

Exemple:

Pe singleton, dăm . Tribul născut este întreg; sunt posibile cel puțin două extensii ale $μ$ : poate este zero sau poate este singura măsură a probabilității . ${\ displaystyle \ Omega = \ {a \}}$ ${\ displaystyle \ mu (\ varnothing) = 0}$ ${\ displaystyle \ {\ varnothing \}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {P}} (\ {1 \})}$ $\Omega$
Chiar dacă știm că măsura care trebuie reconstituită este o măsură a probabilității tribului generat, reconstrucția sa nu este neapărat posibilă. Luați în considerare un set de patru elemente. Setul de părți generează în mod clar tribul discret. Cu toate acestea, dacă știm că o măsură de probabilitate îndeplinește cele două condiții și , cel puțin două reconstrucții sunt posibile: poate toate extragerile sunt la fel de probabile, sau poate doar extragerile aa și bb sunt posibile cu echiprobabilitate. ${\ displaystyle \ Omega = \ {aa, ab, ba, bb \}}$ ${\ displaystyle \ {\ {aa, ab \}, \ {aa, ba \} \}}$ ${\ displaystyle P (\ {aa, ab \}) = 1/2}$ ${\ displaystyle P (\ {aa, ba \}) = 1/2}$

Pentru o măsură de probabilitate, există totuși o condiție suficientă simplă care să garanteze că valorile acesteia o caracterizează: este suficient să fie stabil prin intersecție finită (în jargonul teoriei măsurătorilor, spunem că este un sistem π). Tocmai, avem: $\ mathcal C$ $\ mathcal C$

Lema unicității măsurilor de probabilitate - Două măsuri de probabilitate și definite pe spațiul probabilității și care coincid pe un set de evenimente stabile prin intersecție (finită) coincid și pe tribul generat de : ${\ displaystyle \ mathbb {P} \}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Q} \}$ ${\ displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {A}})}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {C}} \ subset {\ mathcal {A}}}$ $\ mathcal C$

{\ displaystyle \ {\ forall A \ in {\ mathcal {C}}, \ quad \ mathbb {P} (A) = \ mathbb {Q} (A) \} \ quad \ Rightarrow \ quad \ {\ forall A \ in \ sigma ({\ mathcal {C}}), \ quad \ mathbb {P} (A) = \ mathbb {Q} (A) \}.}

Dovada este imediată dintr-o lemă, numită "lemă de clasă monotonă" sau "teorema lambda-pi a lui Dynkin ":

Lemă de clasă monotonă - Fie $X$ un set și un subset de presupus a fi stabil prin intersecție finită. Apoi tribul generat de acesta poate fi descris ca cea mai mică parte din care: $\ mathcal C$ ${\ displaystyle {\ mathcal {P}} (X)}$ ${\ displaystyle \ sigma ({\ mathcal {C}})}$ $\ mathcal C$ ${\ displaystyle {\ mathcal {P}} (X)}$

conține $X$ ;
fie stabil prin diferența de părți imbricate: dacă ambele apar acolo, trebuie să apară și acolo; $A \ subset B$ $B \ setminus A$
fi stabil prin creșterea uniunii numărabile.

Un exemplu pozitiv de utilizare a rezultatelor acestei secțiuni este caracterizarea măsurătorilor de probabilitate prin funcția lor de distribuție , setul de intervale ale formei $] -\infty, x ], x \in ℝ$ fiind generator al tribului Borelian și stabil prin intersecție .

Probleme de existență

Aici problema este de a generaliza într-un cadru abstract ideile care au condus la definirea măsurii Lebesgue pe linia reală: dată fiind o clasă de mulțimi pe care o definiție a măsurii pare foarte naturală ( dreptunghiurile din cadrul Lebesgue măsură în plan), avem pe această clasă o funcție stabilită rezonabilă $μ$ ( aria ). Ce condiții vor fi suficiente pentru ca această funcție a seturilor să poată fi extinsă la întregul trib generat de , inclusiv la seturile ciudate pe care le poate conține? $\ mathcal C$ $\ mathcal C$

Un răspuns este dat de teorema extensiei lui Carathéodory . Iată o afirmație posibilă (în această afirmație, înțelegem prin „măsură” pe un inel de seturi o aplicație a acestui inel la $[0, + \infty]$ , σ-aditiv și luând cel puțin o valoare finită):

Teorema - Orice măsură pe un inel de seturi admite cel puțin o extensie într-o măsură definită pe tribul generat de acest inel.

Referințe

Această denumire și notație asociată, deși astăzi depășite, sunt folosite în special în (en) Andreï Nikolaïevich Kolmogorov ( tradus din germană de Nathan Morrison), Fundamentele teoriei probabilității [„ Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung ”], New York , Compania Editura Chelsea,1933, 84 p. ( OCLC 185529381 , citiți online )
Marc Briane și Gilles Pagès, Teoria integrării , Paris, Vuibert , col. „Marile cursuri Vuibert”,Octombrie 2000, 302 p. ( ISBN 2-7117-8946-2 ) , p. 47.
A se vedea de exemplu Manuel Samuelides, Probabilități pentru științe inginerești , Dunod ,2014( citiți online ) , p. 115și, în cazul unei singure cereri, Philippe Barbe și Michel Ledoux , Probability ( L3 M1 ) , EDP Sciences ,2007( citiți online ) , p. 5.
Briane și Pagès 2000 , p. 59.
Jean-Paul Pier, Istoria integrării. Douăzeci și cinci de secole de matematică , Masson,1996, 306 p. ( ISBN 978-2-225-85324-1 ) , p. 115.
Potrivit lui Daniel Revuz, Măsurare și integrare , Paris, Hermann ,1997, 212 p. ( ISBN 2-7056-6350-9 ) , p. 110-111.
Pentru informații generale despre ierarhia lui Borel, consultați Srivastava 1998 , p. 115-117.
(ro) Sashi Mohan Srivastava , Un curs despre seturile Borel , Springer,1998, 264 p. ( ISBN 978-0-387-98412-4 , citit online ) , p. 100, Teorema 3-3-18.
Pentru întreaga secțiune, a se vedea Briane și Pagès 2000 , p. 66-68.
Există o afirmație destul de simplă care provoacă una dată aici (în) Olav Kallenberg, Foundations of Modern Probability , Springer,2002, 638 p. ( ISBN 978-0-387-95313-7 , citit online ) , p. 26.
Această definiție poate fi găsită mai puțin concis în articolul „ Măsurare ”, secțiunea „Generalizare”.