Teorema bijecției

În analiza reală , teorema bijecției este un corolar al teoremei valorii intermediare , afirmând că o funcție continuă și strict monotonă pe un interval constituie o bijecție între acest interval și imaginea sa . Această bijecție este chiar un homeomorfism , adică funcția reciprocă este de asemenea continuă.

Această teoremă nu este adevărat pe numere raționale , care a împiedicat o construcție riguroasă a analizei la XIX - lea secol . Pentru o abordare riguroasă, a trebuit să așteptăm lucrările lui Méray , Dedekind și Cauchy, care au oferit o construcție de numere reale .

State

Pe un segment

Teorema bijecției dintre segmente - Dacă f este o funcție continuă și strict monotonă pe un interval [ a , b ] și cu valori reale, atunci acesta constituie o bijecție între [ a , b ] și intervalul închis ale cărui limite sunt f ( a ) și f ( b ).

Demonstrație

Să notăm cu J acest interval închis, adică mulțimea numerelor reale dintre f ( a ) și f ( b ).

Monotonia funcției implică faptul că imaginea intervalului [ a , b ] este conținută în J :
- dacă f crește, pentru toate x din [ a , b ] avem f ( a ) ≤ f ( x ) ≤ f ( b ) ;
- dacă f este în scădere, pentru toate x din [ a , b ] avem f ( b ) ≤ f ( x ) ≤ f ( a ) .
Faptul că această monotonie este strictă asigură faptul că două reale distincte nu pot avea aceeași imagine, cu alte cuvinte funcția este injectivă pe [ a , b ].
În final, teorema valoare intermediară (care se bazează pe ipoteza continuității) asigură faptul că orice element J are cel puțin un antecedent de f , adică că funcția este surjectiv în J .

Formulare echivalentăDacă f este continuu și strict monoton pe un interval [ a , b ] atunci, pentru orice k real din J , există o soluție unică la ecuația f ( x ) = k a x necunoscut în [ a , b ]. Mai mult, această ecuație nu are nicio soluție pe [ a , b ] pentru celelalte valori ale lui k .

Pe orice interval

Forma intervalului de imagine în funcție de direcția monotoniei și forma intervalului de pornire.

J

f

Eu

$Eu$	$f$ creştere	$f$ in scadere
$[a; b]$	$[f (a); f (b)] \,$	$[f (b); f (a)] \,$
$[a; b [$	$\ left [f (a); \ lim _ {b} f \ right [$	$\ left] \ lim _ {b} f; f (a) \ right]$
$] a; b]$	$\ left] \ lim _ {a} f; f (b) \ right]$	$\ left [f (b); \ lim _ {a} f \ right [$
$] a; b [$	$\ left] \ lim _ {a} f; \ lim _ {b} f \ right [$	$\ left] \ lim _ {b} f; \ lim _ {a} f \ right [$

Teorema este generalizată la intervale deschise sau semi-deschise, intervalul fiind apoi un interval de aceeași natură, cu limite care pot fi finite sau infinite. Existența limitelor funcției la limitele intervalului este asigurată de monotonie : este vorba apoi de limitele superioare și inferioare ale valorilor funcției pe acest interval. $J$

Această generalizare poate fi redusă la următoarea formulare:

Teorema - Dacă este continuă și strict monotonă pe un interval de limite și (finit sau infinit), pentru orice real strict între limitele en și en , există un unic de astfel încât , cu alte cuvinte, ecuația admite o soluție unică în . $f$ $Eu$ $la$ $b$ $k$ $f$ $la$ $b$ $vs.$ $Eu$ $f (c) = k$ $f (x) = k$ $Eu$

Aplicații

Această teoremă face posibilă definirea anumitor funcții reciproce, cum ar fi funcția rădăcină pătrată , funcțiile trigonometrice reciproce sinus arc , cosinus arc și tangent arc , dar și exponențial din logaritmul natural .

Reciprocuri ale teoremei

Este posibil să se construiască bijecții între intervale reale care nu sunt nici monotone, nici continue.

Demonstrație

Funcția definită de dacă aparține și dacă aparține definește o bijecție a în sine în timp ce nu este nici monotonă, nici continuă. $f$ ${\ displaystyle [0,2]}$ $f (x) = x$ $X$ $[0,1 [$ $f (x) = 3-x$ $X$ $[1,2]$ ${\ displaystyle [0,2]}$

Pe de altă parte, unele rezultate pot fi considerate reciproce ale teoremei bijecției.

O injecție a unui interval în ℝ care este continuu - sau mai general al lui Darboux , adică verificarea proprietății valorilor intermediare - este neapărat monotonă. În special, orice bijecție continuă între intervale reale este monotonă.
O surjecție monotonă a oricărei părți a lui ℝ pe un interval este în mod necesar continuă. În special, orice bijecție monotonă între intervale reale este continuă.

Homeomorfism

O funcție continuă de la A la B care admite un reciproc continuu de la B la A se numește homeomorfism . Ipotezele afirmațiilor precedente permit în realitate să demonstreze nu numai existența unei bijecții, ci și caracterul continuu al reciprocității sale. Teorema bijecției poate fi apoi enunțată după cum urmează:

Teorema - Fie o funcție continuă și strict monotonă, cu un interval $I$ în ℝ, inducând astfel o bijecție $f$ din $I$ pe o parte $J$ a ℝ, cu bijecție reciprocă $f -1 : J \to I$ (strict monotonă cu același sens ca $f$ ). Asa de :

$J$ este un interval;
$f$ este un homeomorfism, adică $f -1 : J \to I$ este continuu.

Demonstrație

$J$ este un interval. Aceasta este o consecință directă a teoremei valorilor intermediaredeoarece $I$ este un interval, iar $f$ este continuă pe $I$ .
$f ^ {- 1}$ este continuu . Este o aplicație a ultimei afirmații a secțiunii Reciproce a teoremei : este o funcție surjectivă monotonă a unui interval, $J$ , pe un interval, $I$ , deci este continuă. $f ^ {- 1}$ $f ^ {- 1}$

Faptul că o bijecție continuă are un reciproc continuu nu este întotdeauna adevărat.

Această proprietate poate fi falsă dacă setul de plecare sau sosire nu este ℝ.
Această proprietate poate fi falsă dacă setul de pornire nu este un interval de ℝ.
Această proprietate este o proprietate globală: o bijecție f de la ℝ la ℝ, continuă în a , poate avea un reciproc non-continuu în f ( a ).

Contra-exemple

Funcția lui $[0, 2π [$ în cercul unitar al planului ℝ × ℝ care cu θ asociază (cosθ, sinθ) este o bijecție continuă a cărei reciprocitate nu este continuă la (1.0).
Funcția lui [0, 1 [∪ [2, 3 [în [0, 2 [care, cu x , asociază x dacă x <1 și x - 1 dacă x ≥ 2, este o bijecție continuă strict monotonă al cărei n reciproc este nu continuu în 1.
Funcția lui ℝ în ℝ definită de:
- $f$ este ciudat;
- $f$ (2 k ) = k pentru tot numărul natural k ;
- ${\ displaystyle f (2k + 1) = {\ frac {1} {2k + 3}}}$ pentru tot numărul natural k ;
- ${\ displaystyle f \ left ({\ frac {1} {k}} \ right) = {\ frac {1} {2k-2}}}$ pentru orice număr întreg k strict mai mare decât 1;
- $f$ ( x ) = x pentru orice pozitiv real x altul decât un întreg sau inversul unui număr întreg;
este o bijecție continuă la 0 al cărei discurs nu este continuu la 0.

Note și referințe

(în) Marian Mureșan, O abordare concretă a analizei clasice , New York, Springer ,2009( ISBN 978-0-387-78933-0 , citit online ) , p. 165-166. De asemenea, demonstrat în „Teorema bijecției” de pe Wikiversitate .
Declarație de Alain Mézard și Charles Delorme, Curs superior de matematică , vol. 2, PUF ,1994( citiți online ) , p. 101 și 255și demonstrat în „Teorema bijecției” de pe Wikiversitate . Daniel Guinin și Bernard Joppin, MPSI Analysis , Bréal ,2003( citiți online ) , p. 163, a. 10 (b), enunțați-l numai atunci când setul de pornire este, de asemenea, un interval și demonstrați-l mai puțin direct (folosind teorema limită monotonă ).
Această monotonie a lui $f -1$ nu necesită ca $f să$ fie continuu sau $să$ fiu un interval. Pur și simplu se datorează faptului că ordinea de pe $I$ este totală : cf. Relația comenzii # Creșterea aplicațiilor .
Bertrand Hauchecorne, The Counter-Example in Mathematics , Ellipses ( ISBN 978-2-7298-8806-0 ) , p. 61 .

Articol asociat

Teorema invarianței domeniului