În teoria operatorilor, teorema Gelfand-Mazur (demonstrată de Israel Gelfand și Stanisław Mazur ) este următoarea:
Teorema - Orice algebră Banach peste câmpul complexelor care este un câmp este izomorfă pentru câmpul complexelor.
Fie x un element diferit de zero al unei astfel de algebre, a cărei unitate va fi notată cu e .
prin urmare
ceea ce demonstrează conform regulii lui Cauchy că raza de convergență a întregii serii
e terminat.
Cu toate acestea, această serie converge pe orice disc cu centrul 0 inclus în domeniul definiției funcției . Astfel, există un complex λ astfel încât x - λ e să fie neinversibil și, prin urmare, x = λ e, deoarece algebra fiind presupusă a fi un câmp, singurul element neinversibil este 0.
Notă .
Existența unui complex λ astfel încât x - λ e să nu fie inversabilă, adică a unei valori spectrale de x , poate fi dedusă și din faptul că spectrul unui element al algebrei Complex Banach nu este niciodată gol.
Mazur a anunțat în 1938 următoarea teoremă mai generală:
Orice ge - algebră divizivă asociativă normată este izomorfă la ℝ, ℂ sau ℍ .Dovada sa - deși foarte succintă - a fost prea lungă pentru a fi acceptată de editor, dar a transmis detaliile elevului său Wiesław Żelazko (de) , care le-a publicat în 1968.
Prin urmare, Gelfand a dat, în 1941, prima dovadă publicată a afirmației, dar în forma sa simplificată (pentru o ℂ-algebră completă) permițând utilizarea teoriei funcțiilor holomorfe (cu valori într-un spațiu de dimensiune infinită) dar fiind redusă la cazul obișnuit de teorema Hahn-Banach ).