Tensorul de tensiune
Tulpina tensorul este simetrică tensor de ordinul 2 care servește pentru a descrie locale tulpina statului care rezultă din tensiuni .
Starea de deformare a unui solid este descrisă de un câmp tensorial , adică tensorul deformațiilor este definit în orice punct al solidului. Se vorbește despre acest fapt al câmpului de deformare .
În cadrul elasticității liniare, tensorul tulpinilor este conectat la tensorul tensiunilor prin legea generalizată a lui Hooke .
Definiția operatorului de tulpină
Tensorul de deformare își propune să caracterizeze la un moment dat variația în lungime a unui segment în urma transformării suferite de mediu. Deformarea mediului poate fi descrisă de funcția (presupusă a fi suficient de regulată) care, într-un punct A al mediului, își asociază transformarea A ':
OLA′→=Φ(LA,t){\ displaystyle {\ overrightarrow {OA '}} = \ Phi (A, t)}Luați în considerare un segment AB care se transformă în A „
B ”. Tensorul de deformare face posibilă cuantificarea . De fapt, avem:
‖LA′B′→‖2-‖LAB→‖2{\ displaystyle \ | {\ overrightarrow {A'B '}} \ | ^ {2} - \ | {\ overrightarrow {AB}} \ | ^ {2}}
OLA′→=Φ(LA,t){\ displaystyle {\ overrightarrow {OA '}} = \ Phi (A, t)}Prin urmare, putem scrie:
OB′→=OLA′→+F⋅LAB→+o(‖LAB→‖){\ displaystyle {\ overrightarrow {OB '}} = {\ overrightarrow {OA'}} + F \ cdot {\ overrightarrow {AB}} + o (\ | {\ overrightarrow {AB}} \ |)}sau
F=grlad(Φ)=∂Φ∂LA{\ displaystyle F = {\ rm {grad}} (\ Phi) = {\ frac {\ partial \ Phi} {\ partial A}}}este gradientul transformării . De unde :
Φ{\ displaystyle \ Phi}
LA′B′→=F⋅LAB→+o(‖LAB→‖){\ displaystyle {\ overrightarrow {A'B '}} = F \ cdot {\ overrightarrow {AB}} + o (\ | {\ overrightarrow {AB}} \ |)}Prin urmare, obținem, în prima ordine:
‖LA′B′→‖2-‖LAB→‖2=LAB→T(FT⋅F-Eud)LAB→{\ displaystyle \ | {\ overrightarrow {A'B '}} \ | ^ {2} - \ | {\ overrightarrow {AB}} \ | ^ {2} = {\ overrightarrow {AB}} ^ {T} \ stânga (F ^ {T} \ cdot F - {\ rm {Id}} \ dreapta) {\ overrightarrow {AB}}}Noi intrebam:
E=12(FT⋅F-Eud){\ displaystyle E = {\ frac {1} {2}} \ left (F ^ {T} \ cdot F - {\ rm {Id}} \ right)}E{\ displaystyle E}este operatorul tulpinilor Green -Lagrange. Este vorba despre un tensor simetric real, deci diagonalizabil într-o bază ortonormală . Direcțiile proprii sunt numite direcții principale ale tulpinii.
Dacă introducem vectorul de deplasare
tu(LA,t)=LALA′→=Φ(LA,t)-OLA→{\ displaystyle u (A, t) = {\ overrightarrow {AA '}} = \ Phi (A, t) - {\ overrightarrow {OA}}}noi obținem :
F=Eud+∂tu∂LA{\ displaystyle F = {\ rm {Id}} + {\ frac {\ partial u} {\ partial A}}}prin notarea derivata parțială a
și , prin urmare:
∂tu∂LA{\ displaystyle {\ frac {\ partial u} {\ partial A}}}tu{\ displaystyle u}
E=12(∂tu∂LA+∂tu∂LAT+∂tu∂LAT⋅∂tu∂LA){\ displaystyle E = {\ frac {1} {2}} \ left ({\ frac {\ partial u} {\ partial A}} + {\ frac {\ partial u} {\ partial A}} ^ {T } + {\ frac {\ partial u} {\ partial A}} ^ {T} \ cdot {\ frac {\ partial u} {\ partial A}} \ right)}
Caz de mici deformări
Tensor al tulpinilor liniarizate
Dacă se face presupunerea tulpinilor mici, se neglijează termenii de ordinul doi și se obține tensorul tulpinilor liniarizate:
ε=12(∂tu∂LA+∂tu∂LAT){\ displaystyle \ varepsilon = {\ frac {1} {2}} \ left ({\ frac {\ partial u} {\ partial A}} + {\ frac {\ partial u} {\ partial A}} ^ { T} \ dreapta)}Sub formă de componente pe bază ortonormală:
εeuj=12(∂tueu∂Xj+∂tuj∂Xeu){\ displaystyle \ varepsilon _ {ij} = {1 \ over 2} \ left ({\ partial u_ {i} \ over \ partial x_ {j}} + {\ partial u_ {j} \ over \ partial x_ {i }} \ dreapta)}
Interpretarea termenilor diagonali
Termenii diagonali sunt alungirile relative în direcția i (de-a lungul axei x i ). Să luăm cazul unui segment [ AB ], paralel cu axa x 1 , și ne interesează partea de deformare paralelă cu x 1 , pe care o vom denumi [ A'B ' ].
εeueu{\ displaystyle \ varepsilon _ {ii}}
Alungirea relativă merită (exprimată în distanțe algebrice):
LA′B′¯-LAB¯LAB¯{\ displaystyle {\ frac {{\ overline {A'B '}} - {\ overline {AB}}} {\ overline {AB}}}}Știind că
LALA′¯=tu1(LA){\ displaystyle {\ overline {AA '}} = u_ {1} (A)} și
BB′¯=tu1(B){\ displaystyle {\ overline {BB '}} = u_ {1} (B)}
unde este componenta de - a lungul axei x 1 , această alungire merită:
tu1{\ displaystyle u_ {1}}tu{\ displaystyle u}
LA′LA¯+LAB¯+BB′¯LAB¯-1=tu1(B)-tu1(LA)+LAB¯LAB¯-1=tu1(B)-tu1(LA)LAB¯{\ displaystyle {\ frac {{\ overline {A'A}} + {\ overline {AB}} + {\ overline {BB '}}} {\ overline {AB}}} - 1 = {\ frac {u_ {1} (B) -u_ {1} (A) + {\ overline {AB}}} {\ overline {AB}}} - 1 = {\ frac {u_ {1} (B) -u_ {1} (A)} {\ overline {AB}}}}Recunoaștem o rată de creștere a funcției și, dacă ne plasăm în mici deformări, putem înlocui această rată de creștere cu derivata lui , care dă:
tu1{\ displaystyle u_ {1}}tu1{\ displaystyle u_ {1}}
LA′B′¯-LAB¯LAB¯≃∂tu1∂X1=ε11{\ displaystyle {\ frac {{\ overline {A'B '}} - {\ overline {AB}}} {\ overline {AB}}} \ simeq {\ frac {\ partial u_ {1}} {\ partial x_ {1}}} = \ varepsilon _ {11}}Mai general :
εeueu=∂tueu∂Xeu=12(∂tueu∂Xeu+∂tueu∂Xeu){\ displaystyle \ varepsilon _ {ii} = {\ frac {\ partial u_ {i}} {\ partial x_ {i}}} = {\ frac {1} {2}} \ left ({\ frac {\ partial u_ {i}} {\ partial x_ {i}}} + {\ frac {\ partial u_ {i}} {\ partial x_ {i}}} \ right)}Coeficienți din cauza forfecării
Ceilalți termeni ( i ≠ j ) sunt variațiile pe jumătate ale unghiului drept al unui volum mic de substanță cubică înainte de deformare.
εeuj{\ displaystyle \ varepsilon _ {ij}}γ{\ displaystyle \ gamma}
Într-adevăr, un pătrat ABCD , în care [ AB ] este paralel cu x 1 și [ AD ] este paralel cu x 2 , se transformă într-un romb AB'C'D ' , simetric conform primei bisectoare a planului.
Tangenta unghiului este:
γ{\ displaystyle \ gamma}
bronzat(γ)=BB′¯LAB¯{\ displaystyle \ tan (\ gamma) = {\ frac {\ overline {BB '}} {\ overline {AB}}}}.
Pentru deformări mici, avem
bronzat(γ)≃γ{\ displaystyle \ tan (\ gamma) \ simeq \ gamma}precum și
BB′¯=tu2(B)≃tu2(LA)+∂tu2∂X1⋅LAB¯{\ displaystyle {\ overline {BB '}} = u_ {2} (B) \ simeq u_ {2} (A) + {\ frac {\ partial u_ {2}} {\ partial x_ {1}}} \ cdot {\ overline {AB}}}cu u 2 ( A ) = 0. Astfel,
γ≃∂tu2∂X1{\ displaystyle \ gamma \ simeq {\ frac {\ partial u_ {2}} {\ partial x_ {1}}}}Dacă luăm acum în considerare segmentul [ AD ]:
γ≃∂tu1∂X2{\ displaystyle \ gamma \ simeq {\ frac {\ partial u_ {1}} {\ partial x_ {2}}}}O rotație care nu este o deformare, putem presupune că cele două unghiuri sunt egale, chiar dacă aceasta înseamnă rotirea rombului și astfel
γ{\ displaystyle \ gamma}
γ=12(∂tu1∂X2+∂tu2∂X1)=ε12{\ displaystyle \ gamma = {\ frac {1} {2}} \ left ({\ frac {\ partial u_ {1}} {\ partial x_ {2}}} + {\ frac {\ partial u_ {2} } {\ partial x_ {1}}} \ right) = \ varepsilon _ {12}}Notă : în articolul Deformare elastică , unghiul definit este egal cu dublul unghiului definit aici.
γ{\ displaystyle \ gamma}
Modificarea relativă a volumului
Luați în considerare o prismă elementară generată de trei vectori . Transformarea sa de este prisma generată de .
(e10,e20,e30){\ displaystyle (e_ {10}, e_ {20}, e_ {30})}Φ{\ displaystyle \ Phi}(e1,e2,e3){\ displaystyle (e_ {1}, e_ {2}, e_ {3})}
Fie V 0 prisma inițială și V volumul transformării.
Avem, în prima ordine:
V=(e1∧e2)⋅e3=(F(e10)∧F(e20))⋅F(e30)=det(F)(e10∧e20)⋅e30=det(F)V0{\ displaystyle V = (e_ {1} \ wedge e_ {2}) \ cdot e_ {3} = (F (e_ {10}) \ wedge F (e_ {20})) \ cdot F (e_ {30} ) = \ det (F) (e_ {10} \ wedge e_ {20}) \ cdot e_ {30} = \ det (F) V_ {0}}Modificarea relativă a volumului este V-V0V0=ΔVV0=det(F)-1{\ displaystyle {\ frac {V-V_ {0}} {V_ {0}}} = {\ frac {\ Delta V} {V_ {0}}} = \ det (F) -1}
În cazul unor mici deformări, iar det (F) - 1 este egal cu prima ordine la urmele lui , care este egală cu urmele tensorului :F=Eud+∂tu∂LA{\ displaystyle F = {\ rm {Id}} + {\ frac {\ partial u} {\ partial A}}}∂tu∂LA{\ displaystyle {\ frac {\ partial u} {\ partial A}}}ε{\ displaystyle \ varepsilon}ε11+ε22+ε33{\ displaystyle \ varepsilon _ {11} + \ varepsilon _ {22} + \ varepsilon _ {33}}
Se poate găsi acest rezultat prin plasarea în baza principalelor direcții de deformare. Luați în considerare un cub cu muchia a . După deformare avem un cvasi-paralelipiped de volum:
V=la⋅(1+ε11)×la⋅(1+ε22)×la⋅(1+ε33){\ displaystyle V = a \ cdot (1+ \ varepsilon _ {11}) \ times a \ cdot (1+ \ varepsilon _ {22}) \ times a \ cdot (1+ \ varepsilon _ {33})}in timp ce :
V0=la3{\ displaystyle V_ {0} = a ^ {3}}Care dau:
ΔVV0=(1+ε11+ε22+ε33+ε11⋅ε22+ε11⋅ε33+ε22⋅ε33+ε11⋅ε22⋅ε33)⋅la3-la3la3{\ displaystyle {\ frac {\ Delta V} {V_ {0}}} = {\ frac {\ left (1+ \ varepsilon _ {11} + \ varepsilon _ {22} + \ varepsilon _ {33} + \ varepsilon _ {11} \ cdot \ varepsilon _ {22} + \ varepsilon _ {11} \ cdot \ varepsilon _ {33} + \ varepsilon _ {22} \ cdot \ varepsilon _ {33} + \ varepsilon _ {11} \ cdot \ varepsilon _ {22} \ cdot \ varepsilon _ {33} \ right) \ cdot a ^ {3} -a ^ {3}} {a ^ {3}}}}deoarece cineva se află într-o deformare foarte slabă,
1 >> ε ii >> ε ii ε jj >> ε 11 ε 22 ε 33
de aici rezultatul.
Spunem că există forfecare pură atunci când urma este zero, cu alte cuvinte atunci când nu există variații de volum.
Se spune că o deformare este incompresibilă dacă are loc fără variații de volum în orice punct al corpului. În special, deformările plastice sunt efectuate fără variații de volum.
Principalele deformări
Există o bază ortonormală astfel încât tensorul de solicitare să fie o matrice diagonală (vezi Matricea simetrică> Descompunerea spectrală ):
(X→Eu,X→EuEu,X→EuEuEu){\ displaystyle ({\ vec {x}} _ {\ mathrm {I}}, {\ vec {x}} _ {\ mathrm {II}}, {\ vec {x}} _ {\ mathrm {III} })}
E=(εEu000εEuEu000εEuEuEu){\ displaystyle \ mathrm {E} = {\ begin {pmatrix} \ varepsilon _ {\ mathrm {I}} & 0 & 0 \\ 0 & \ varepsilon _ {\ mathrm {II}} & 0 \\ 0 & 0 & \ varepsilon _ {\ mathrm {III}} \\\ end {pmatrix}}}.
Direcțiile sunt numite direcții principale , iar tulpinile ε I , ε II și ε III sunt principalele tulpini .
(X→Eu,X→EuEu,X→EuEuEu){\ displaystyle ({\ vec {x}} _ {\ mathrm {I}}, {\ vec {x}} _ {\ mathrm {II}}, {\ vec {x}} _ {\ mathrm {III} })}
Principalele tulpini sunt valorile proprii ale tensorului și direcțiile proprii , vectorii lor proprii . Valorile proprii λ verifică ecuația
det(E-λEu)=0{\ displaystyle \ mathrm {det} (E- \ lambda I) = 0}unde I este matricea de identitate; principalele tulpini sunt deci soluțiile din λ ale acestei ecuații.
Amintiți-vă că , prin urmare, urma este invariantă prin schimbarea bazei (a se vedea matrici similare )
ε11+ε22+ε33=εEu+εEuEu+εEuEuEu{\ displaystyle \ varepsilon _ {11} + \ varepsilon _ {22} + \ varepsilon _ {33} = \ varepsilon _ {\ mathrm {I}} + \ varepsilon _ {\ mathrm {II}} + \ varepsilon _ { \ mathrm {III}}}și astfel, în mici deformări, merită variația relativă a volumului
ΔVV0=εEu+εEuEu+εEuEuEu{\ displaystyle {\ frac {\ Delta \ mathrm {V}} {\ mathrm {V} _ {0}}} = \ varepsilon _ {\ mathrm {I}} + \ varepsilon _ {\ mathrm {II}} + \ varepsilon _ {\ mathrm {III}}}Contrar stresurilor principale , conceptul de tulpină principală este destul de puțin folosit pentru calcul. Pe de altă parte, permite ca energia elastică să fie exprimată într-un mod simplu și este utilă pentru analiza rezultatelor extensometriei . În plus, direcțiile principale sunt aceleași pentru tensorul tensiunilor și pentru tensorul tensiunilor.
Invarianți ai tensorului de deformare
Definim trei invarianți ai tensorului, adică trei valori care sunt independente de bază:
- Eu1=Tr(E)=ε11+ε22+ε33=∑euεeueu{\ displaystyle I_ {1} = \ mathrm {Tr} (\ mathrm {E}) = \ varepsilon _ {11} + \ varepsilon _ {22} + \ varepsilon _ {33} = \ sum _ {i} \ varepsilon _ {ii}}
fie cu convenția de însumare lui Einstein :
;
Eu1=εeueu{\ displaystyle I_ {1} = \ varepsilon _ {ii}}
- Eu2=ε11ε22+ε22ε33+ε33ε11-ε122-ε232-ε312=12∑eu∑j(εeueuεjj-εeujεeuj){\ displaystyle I_ {2} = \ varepsilon _ {11} \ varepsilon _ {22} + \ varepsilon _ {22} \ varepsilon _ {33} + \ varepsilon _ {33} \ varepsilon _ {11} - \ varepsilon _ {12} ^ {2} - \ varepsilon _ {23} ^ {2} - \ varepsilon _ {31} ^ {2} = {\ frac {1} {2}} \ sum _ {i} \ sum _ { j} (\ varepsilon _ {ii} \ varepsilon _ {jj} - \ varepsilon _ {ij} \ varepsilon _ {ij})}
sau din nou
;
Eu2=12(εeueuεjj-εeujεeuj){\ displaystyle I_ {2} = {\ frac {1} {2}} (\ varepsilon _ {ii} \ varepsilon _ {jj} - \ varepsilon _ {ij} \ varepsilon _ {ij})}
- Eu3=det(E){\ displaystyle I_ {3} = \ mathrm {det} (\ mathrm {E})}
sau
unde e ijk este simbolul lui Levi-Civita (sau simbolul lui Ricci). Cu deformările principale, devine:
Eu3=eeujkε1euε2jε3k{\ displaystyle I_ {3} = e_ {ijk} \ varepsilon _ {1i} \ varepsilon _ {2j} \ varepsilon _ {3k}}
-
Eu1=εEu+εEuEu+εEuEuEu{\ displaystyle I_ {1} = \ varepsilon _ {I} + \ varepsilon _ {II} + \ varepsilon _ {III}} ;
-
Eu2=εEuεEuEu+εEuEuεEuEuEu+εEuEuEuεEu{\ displaystyle I_ {2} = \ varepsilon _ {I} \ varepsilon _ {II} + \ varepsilon _ {II} \ varepsilon _ {III} + \ varepsilon _ {III} \ varepsilon _ {I}} ;
-
Eu3=εEuεEuEuεEuEuEu{\ displaystyle I_ {3} = \ varepsilon _ {I} \ varepsilon _ {II} \ varepsilon _ {III}}.
Tensor izotrop și deviator
Se poate exprima tensorul tulpinilor sub forma unui tensor izotrop E 'și a unui deviator E' ':
E=E′+E″{\ displaystyle \ mathrm {E} = \ mathrm {E} '+ \ mathrm {E}' '}cu tensorul izotrop, numit și partea sferică
E′=13tr(E)Eu{\ displaystyle \ mathrm {E} '= {\ frac {1} {3}} \ mathrm {tr} (\ mathrm {E}) \ mathrm {I}}unde I este matricea unitară și deviatorul de deformare
E″=dev(E)=E-E′{\ displaystyle \ mathrm {E} '' = \ mathrm {dev} (\ mathrm {E}) = \ mathrm {E} - \ mathrm {E} '}.
Avem, folosind convenția de însumare a lui Einstein :
-
εeuj′=13(∑kεkk)δeuj=13εkkδeuj{\ displaystyle \ varepsilon '_ {ij} = {\ frac {1} {3}} \ left (\ sum _ {k} \ varepsilon _ {kk} \ right) \ delta _ {ij} = {\ frac { 1} {3}} \ varepsilon _ {kk} \ delta _ {ij}} ;
-
εeuj″=εeuj-13(∑kεkk)δeuj=εeuj-13εkkδeuj{\ displaystyle \ varepsilon '' _ {ij} = \ varepsilon _ {ij} - {\ frac {1} {3}} \ left (\ sum _ {k} \ varepsilon _ {kk} \ right) \ delta _ {ij} = \ varepsilon _ {ij} - {\ frac {1} {3}} \ varepsilon _ {kk} \ delta _ {ij}} ;
unde δ ij este simbolul Kronecker .
Această descompunere simplifică exprimarea energiilor de deformare elastică de modificare a volumului și distorsiune.
Vezi și tu
Articole similare
linkuri externe
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">