Energie elastică

Energia elastică este energia asociată cu deformarea elastică a unui obiect solid sau fluid ( presiunea unui gaz sau a unui lichid ).

Într-adevăr, pentru a deforma un solid sau un fluid, este necesar să se exercite asupra sa o forță care va provoca o variație a volumului ΔV. Punctul de aplicare a forței se va mișca, prin urmare, lucrarea acestei forțe face posibilă determinarea energiei de deformare. F→{\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {F}}}}

Această energie este exprimată în raport cu o stare de referință, de exemplu un sistem fără compresie sau altfel supus presiunii atmosferice; deci este definit până la o constantă.

Cazul unui fluid

Pentru un fluid, această energie este de obicei definită de

Ee=p⋅V{\ displaystyle \ mathrm {E_ {e}} = p \ cdot \ mathrm {V}}

unde p este presiunea și V volumul fluidului.

Cazul unui lichid „incompresibil”

Luați în considerare un fluid "incompresibil" care curge fără a disipa energia într-o conductă. Considerăm partea cuprinsă într-o secțiune dreaptă 1 a zonei A 1 și o secțiune dreaptă 2 a zonei A 2 . Pe măsură ce fluidul avansează, secțiunea 1 avansează cu o cantitate s 1 și secțiunea 2 cu o cantitate s 2 . Dacă fluidul este „incompresibil”, volumul este conservat și avem

A 1 × s 1 = A 2 × s 2 = δV.

Lucrarea forțelor de presiune este scrisă:

W = ( p 1 × A 1 ) × s 1 - ( p 2 × A 2 ) × s 2 = ( p 1 - p 2 ) δV.

Dacă tot lichidul este scos dintr-o conductă de volum V unde există o presiune p într-un spațiu în care presiunea este zero, aceasta reprezintă lucru

p 1 V.

Putem astfel defini energia elastică a lichidului ca fiind în valoare

E e = p V.

Să ne amintim că un fluid (ca orice materie) nu este niciodată total „incompresibil”, compresibilitatea fiind direct legată de viteza sunetului din element . Aceasta este, prin urmare, o idealizare pentru a simplifica calculele, dar strict vorbind, vom vorbi mai degrabă despre fluxul incompresibil.

Cazul unui gaz

Luați în considerare un cilindru umplut cu un gaz la presiunea p și un piston din zona S care se deplasează cu o cantitate d x în acest cilindru. Se consideră că presiunea nu variază în timpul deplasării.

Variația volumului este

dV = S × d x .

Pistonul este supus unei forțe

F = p × S

și, prin urmare, munca pe care o oferă gazului este

δW = F × d x = p × S × d x = p × dV.Transformarea adiabatică

Dacă transformarea este rapidă, gazul nu schimbă căldura cu mediul; se spune că transformarea este adiabatică. Noțiunea de energie elastică implică faptul că luăm în considerare munca care poate fi furnizată de un gaz în expansiune. Acest lucru poate corespunde aici unui cartuș de gaz care este lovit, ruperii accidentale a unui rezervor, unui gaz propulsor etc.

Dacă, în plus, considerăm că este un gaz ideal , atunci energia elastică este exprimată prin (a se vedea teorema lui Bernoulli> Formulări extinse ):

Ee=γγ-1pV{\ displaystyle \ mathrm {E_ {e}} = {\ frac {\ gamma} {\ gamma -1}} p \ mathrm {V}}

unde γ este indicele adiabatic. Pentru aer și toate gazele diatomice ideale, avem γ = 7/5 = 1,4, adică

E e = 3,5 × p V. Alte transformări

Dacă transformarea este lentă, atunci gazul rămâne la temperatura mediului său; avem o transformare izotermă. Determinarea unei energii elastice nu este foarte relevantă aici din punct de vedere industrial: aceasta presupune că pistonul este controlat din exterior, prin urmare gazul probabil nu este sursa mișcării.

În plus, definiția energiei elastice pune o problemă: munca de a trece de la o stare ( p 1 , V 1 ) la o stare ( p 2 , V 2 ) merită

W12=nuRTln⁡(V2V1){\ displaystyle \ mathrm {W} _ {12} = n \ mathrm {R} \ mathrm {T} \ ln \ left ({\ frac {\ mathrm {V} _ {2}} {\ mathrm {V} _ {1}}} \ right)}

iar gazul fiind perfect, avem

n RT = p 2 V 2 = p 1 V 1

este

W12=pVln⁡(V2V1){\ displaystyle \ mathrm {W} _ {12} = p \ mathrm {V} \ ln \ left ({\ frac {\ mathrm {V} _ {2}} {\ mathrm {V} _ {1}}} \ dreapta)}

Găsim acest termen p V, dar spre deosebire de procesul adiabatic, munca crește la nesfârșit în timpul unei relaxări de atunci

limV→+∞ln⁡V=+∞{\ displaystyle \ lim _ {\ mathrm {V} \ to + \ infty} \ ln \ mathrm {V} = + \ infty}.

Situațiile adiabatice și izoterme sunt cazuri ideale. Într-un caz real, estimarea energiei elastice poate fi complexă.

Cazul unui izvor

Pentru un arc de rigiditate k , este definit ca o funcție a alungirii Δ l  :

Ee=12⋅k⋅Δl2{\ displaystyle \ mathrm {E_ {e}} = {\ frac {1} {2}} \ cdot k \ cdot \ Delta l ^ {2}}

Cazul unui solid

În mecanica continuum , densitatea energiei elastice (în J m -3 ) este exprimată

• în cazul tensiunii uniaxiale, în funcție de sigma stres normal și gruparea e alungire relativă: fie în conformitate cu legea lui Hooke , prin aducerea modulului elastic E:  ;
  we=12⋅σ⋅ε{\ displaystyle w _ {\ mathrm {e}} = {\ frac {1} {2}} \ cdot \ sigma \ cdot \ varepsilon}
  
  we=12⋅E⋅ε2{\ displaystyle w _ {\ mathrm {e}} = {\ frac {1} {2}} \ cdot \ mathrm {E} \ cdot \ varepsilon ^ {2}}
• în cazul forfecare pură, în funcție de tensiunea de forfecare τ și y deformare unghiulară: fie implicând modulul de forfecare G:  ;
  we=12⋅τ⋅γ{\ displaystyle w _ {\ mathrm {e}} = {\ frac {1} {2}} \ cdot \ tau \ cdot \ gamma}
  
  we=12⋅G⋅γ2{\ displaystyle w _ {\ mathrm {e}} = {\ frac {1} {2}} \ cdot \ mathrm {G} \ cdot \ gamma ^ {2}}

Este de la sine înțeles că aceste expresii sunt valabile numai pentru materialele stresate în domeniul elastic (stresul rămâne sub limita elastică ).

În general, energia elastică pe unitate de volum merită

we=12∑eu∑j(σeujεeuj){\ displaystyle w _ {\ mathrm {e}} = {\ frac {1} {2}} \ sum _ {i} \ sum _ {j} (\ sigma _ {ij} \ varepsilon _ {ij})}

adică cu convenția de însumare a lui Einstein  :

we=12σeujεeuj=12tr(T_⋅E_){\ displaystyle w _ {\ mathrm {e}} = {\ frac {1} {2}} \ sigma _ {ij} \ varepsilon _ {ij} = {\ frac {1} {2}} \ mathrm {tr } ({\ underline {\ mathrm {T}}} \ cdot {\ underline {\ mathrm {E}}})}.

Prin utilizarea componentelor principale (vezi Tensorul tulpinilor> Tulpinile principale și tensiunea principală ):

we=12(σEuεEu+σEuEuεEuEu+σEuEuEuεEuEuEu){\ displaystyle w _ {\ mathrm {e}} = {\ frac {1} {2}} (\ sigma _ {\ mathrm {I}} \ varepsilon _ {\ mathrm {I}} + \ sigma _ {\ mathrm {II}} \ varepsilon _ {\ mathrm {II}} + \ sigma _ {\ mathrm {III}} \ varepsilon _ {\ mathrm {III}})}.

Folosind legea lui Hooke generalizată pentru un material izotrop, obținem

we=(μ+λ2)Eue12-2μEue2{\ displaystyle w _ {\ mathrm {e}} = \ left (\ mu + {\ frac {\ lambda} {2}} \ right) \ mathrm {I} _ {\ mathrm {e} 1} ^ {2 } -2 \ mu \ mathrm {I} _ {\ mathrm {e} 2}}

sau

• λ și μ sunt coeficienții Lamé  ;
• I e1 și I e2 sunt invarianții tensorului de deformare;

sau

we=12EEus12-2μEus2{\ displaystyle w _ {\ mathrm {e}} = {\ frac {1} {2 \ mathrm {E}}} \ mathrm {I} _ {\ mathrm {s} 1} ^ {2} - {\ frac {2} {\ mu}} \ mathrm {I} _ {\ mathrm {s} 2}}

sau

• E este modulul lui Young;
• I s1 și I s2 sunt invarianții tensorului de solicitare .

Dacă descompunem tensorii parțial izotrop și deviator (vezi Tensorul deformațiilor> Tensor izotrop și deviator și Tensorul tensiunilor> Deviator ),

we=12tr((σ′+σ″)(ε′+ε″))=12tr(σ′⋅ε′)+12tr(σ″⋅ε″){\ displaystyle w _ {\ mathrm {e}} = {\ frac {1} {2}} \ mathrm {tr} \ left ((\ sigma '+ \ sigma' ') (\ varepsilon' + \ varepsilon '' ) \ right) = {\ frac {1} {2}} \ mathrm {tr} (\ sigma '\ cdot \ varepsilon') + {\ frac {1} {2}} \ mathrm {tr} (\ sigma ' '\ cdot \ varepsilon' ')}.

Tensorii izotropi dau energia schimbării volumului (fără schimbarea formei):

Uv=12tr(σ′⋅ε′){\ displaystyle \ mathrm {U_ {v}} = {\ frac {1} {2}} \ mathrm {tr} (\ sigma '\ cdot \ varepsilon')} ;

deflectoarele dau energia schimbării formei (fără schimbarea volumului), numită și energie a distorsiunii:

Uf=12tr(σ″⋅ε″){\ displaystyle \ mathrm {U_ {f}} = {\ frac {1} {2}} \ mathrm {tr} (\ sigma '' \ cdot \ varepsilon '')} ;

Așadar

w e = U v + U f .

Această energie de distorsiune este baza definiției stresului echivalent von Mises .

Vezi și tu

Anexe

Articole similare

• Energie mecanică
• Energie potențială mecanică
• Forța conservatoare

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">