Tensor de tensiune Maxwell
Tensorul de stres Maxwell (numit în onoarea lui James Clerk Maxwell ) este un rang 2 tensor utilizat în clasic electromagnetism să -și exprime forțele electromagnetice , în cazul general. În cea mai simplă situație fizică, constând dintr-o sarcină punctuală care se mișcă liber într-un câmp magnetic uniform, forța exercitată asupra particulei poate fi ușor calculată folosind legea forței a lui Lorentz . În cel mai general caz, în care sistemul se caracterizează printr-o distribuție a sarcinii volumului , o densitate volumică a curentului , un câmp electric și un câmp magnetic , se poate exprima o densitate volumică forță Lorentz ,. Folosind ecuațiile lui Maxwell , arătăm că putem elimina densitatea curentului și astfel putem rescrie această densitate volumică a forței numai în funcție de câmpurile electrice și magnetice . Această nouă expresie face posibilă definirea tensorului constrângerilor Maxwell, pe care le vom vedea mai jos.
ρ{\ displaystyle \ rho}J{\ displaystyle \ mathbf {J}}E{\ displaystyle \ mathbf {E}}B{\ displaystyle \ mathbf {B}}f=ρE+J×B{\ displaystyle \ mathbf {f} = \ rho \ mathbf {E} + \ mathbf {J} \ times \ mathbf {B}}J{\ displaystyle \ mathbf {J}}E{\ displaystyle \ mathbf {E}}B{\ displaystyle \ mathbf {B}}
În formularea relativistă a electromagnetismului, tensorul lui Maxwell apare ca o componentă electromagnetică a tensorului energie-impuls . Acesta din urmă descrie densitățile și fluxurile de energie și respectiv impulsul în spațiu-timp .
Motivație
După cum vom arăta mai jos, forța Lorentz poate fi exprimată numai din E și B , folosind formule de analiză vectorială și ecuațiile lui Maxwell . Noua expresie obținută este simplificată de definiția tensorului de solicitare Maxwell.
Ecuațiile lui Maxwell în vid exprimate în unități SI
Numele de familie
|
Forma diferențială
|
---|
Ecuația Maxwell-Gauss
|
∇⋅E=ρϵ0{\ displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {E} = {\ frac {\ rho} {\ epsilon _ {0}}}}
|
Ecuația Maxwell-Thomson
|
∇⋅B=0{\ displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {B} = 0}
|
Ecuația Maxwell - Faraday (legea inducției )
|
∇×E=-∂B∂t{\ displaystyle \ nabla \ times \ mathbf {E} = - {\ frac {\ partial \ mathbf {B}} {\ partial t}}}
|
Ecuația Maxwell-Ampere
|
∇×B=μ0J+μ0ϵ0∂E∂t {\ displaystyle \ nabla \ times \ mathbf {B} = \ mu _ {0} \ mathbf {J} + \ mu _ {0} \ epsilon _ {0} {\ frac {\ partial \ mathbf {E}} { \ partial t}} \}
|
1. Să începem cu legea
forței a lui Lorentz
F=q(E+v×B){\ displaystyle \ mathbf {F} = q (\ mathbf {E} + \ mathbf {v} \ times \ mathbf {B})}
sau, pe unitate de volum,
f=ρE+J×B{\ displaystyle \ mathbf {f} = \ rho \ mathbf {E} + \ mathbf {J} \ times \ mathbf {B}}
2. Apoi, rețineți că ρ și J pot fi eliminate folosind relațiile Maxwell-Gauss și Maxwell-Ampere:
f=ϵ0(∇⋅E)E+1μ0(∇×B)×B-ϵ0∂E∂t×B{\ displaystyle \ mathbf {f} = \ epsilon _ {0} \ left ({\ boldsymbol {\ nabla}} \ cdot \ mathbf {E} \ right) \ mathbf {E} + {\ frac {1} {\ mu _ {0}}} \ left ({\ boldsymbol {\ nabla}} \ times \ mathbf {B} \ right) \ times \ mathbf {B} - \ epsilon _ {0} {\ frac {\ partial \ mathbf {E}} {\ partial t}} \ times \ mathbf {B} \,}3. Folosim definiția
vectorului Poynting, din care calculăm deriva în raport cu timpul:
R=E×B/μ0{\ displaystyle \ mathbf {R} = \ mathbf {E} \ times \ mathbf {B} / \ mu _ {0}}∂∂t(E×B)=∂E∂t×B+E×∂B∂t=∂E∂t×B-E×(∇×E){\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial t}} (\ mathbf {E} \ times \ mathbf {B}) = {\ frac {\ partial \ mathbf {E}} {\ partial t}} \ times \ mathbf {B} + \ mathbf {E} \ times {\ frac {\ partial \ mathbf {B}} {\ partial t}} = {\ frac {\ partial \ mathbf {E}} {\ partial t} } \ times \ mathbf {B} - \ mathbf {E} \ times ({\ boldsymbol {\ nabla}} \ times \ mathbf {E}) \,}
care permite rescrierea f în formă
f=ϵ0(∇⋅E)E+1μ0(∇×B)×B-ϵ0∂∂t(E×B)-ϵ0E×(∇×E),{\ displaystyle \ mathbf {f} = \ epsilon _ {0} \ left ({\ boldsymbol {\ nabla}} \ cdot \ mathbf {E} \ right) \ mathbf {E} + {\ frac {1} {\ mu _ {0}}} \ left ({\ boldsymbol {\ nabla}} \ times \ mathbf {B} \ right) \ times \ mathbf {B} - \ epsilon _ {0} {\ frac {\ partial} { \ partial t}} \ left (\ mathbf {E} \ times \ mathbf {B} \ right) - \ epsilon _ {0} \ mathbf {E} \ times ({\ boldsymbol {\ nabla}} \ times \ mathbf {E}),}
adunăm termenii în E și B pentru a obține
f=ϵ0[(∇⋅E)E-E×(∇×E)]+1μ0[-B×(∇×B)]-ϵ0∂∂t(E×B).{\ displaystyle \ mathbf {f} = \ epsilon _ {0} \ left [({\ boldsymbol {\ nabla}} \ cdot \ mathbf {E}) \ mathbf {E} - \ mathbf {E} \ times ({ \ boldsymbol {\ nabla}} \ times \ mathbf {E}) \ right] + {\ frac {1} {\ mu _ {0}}} \ left [- \ mathbf {B} \ times \ left ({\ boldsymbol {\ nabla}} \ times \ mathbf {B} \ right) \ right] - \ epsilon _ {0} {\ frac {\ partial} {\ partial t}} \ left (\ mathbf {E} \ times \ mathbf {B} \ dreapta).}
4. Se pare că „ratează” termenul (∇ • B ) B indus de simetria dintre E și B , dar acest termen poate fi ușor adăugat deoarece este de fapt zero (legea Maxwell-Thomson):
f=ϵ0[(∇⋅E)E-E×(∇×E)]+1μ0[(∇⋅B)B-B×(∇×B)]-ϵ0∂∂t(E×B).{\ displaystyle \ mathbf {f} = \ epsilon _ {0} \ left [({\ boldsymbol {\ nabla}} \ cdot \ mathbf {E}) \ mathbf {E} - \ mathbf {E} \ times ({ \ boldsymbol {\ nabla}} \ times \ mathbf {E}) \ right] + {\ frac {1} {\ mu _ {0}}} \ left [({\ boldsymbol {\ nabla}} \ cdot \ mathbf {B}) \ mathbf {B} - \ mathbf {B} \ times \ left ({\ boldsymbol {\ nabla}} \ times \ mathbf {B} \ right) \ right] - \ epsilon _ {0} {\ frac {\ partial} {\ partial t}} \ left (\ mathbf {E} \ times \ mathbf {B} \ right).}
Eliminăm rotația utilizând o
identitate de analiză vectorială
12∇(LA⋅LA)=LA×(∇×LA)+(LA⋅∇)LA,{\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}} {\ boldsymbol {\ nabla}} (\ mathbf {A} \ cdot \ mathbf {A}) = \ mathbf {A} \ times ({\ boldsymbol {\ nabla }} \ times \ mathbf {A}) + (\ mathbf {A} \ cdot {\ boldsymbol {\ nabla}}) \ mathbf {A},}
ceea ce duce în cele din urmă la:
f=ϵ0[(∇⋅E)E+(E⋅∇)E]+1μ0[(∇⋅B)B+(B⋅∇)B]-12∇(ϵ0E2+1μ0B2)-ϵ0∂∂t(E×B).{\ displaystyle \ mathbf {f} = \ epsilon _ {0} \ left [({\ boldsymbol {\ nabla}} \ cdot \ mathbf {E}) \ mathbf {E} + (\ mathbf {E} \ cdot { \ boldsymbol {\ nabla}}) \ mathbf {E} \ right] + {\ frac {1} {\ mu _ {0}}} \ left [({\ boldsymbol {\ nabla}} \ cdot \ mathbf {B }) \ mathbf {B} + (\ mathbf {B} \ cdot {\ boldsymbol {\ nabla}}) \ mathbf {B} \ right] - {\ frac {1} {2}} {\ boldsymbol {\ nabla }} \ left (\ epsilon _ {0} E ^ {2} + {\ frac {1} {\ mu _ {0}}} B ^ {2} \ right) - \ epsilon _ {0} {\ frac {\ partial} {\ partial t}} \ left (\ mathbf {E} \ times \ mathbf {B} \ right).}
5. Introducem, prin definiție, tensorul de tensiune Maxwell
σeuj≡ϵ0(EeuEj-12δeujE2)+1μ0(BeuBj-12δeujB2),{\ displaystyle \ sigma _ {ij} \ equiv \ epsilon _ {0} \ left (E_ {i} E_ {j} - {\ frac {1} {2}} \ delta _ {ij} E ^ {2} \ right) + {\ frac {1} {\ mu _ {0}}} \ left (B_ {i} B_ {j} - {\ frac {1} {2}} \ delta _ {ij} B ^ { 2} \ dreapta),}
iar densitatea
pulsului electromagnetic
S=ϵ0E×B{\ displaystyle \ mathbf {S} = \ epsilon _ {0} \ mathbf {E} \ times \ mathbf {B}}
ceea ce duce la următoarea expresie pentru densitatea volumului forței
f=∇⋅σ-∂S∂t{\ displaystyle \ mathbf {f} = \ nabla \ cdot {\ boldsymbol {\ sigma}} - {\ frac {\ partial \ mathbf {S}} {\ partial t}}}
Această ultimă relație poate fi de asemenea interpretat ca
legea de conservare a
impulsului în electrodinamicii clasice.
Observăm că găsim aceeași formă de lege a conservării în
teorema lui Poynting care exprimă conservarea energiei electromagnetice.
O altă expresie a tensorului
În fizică , tensorul Maxwell este tensorul tensiunii câmpului electromagnetic . După cum tocmai am arătat, tensorul este scris în unități SI :
σeuj=ϵ0EeuEj+1μ0BeuBj-12(ϵ0E2+1μ0B2)δeuj{\ displaystyle \ sigma _ {ij} = \ epsilon _ {0} E_ {i} E_ {j} + {\ frac {1} {\ mu _ {0}}} B_ {i} B_ {j} - { \ frac {1} {2}} {\ bigl (} {\ epsilon _ {0} E ^ {2} + {\ tfrac {1} {\ mu _ {0}}} B ^ {2}} {\ bigr)} \ delta _ {ij}},
unde ε 0 este permitivitatea vidului și μ 0 este permeabilitatea magnetică vidului, E este câmpul electric , B câmpului magnetic și δ ij simbolul Kronecker . În unitățile gaussiene , găsim expresia echivalentă:
σeuj=14π(EeuEj+HeuHj-12(E2+H2)δeuj){\ displaystyle \ sigma _ {ij} = {\ frac {1} {4 \ pi}} \ left (E_ {i} E_ {j} + H_ {i} H_ {j} - {\ frac {1} { 2}} (E ^ {2} + H ^ {2}) \ delta _ {ij} \ right)},
unde H este excitația magnetică .
O altă expresie poate fi obținută folosind notații tensoriale diadice :
σ↔=14π[E⊗E+H⊗H-E2+H22Eu]{\ displaystyle {\ overset {\ leftrightarrow} {\ mathbf {\ sigma}}} = {\ frac {1} {4 \ pi}} \ left [\ mathbf {E} \ otimes \ mathbf {E} + \ mathbf {H} \ otimes \ mathbf {H} - {\ frac {E ^ {2} + H ^ {2}} {2}} \ mathbb {I} \ right]}unde ⊗ este produsul diadic și unitatea tensorului diadic:
Eu{\ displaystyle \ mathbb {I}}
Eu≡(100010001)=(X^⊗X^+y^⊗y^+z^⊗z^){\ displaystyle \ mathbb {I} \ equiv \ left ({\ begin {array} {ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \ end {array}} \ right) = (\ mathbf {\ hat {x}} \ otimes \ mathbf {\ hat {x}} + \ mathbf {\ hat {y}} \ otimes \ mathbf {\ hat {y}} + \ mathbf {\ hat { z}} \ otimes \ mathbf {\ hat {z}})}Elementul ij al tensorului Maxwell este omogen cu o cantitate de mișcare pe unitate de suprafață înmulțită cu timpul. reprezintă componenta de-a lungul direcției i a fluxului pulsului care traversează o suprafață normală în direcția j (în direcția negativă) per unitate de timp.
σeuj{\ displaystyle \ sigma _ {ij}}σeuj{\ displaystyle \ sigma _ {ij}}
Putem spune, de asemenea, că este omogen cu o forță pe unitate de suprafață (presiune negativă) și interpretată ca a i- a componentă a forței exercitate pe o suprafață unitară normală în direcția j . Fiecare element diagonal al tensorului dă tensiune de rezistență care se aplică unui element de suprafață ortogonal în direcția luată în considerare. Spre deosebire de forța de compresie care acționează într-un gaz ideal , un element de suprafață are o forță care nu este neapărat normală pentru acea suprafață. Forța de forfecare corespunzătoare este dată de elementele din afara diagonalei tensorului.
σeuj{\ displaystyle \ sigma _ {ij}}
Caz special: singur câmp magnetic
Dacă câmpul electromagnetic este dominat de componenta magnetică (care este verificată pe scară largă în cazul mașinilor electrice , de exemplu), putem simplifica expresia tensorului care devine în unități SI:
σeuj=1μ0BeuBj-12μ0B2δeuj.{\ displaystyle \ sigma _ {ij} = {\ frac {1} {\ mu _ {0}}} B_ {i} B_ {j} - {\ frac {1} {2 \ mu _ {0}}} B ^ {2} \ delta _ {ij} \,.}Pentru un sistem cu simetrie cilindrică, cum ar fi rotorul unui motor electric, putem reduce în continuare expresia la:
σrt=1μ0BrBt-12μ0B2δrt.{\ displaystyle \ sigma _ {rt} = {\ frac {1} {\ mu _ {0}}} B_ {r} B_ {t} - {\ frac {1} {2 \ mu _ {0}}} B ^ {2} \ delta _ {rt} \,.}unde r este direcția radială și t este direcția orthoradială. Doar componenta tangențială rotește motorul. B r este densitatea fluxului magnetic în direcția radială și B t în direcția orthoradială (densitatea fluxului magnetic este celălalt nume al câmpului magnetic, atunci când trebuie să se distingă de excitația magnetică).
Valorile proprii
Valorile proprii ale tensorului Maxwell sunt date de:
{λ}={-ϵ0E2+B2/μ02, ±(ϵ0E2-B2/μ02)2+(ϵ0μ0E⋅B)2}{\ displaystyle \ {\ lambda \} = \ left \ {- {\ frac {\ epsilon _ {0} E ^ {2} + B ^ {2} / \ mu _ {0}} {2}}, ~ \ pm {\ sqrt {\ left ({\ frac {\ epsilon _ {0} E ^ {2} -B ^ {2} / \ mu _ {0}} {2}} \ right) ^ {2} + \ left ({\ frac {\ epsilon _ {0}} {\ mu _ {0}}} {\ boldsymbol {E}} \ cdot {\ boldsymbol {B}} \ right) ^ {2}}} \ right \}}Vezi și tu
Bibliografie
- [Jackson] John David Jackson ( tradus din engleză de Christian Jeanmougin), Electrodinamică clasică , Paris, Dunod , col. „Științe Sup”,2001, 880 p. , 17,5 x 25 cm ( ISBN 2-10-004411-7 )
Articole similare