Produs diadic
În matematică și mai exact în algebra multiliniară , produsul diadic
P=tu⊗v{\ displaystyle \ mathbb {P} = \ mathbf {u} \ otimes \ mathbf {v}}a doi vectori , și , fiecare având aceeași dimensiune, este produsul tensorial al acestor vectori, care este un tensor de ordinul doi și de un rang.
tu{\ displaystyle \ mathbf {u}}v{\ displaystyle \ mathbf {vb}}
Componente
Dacă și sunt doi vectori ai unui spațiu vectorial E de dimensiune finită n , dotat cu o bază dată , coordonatele produsului diadic în baza corespunzătoare a produsului tensor sunt date de
tu{\ displaystyle \ mathbf {u}}v{\ displaystyle \ mathbf {vb}} {eeu}1≤eu≤nu{\ displaystyle \ {\ mathbf {e} _ {i} \} _ {1 \ leq i \ leq n}}Peuj{\ displaystyle P_ {ij}}P=tu⊗v{\ displaystyle \ mathbb {P} = \ mathbf {u} \ otimes \ mathbf {v}} E⊗E{\ displaystyle E \ otimes E}
Peuj=tueuvj{\ displaystyle \ displaystyle P_ {ij} = u_ {i} v_ {j}}, unde și ,
tu=∑eu=1nutueueeu{\ displaystyle \ \ mathbf {u} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} u_ {i} \ mathbf {e} _ {i}} v=∑j=1nuvjej{\ displaystyle \ \ mathbf {v} = \ sum _ {j = 1} ^ {n} v_ {j} \ mathbf {e} _ {j}}și ce dacă
P=∑eu,jPeujeeu⊗ej{\ displaystyle \ mathbb {P} = \ sum _ {i, j} P_ {ij} \; \ mathbf {e} _ {i} \ otimes \ mathbf {e} _ {j}} .
Reprezentarea matricei
Produsul diadic poate fi pur și simplu reprezentat prin matricea pătrată obținută prin înmulțirea ca vector coloană cu ca vector rând . De exemplu,
tu{\ displaystyle \ mathbf {u}}v{\ displaystyle \ mathbf {vb}}
tu⊗v→[tu1tu2tu3][v1v2v3]=[tu1v1tu1v2tu1v3tu2v1tu2v2tu2v3tu3v1tu3v2tu3v3],{\ displaystyle \ mathbf {u} \ otimes \ mathbf {v} \ rightarrow {\ begin {bmatrix} u_ {1} \\ u_ {2} \\ u_ {3} \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix }} v_ {1} & v_ {2} & v_ {3} \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} u_ {1} v_ {1} & u_ {1} v_ {2} & u_ {1 } v_ {3} \\ u_ {2} v_ {1} & u_ {2} v_ {2} & u_ {2} v_ {3} \\ u_ {3} v_ {1} & u_ {3} v_ { 2} & u_ {3} v_ {3} \ end {bmatrix}},}unde săgeata indică faptul că aceasta este doar o reprezentare specială a produsului diadic, referindu-se la o anumită bază . În această reprezentare, produsul diadic este un caz special al produsului Kronecker .
Identități
Următoarele identități sunt o consecință directă a definiției produsului diadic:
(αtu)⊗v=tu⊗(αv)=α(tu⊗v),tu⊗(v+w)=tu⊗v+tu⊗w,(tu+v)⊗w=tu⊗w+v⊗w,(tu⊗v)⋅w=tu(v⋅w),tu⋅(v⊗w)=(tu⋅v)w,(tu⊗v)⊤=v⊗tu{\ displaystyle {\ begin {align} (\ alpha \ mathbf {u}) \ otimes \ mathbf {v} & = \ mathbf {u} \ otimes (\ alpha \ mathbf {v}) = \ alpha (\ mathbf { u} \ otimes \ mathbf {v}), \\\ mathbf {u} \ otimes (\ mathbf {v} + \ mathbf {w}) & = \ mathbf {u} \ otimes \ mathbf {v} + \ mathbf {u} \ otimes \ mathbf {w}, \\ (\ mathbf {u} + \ mathbf {v}) \ otimes \ mathbf {w} & = \ mathbf {u} \ otimes \ mathbf {w} + \ mathbf {v} \ otimes \ mathbf {w}, \\ (\ mathbf {u} \ otimes \ mathbf {v}) \ cdot \ mathbf {w} & = \ mathbf {u} \; (\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {w}), \\\ mathbf {u} \ cdot (\ mathbf {v} \ otimes \ mathbf {w}) & = (\ mathbf {u} \ cdot \ mathbf {v}) \; \ mathbf {w}, \\ (\ mathbf {u} \ otimes \ mathbf {v}) ^ {\ top} & = \ mathbf {v} \ otimes \ mathbf {u} \ end {align}}}Vezi și tu
Note
-
Vezi Spencer (1992), pagina 19.
Referințe
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">