Teorema lui Poynting

Teorema lui Poynting , articulat de John Henry Poynting , se referă la conservarea energiei într - un câmp electromagnetic . Stabilește o relație între energia electromagnetică, efectul Joule și fluxul vectorului Poynting .

În termeni informali, putem spune că fluxul vectorului Poynting printr-o suprafață închisă este egal cu suma schimbării energiei electromagnetice și a efectului Joule în volumul interior la suprafață.

Variația energiei electromagnetice

Teorema afirmă că pentru orice volum:

{\ displaystyle - \ iiint {\ frac {\ partial W_ {em}} {\ partial t}} \, \ mathrm {d} \ tau = \ iiint \ mathrm {div} {\ vec {\ Pi}} \ cdot {\, ​​\ Mathrm {d} \ tau} + \ iiint {\ vec {\ jmath}} \ cdot {\ vec {E}} {\, \ mathrm {d} \ tau}}

fie, în formă locală, pentru un volum $d \ tau$

{\ displaystyle - {\ frac {\ partial} {\ partial t}} \ left ({\ frac {\ varepsilon _ {0} E ^ {2}} {2}} + {\ frac {B ^ {2} } {2 \ mu _ {0}}} \ right) = \ mathrm {div} \ left ({\ frac {{\ vec {E}} \ wedge {\ vec {B}}} {\ mu _ {0 }}} \ right) + {\ vec {j}} \ cdot {\ vec {E}}}

fie în cazul general

{\ displaystyle - {\ frac {\ partial} {\ partial t}} \ left ({\ frac {{\ vec {E}} \ cdot {\ vec {D}}} {2}} + {\ frac { {\ vec {B}} \ cdot {\ vec {H}}} {2}} \ right) = \ mathrm {div} \ left ({\ vec {E}} \ wedge {\ vec {H}} \ dreapta) + {\ vec {j}} \ cdot {\ vec {E}}}

cu:

${\ vec \ Pi}$ , vector poynting
${\ vec {E}}$ , câmp electric
${\ vec {D}}$ , inducție electrică (sau deplasare electrică)
${\ vec {B}}$ , camp magnetic
${\ vec {H}}$ , excitație magnetică
${\ vec {j}}$ , densitatea curentă
${\ displaystyle \ varepsilon _ {0}}$ , permitivitate în vid
$\ mu _ {{0}}$ , permeabilitatea la vid

Dovadă din ecuațiile lui Maxwell

Plecăm de la forma diferențială, în cazul în care relațiile și sunt verificate. Asa de ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ vec {D}} = \ varepsilon _ {0} {\ vec {E}}}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ vec {B}} = \ mu _ {0} {\ vec {H}}}$

{\ displaystyle \ mathrm {div} \; {\ vec {\ Pi}} = \ mathrm {div} \; {\ frac {{\ vec {E}} \ wedge {\ vec {B}}} {\ mu _ {0}}} = - {\ frac {1} {\ mu _ {0}}} {\ vec {E}} \ cdot {\ overrightarrow {\ mathrm {rot}}} \; {\ vec {B }} + {\ frac {1} {\ mu _ {0}}} {\ vec {B}} \ cdot {\ overrightarrow {\ mathrm {rot}}} \; {\ vec {E}}}

folosind formula de analiză vectorială . Știind că, în plus, avem: (ecuația Maxwell-Ampère) și (ecuația Maxwell-Faraday), această cantitate poate fi rescrisă sub forma: ${\ displaystyle \ scriptstyle \ mathrm {div} \ left ({\ vec {B}} \ wedge {\ vec {C}} \ right) = {\ vec {C}} \ cdot {\ overrightarrow {\ mathrm {rot }}} ({\ vec {B}}) - {\ vec {B}} \ cdot {\ overrightarrow {\ mathrm {rot}}} ({\ vec {C}})}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ vec {\ nabla}} \ times {\ vec {B}} = \ mu _ {0} {\ vec {\ jmath}} + \ mu _ {0} \ varepsilon _ {0} {\ frac {\ partial {\ vec {E}}} {\ partial t}}}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ vec {\ nabla}} \ times {\ vec {E}} = - {\ frac {\ partial {\ vec {B}}} {\ partial t}}}$

{\ displaystyle \ mathrm {div} \; {\ vec {\ Pi}} = - {\ frac {1} {\ mu _ {0}}} {\ vec {E}} \ cdot \ left (\ mu _ {0} {\ vec {j}} + \ mu _ {0} \ varepsilon _ {0} {\ frac {\ partial {\ vec {E}}} {\ partial t}} \ right) + {\ frac {1} {\ mu _ {0}}} {\ vec {B}} \ cdot \ left (- {\ frac {\ partial {\ vec {B}}} {\ partial t}} \ right)}

Sau după simplificare:

{\ displaystyle \ mathrm {div} \; {\ vec {\ Pi}} = - \; {\ vec {j}} \ cdot {\ vec {E}} - \ varepsilon _ {0} {\ vec {E }} \ cdot {\ frac {\ partial {\ vec {E}}} {\ partial t}} - {\ frac {1} {\ mu _ {0}}} {\ vec {B}} \ cdot { \ frac {\ partial {\ vec {B}}} {\ partial t}}}

Sau, observând densitatea volumului energiei electromagnetice: ${\ displaystyle \ scriptstyle u = {\ frac {\ varepsilon _ {0} {\ vec {E}} ^ {2}} {2}} + {\ frac {{\ vec {B}} ^ {2}} {2 \ mu _ {0}}}}$

{\ displaystyle \ mathrm {div} \; {\ vec {\ Pi}} = - \; {\ vec {j}} \ cdot {\ vec {E}} - {\ frac {\ partial u} {\ partial t}}}

Vezi și tu