Tangent (trigonometrie)

Tangenta este o fundamentală funcție trigonometrice . Se notează bronz și se nota anterior tg .

Definiții

Comparativ cu triunghiul dreptunghiular :

Într-un triunghi unghiular ABC la C , tangenta unghiului Â este raportul dintre partea opusă lui A și partea adiacentă lui A :

{\ displaystyle \ tan {\ hat {A}} = {\ frac {BC} {AC}}}

Ca reamintire, folosim adesea acronimul mnemonic „TOA”:

{\ displaystyle \ mathrm {tangent} = {\ frac {\ mathrm {oppos {\ acute {e}}}} {\ mathrm {adjacent}}}}

În ceea ce privește cercul trigonometric :

Tangenta unui unghi θ este lungimea segmentului tangentei la cercul trigonometric care interceptează axa x.

În comparație cu alte funcții trigonometrice: funcția tangentă este raportul dintre funcția sinus și funcția cosinus :

{\ displaystyle \ tan \ theta = {\ frac {\ sin \ theta} {\ cos \ theta}}.}

Rețineți că această funcție nu este definită pentru valorile în care cosinusul unghiului dispare, corespunzător cazurilor de limită în care tangenta este paralelă cu linia de interceptare.

Aplicații

Într-un triunghi dreptunghiular, funcția tangentă face posibilă determinarea lungimii unei laturi a unghiului drept cunoscând un unghi și lungimea uneia dintre celelalte laturi. Acesta este utilizat pentru măsurarea optică a lungimii. De exemplu, cu un telemetru de paralaxă, distanța D a unui obiect observat este determinată de la distanța L care se separă între două ochelari de observare și de unghiul de observare θ, determinată făcând imaginile celor două să coincidă.

{\ displaystyle D = L \ cdot \ tan \ theta}

Tangenta este, de asemenea, o modalitate de exprimare a măsurii unui unghi: atunci când exprimăm o pantă în procente (%), aceasta corespunde tangentei unghiului cu cea mai mare pantă în comparație cu orizontală, înmulțită la sută.

Funcția tangentă

Proprietăți

Funcția tangentă este o funcție reală care este:

periodic , cu perioada π: $tan (θ + k \cdot π) = tan θ$ pentru orice k întreg ;
impar : $tan (-θ) = - tan θ$ ;
dispare la 0 și, prin urmare, pentru toți multiplii întregi ai lui π: $tan ( k π) = 0$ pentru orice număr întreg k ;
prezintă asimptote verticale cu valorile $θ = k π + π / 2$ pentru orice k întreg: ${\ displaystyle \ lim _ {\ theta \ to (\ pi / 2) ^ {-}} \ tan \ theta = + \ infty}$ ${\ displaystyle \ lim _ {\ theta \ to (\ pi / 2) ^ {+}} \ tan \ theta = - \ infty}$
derivatul său este: ${\ displaystyle \ tan '\ theta = {\ frac {1} {\ cos ^ {2} \ theta}} = 1+ \ tan ^ {2} \ theta}$
dacă un unghi θ este exprimat în radiani , atunci pentru valori mici de of, avem: tan θ ≃ θ (vezi secțiunea de expansiune limitată de mai jos).

Prin aplicarea formulei lui Euler , avem:

{\ displaystyle \ tan \ theta = {\ frac {\ mathrm {e} ^ {i \ theta} - \ mathrm {e} ^ {- i \ theta}} {i (\ mathrm {e} ^ {i \ theta } + \ mathrm {e} ^ {- i \ theta})}}}

Funcția reciprocă este funcția tangentă a arcului , notată arctan ; unii calculatori o notează „atan”.

Inversul funcției tangente este funcția cotangentă , notată cot (uneori cotan sau cotg):

{\ displaystyle \ operatorname {cot} \ theta = {\ frac {1} {\ tan \ theta}} = {\ frac {\ cos \ theta} {\ sin \ theta}}}

Dezvoltare limitată

Dezvoltarea limitată a funcției tangente la zero este:

{\ displaystyle \ tan x = x + {\ frac {x ^ {3}} {3}} + {\ frac {2x ^ {5}} {15}} + {\ frac {17x ^ {7}} { 315}} + \ ldots + {\ frac {(-1) ^ {n} \ cdot 2 ^ {2n} \ cdot (1-2 ^ {2n}) \ cdot B_ {2n}} {(2n)!} } \ cdot x ^ {2n-1} + o (x ^ {2n})}

unde B 2 n sunt numerele Bernoulli .

Calcul numeric

Calculul tangentei se face prin serii , dar mai degrabă decât să folosim expansiunea limitată de seria Taylor , care folosește multe multiplicări, preferăm algoritmul CORDIC .

Vezi și tu

Cotangentă
Identitate trigonometrică pitagorică
Tangentă hiperbolică
Substituție Weierstrass (en) (sinusul și cosinusul funcționează ca funcții raționale ale tangentei jumătății unghiului)
Tangenta oricărui rațional non-zero este irațională.