Quadri-moment
În special relativității , The cvadrilete-momentul (sau impuls quadrivector sau cvadrilete-impuls sau quadrivector impuls de energie sau quadrivector energie-impuls ) este o generalizare a tridimensional momentul liniar al fizicii clasice , sub forma unei quadrivector a spațiului de Minkowski , spațiu-timp 4-dimensional al relativității speciale.
Cvadri-momentul unei particule combină momentul tridimensional și energia :
p→=(pX,py,pz){\ displaystyle {\ vec {p}} = (p_ {x}, p_ {y}, p_ {z})}E{\ displaystyle E}
(p0p1p2p3)=(E/vs.pXpypz)=(γmvs.γmvXγmvyγmvz){\ displaystyle {\ begin {pmatrix} p ^ {0} \\ p ^ {1} \\ p ^ {2} \\ p ^ {3} \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} E / c \\ p_ {x} \\ p_ {y} \\ p_ {z} \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} \ gamma mc \\\ gamma mv_ {x} \\\ gamma mv_ {y } \\\ gamma mv_ {z} \ end {pmatrix}}}Ca orice cvadrivector, este covariantă, adică schimbările coordonatelor sale în timpul schimbării cadrului de referință inerțial sunt calculate folosind transformări Lorentz .
Într-o bază dată a spațiului-timp Minkowski, se notează coordonatele sale , în baza covariantă asociată, coordonatele sale sunt notate și sunt egale cu (p0;p1;p2;p3){\ displaystyle \ \ left (p ^ {0}; p ^ {1}; p ^ {2}; p ^ {3} \ right)} (p0;p1;p2;p3){\ displaystyle \ \ left (p_ {0}; p_ {1}; p_ {2}; p_ {3} \ right)} peu=ηeuj.pj{\ displaystyle \ p_ {i} = \ eta _ {ij} .p ^ {j}}
Relația cu viteza cvadruplă
Știam că, în mecanica clasică, relația dintre impulsul și viteza particulei non-relativiste este după cum urmează:
p→=mv→{\ displaystyle {\ vec {p}} = m {\ vec {v}}}unde este masa în repaus.
m{\ displaystyle m}
Putem generaliza acest concept la patru dimensiuni introducând viteza cvadruplă. Pentru o particulă dotată cu masă diferită de zero, dar cu sarcină electrică zero, cvadri-momentul este dat de produsul masei în repaus și de patru viteze .
m{\ displaystyle \ m} tu{\ displaystyle \ u}
În coordonate contravariante, avem , unde este factorul Lorentz și c este viteza luminii :
tu=(tu0,tu1,tu2,tu3)=(γ.vs.,γvX,γvy,γvz){\ displaystyle \ u = \ left (u ^ {0}, u ^ {1}, u ^ {2}, u ^ {3} \ right) = \ left (\ gamma .c, \ gamma v_ {x} , \ gamma v_ {y}, \ gamma v_ {z} \ right)}γ=11-(vvs.)2{\ displaystyle \ gamma = {\ frac {1} {\ sqrt {1 - ({\ frac {v} {c}}) ^ {2}}}}}
pμ=mtuμ{\ displaystyle p ^ {\ mu} = m \, u ^ {\ mu} \!} sau
μ∈{0,1,2,3}{\ displaystyle \ mu \ in {\ big \ {} 0,1,2,3 {\ big \}}}
Norma Minkowski: p 2
Prin calcularea normei Minkowski a unui cvadrilete clipă, obținem un invariantă Lorentz egal (cu un factor egal cu viteza luminii c aproape) la pătratul masa de repaus a particulei:
p⋅p=ημνpμpν=E2vs.2-|p→|2=m2vs.2{\ displaystyle p \ cdot p = \ eta _ {\ mu \ nu} p ^ {\ mu} p ^ {\ nu} = {E ^ {2} \ over c ^ {2}} - | {\ vec { p}} | ^ {2} = m ^ {2} c ^ {2}}Deoarece este un invariant Lorentz, valoarea sa rămâne neschimbată de transformările Lorentz, adică prin schimbarea cadrului de referință inerțial . Folosind metrica lui Minkowski :
|p|2{\ displaystyle | p | ^ {2} \!}
ημν=(10000-10000-10000-1){\ displaystyle \ eta _ {\ mu \ nu} = {\ begin {pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \ end {pmatrix}}}Tensorul metric este de fapt definit până la un semn. Convenția în loc de convenția adoptată în acest articol va fi găsită în unele lucrări . Rezultatele fizice sunt în mod evident aceleași indiferent de convenția aleasă, dar trebuie avut grijă să nu le amestecăm.
ημν=(-,+,+,+){\ displaystyle \ eta _ {\ mu \ nu} = (-, +, +, +)}ημν=(+,-,-,-){\ displaystyle \ eta _ {\ mu \ nu} = (+, -, -, -)}
Conservarea quadri-momentului
Conservarea quadri-momentului într-un cadru de referință dat implică două legi de conservare pentru așa - numitele mărimi clasice :
- Cantitatea totală de energie este invariantă. E=vs..p0{\ displaystyle \ E = cp ^ {0}}
- Clasic tridimensional momentul liniar rămâne invariantă.p→{\ displaystyle {\ vec {p}}}
Trebuie remarcat în trecut că masa unui sistem de particule poate fi mai mare decât suma maselor particulelor în repaus, din cauza energiei cinetice . De exemplu, să luăm 2 particule de quadri-moment {5 Gev, 4 Gev / c , 0, 0} și {5 Gev, -4 Gev / c , 0, 0}: fiecare are o masă în repaus de 3 Gev / c 2, dar masa lor totală (adică din nou masa sistemului) este de 10 Gev / c 2 . Dacă aceste 2 particule se ciocnesc și se îmbină, masa obiectului astfel format este de 10 Gev / c 2 .
O aplicație practică în fizica particulelor pentru conservarea masei în repaus permite, din quadri-momentele p A și p B a 2 particule create de decăderea unei particule mai mari având un quadri-moment q, să găsească masa a particulei inițiale. Conservarea cvadrimomentului dă q μ = p A μ + p B μ , iar masa M a particulei inițiale este dată de | q | 2 = M 2 c 2 . Măsurând energia și cele 3 momente ale particulelor rezultate, putem calcula masa de repaus a sistemului de 2 particule care este egală cu M. Această tehnică este utilizată în special în cercetările experimentale asupra bosonului Z în acceleratorii de particule .
Dacă masa unui obiect nu se modifică, produsul punctului Minkowski al quadri-momentului său și cvadrierației corespunzătoare A μ este zero. Accelerația este proporțională cu derivata în timp a momentului împărțită la masa particulei:
pμLAμ=pμddtημνpνm=12mddt|p|2=12mddt(m2vs.2)=0.{\ displaystyle p _ {\ mu} A ^ {\ mu} = p _ {\ mu} {\ frac {d} {dt}} {\ frac {\ eta ^ {\ mu \ nu} p _ {\ nu }} {m}} = {\ frac {1} {2m}} {\ frac {d} {dt}} | p | ^ {2} = {\ frac {1} {2m}} {\ frac {d } {dt}} (m ^ {2} c ^ {2}) = 0.}
De asemenea, este util să se definească un moment „canonic” (în 4 dimensiuni), pentru aplicații în mecanica cuantică relativistă:, care este suma quadri-momentului și a produsului sarcinii electrice cu potențialul (care este un vector la 4 dimensiuni):
Pμ{\ displaystyle P ^ {\ mu}}
Pμ=pμ+qLAμ{\ displaystyle P ^ {\ mu} = p ^ {\ mu} + qA ^ {\ mu} \!}unde potențialul cu 4 vectori este o combinație între potențialul scalar și potențialul vector al câmpului magnetic :
(LA0LA1LA2LA3)=(ϕ/vs.LAXLAyLAz){\ displaystyle {\ begin {pmatrix} A ^ {0} \\ A ^ {1} \\ A ^ {2} \\ A ^ {3} \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} \ phi / c \\ A_ {x} \\ A_ {y} \\ A_ {z} \ end {pmatrix}}}Vezi și tu
Note
-
Relativitatea generală și gravitația de Edgard Elbaz, (elipsa 1986), capitolul IV, §4
-
Lev Landau și Evgueni Lifchits , Fizică teoretică , t. 2: Teoria câmpului [ detaliile edițiilor ], §9
-
Ch. Grossetête , Relativitatea restrânsă și structura atomică a materiei , Paris, Elipse ,1985, 320 p. ( ISBN 2-7298-8554-4 ) , p. 61
-
Introducere în relativitate James H. Smith, InterEditions (1968) (a 2- a ediție în 1979 ( ISBN 2-7296-0088-4 ) reeditată de Masson: Dunod - a 3- a ediție - 1997 ( ISBN 2-225-82985 -3 ) ), capitolul 12
-
Convenția semnelor este prezentă în Lev Landau și Evgueni Lifchits , Physique theorique , t. 2: Teoria câmpului [ detaliile edițiilor ]ημν=(+,-,-,-){\ displaystyle \ eta _ {\ mu \ nu} = (+, -, -, -)} , de exemplu.
-
Conservarea quadri-momentului înseamnă că într-un cadru de referință dat, se păstrează quadri-momentul total al unui sistem izolat. La schimbarea depozit, patru impuls trece printr - o transformare Lorentz: . Noul quadri-moment este la rândul său păstrat în acest nou cadru de referință, dar nu este egal cu .pν{\ displaystyle p ^ {\ nu}}p′ μ=Λμνpν{\ displaystyle p '~ ^ {\ mu} = {\ Lambda ^ {\ mu}} _ {\ nu} p ^ {\ nu}}p′ μ{\ displaystyle p '~ ^ {\ mu}}pν{\ displaystyle p ^ {\ nu}}
Referințe
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">