Densitatea asimptotică

În matematică și mai ales în teoria numerelor , densitatea asimptotică (sau densitatea naturală sau densitatea aritmetică ) este o modalitate de măsurare a „dimensiunii” anumitor subseturi de numere întregi naturale . Densitatea unei mulțimi $A$ poate fi văzută ca o aproximare a probabilității ca un număr întreg tras la întâmplare dintr-un interval arbitrar mare să aparțină lui $A$ ; studiul său face parte din teoria analitică a numerelor .

Context

Nu există o probabilitate uniformă asupra setului de numere întregi naturale, deoarece dacă fiecare singleton ar avea aceeași probabilitate $p$ , conform axiomei aditivității , setul ar avea o probabilitate infinită dacă $p$ $> 0$ și zero dacă $p$ $= 0$ . $\ mathbb {N}$ $\ mathbb {N}$

Noi chiar arată că nu există nici o probabilitate pe satisfacerea proprietății intuitiv evident că „probabilitatea“ a setului de multipli de un număr întreg strict pozitiv , $un$ este egal cu $1 /$ $a$ (există o șansă pe $un$ ca un întreg este un multiplu de $a$ ). $\ mathbb {N}$

Pe de altă parte, există o probabilitate uniformă pe toate seturile , ceea ce motivează următoarele definiții. ${\ displaystyle [1, n] = \ {1,2, .., n \}}$

Definiții

Un set $A$ de numere naturale este densitatea naturală (unde ) proporția elementelor lui $A$ dintre numerele întregi de la 1 la n se apropie asimptotic de când n merge la infinit. În mod formal, notând numărul de elemente ale lui $A$ între 1 și n , densitatea asimptotică a lui $A$ , $D ($ $A$ $)$ , este definită de $\alfa$ ${\ displaystyle 0 \ leqslant \ alpha \ leqslant 1}$ $\alfa$ ${\ displaystyle N_ {n} = N_ {n} (A)}$

{\ displaystyle {\ text {D}} (A) = \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} {\ frac {N_ {n}} {n}} \}

(dacă această limită există).

Stare necesară și suficientă

Dacă $A$ este finit, $A$ are densitate zero.

Dacă $A$ este infinit, să fie secvența strict crescătoare a elementelor sale nenule. ${\ displaystyle (a_ {n}) _ {n \ geqslant 1}}$

Asa de :

- dacă , $A$ are densitate zero. ${\ displaystyle a_ {n} \ gg n}$

- dacă , $A$ are densitate ssi . ${\ displaystyle a_ {n} = O (n)}$ $\ alpha> 0$ ${\ displaystyle a_ {n} \ sim {\ frac {n} {\ alpha}}}$

Demonstrație

Dacă A este finit, este constant peste un anumit rang, prin urmare . ${\ displaystyle N_ {n}}$ ${\ displaystyle \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} {\ frac {N_ {n}} {n}} = 0}$

Să presupunem că ; După ce a crescut strict limita infinită . ${\ displaystyle \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} {\ frac {n} {a_ {n}}} = \ alpha \ geqslant 0}$ ${\ displaystyle (a_ {n}) _ {n \ geqslant 1}}$ ${\ displaystyle a_ {N_ {n}} \ leqslant n <a_ {N_ {n + 1}}}$

Scriind asta , obținem asta . ${\ displaystyle {\ frac {N_ {n}} {n}} = {\ frac {N_ {n}} {a_ {N_ {n}}}}. {\ frac {a_ {N_ {n}}} { n}} \ leqslant {\ frac {N_ {n}} {a_ {N_ {n}}}}}$ ${\ displaystyle {\ overline {\ lim}} {\ frac {N_ {n}} {n}} \ leqslant \ alpha}$

Scriind asta , obținem asta . ${\ displaystyle {\ frac {N_ {n + 1}} {n + 1}} = {\ frac {N_ {n + 1}} {a_ {N_ {n + 1}}}}. {\ frac {a_ {N_ {n + 1}}} {n}}. {\ Frac {n + 1} {n}} \ geqslant {\ frac {N_ {n + 1}} {a_ {N_ {n + 1}}} }. {\ frac {n + 1} {n}}}$ ${\ displaystyle {\ underline {\ lim}} {\ frac {N_ {n + 1}} {a_ {N_ {n + 1}}}} geqslant \ alpha}$

Deducem ; dacă , am arătat bine că dacă , A este de densitate zero. ${\ displaystyle {\ text {D}} (A) = \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} {\ frac {N_ {n}} {n}} = \ alpha}$ ${\ displaystyle \ alpha = 0}$ ${\ displaystyle a_ {n} \ gg n}$

Dacă , am demonstrat că dacă , A are densitatea α. ${\ displaystyle \ alpha> 0}$ ${\ displaystyle a_ {n} \ sim {\ frac {n} {\ alpha}}}$

Să presupunem reciproc că ; cum ar fi , și , așa că . ${\ displaystyle {\ text {D}} (A) = \ alpha> 0}$ ${\ displaystyle N_ {a_ {n}} = n}$ ${\ displaystyle \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} {\ frac {N_ {a_ {n}}} {a_ {n}}} = \ alpha}$ ${\ displaystyle \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} {\ frac {n} {a_ {n}}} = \ alpha}$ ${\ displaystyle a_ {n} \ sim {\ frac {n} {\ alpha}}}$

Densități din ce în ce mai mici

Cu aceleași notații, definim densitatea asimptotică mai mare (sau pur și simplu densitatea mai mare ) a lui $A$ , d ( $A$ ), prin

{\ displaystyle {\ overline {\ text {D}}} (A) = \ limsup _ {n \ rightarrow \ infty} {\ frac {N_ {n}} {n}}}

unde lim sup este limita superioară .

De asemenea, densitatea mai mică a lui $A$ , d ( $A$ ), este definită de

{\ displaystyle {\ underline {\ text {D}}} (A) = \ liminf _ {n \ rightarrow \ infty} {\ frac {N_ {n}} {n}}}

, unde lim inf este limita inferioară .

$A$ are o densitate asimptotică dacă și numai dacă densitățile inferioare și superioare coincid și apoi. ${\ displaystyle {\ underline {\ text {d}}} (A) = {\ overline {\ text {d}}} (A) = {\ text {d}} (A)}$

Proprietate de aditivitate finită

Densitatea asimptotică nu verifică proprietatea aditivității numărabile, dar o verifică pe cea a aditivității finite .

Fie $A$ și $B$ două subseturi de ; $\ mathbb {N}$

Dacă sunt disjuncte și fiecare are o densitate, atunci are și o densitate și . $A \ cup B$ ${\ displaystyle {\ text {D}} (A \ cup B) = {\ text {D}} (A) + {\ text {D}} (B)}$

Mai general :

Dacă trei din cele patru seturi au densitate, atunci la fel are și al patrulea și . ${\ displaystyle A, B, A \ cup B, A \ cap B}$ ${\ displaystyle {\ text {D}} (A \ cup B) + {\ text {D}} (A \ cap B) = {\ text {D}} (A) + {\ text {D}} ( B)}$

Acest lucru se datorează faptului că . ${\ displaystyle N_ {n} (A \ cup B) + N_ {n} (A \ cap B) = N_ {n} (A) + N_ {n} (B)}$

Deducem că dacă densitatea există pentru $A$ , ea există și pentru complementul c $A$ din $A$ în și că avem . $\ mathbb {N}$ ${\ displaystyle {\ text {d}} (^ {c} A) = 1 - {\ text {d}} (A)}$

Exemple

${\ displaystyle d (\ mathbb {N}) = 1}$ .
Subseturile finite sunt de densitate zero.
Setul de pătrate perfecte are densitate zero deoarece (sau pentru că ). $A = \ {n ^ {2} \ mid n \ in \ mathbb {N} \}$ ${\ displaystyle N_ {n} (A) \ sim {\ sqrt {n}} \ ll n}$ ${\ displaystyle n ^ {2} \ gg n}$
Este același lucru pentru setul de numere prime char (sau char ); demonstrație folosind teorema numărului prim , pentru o dovadă elementară, vezi mai jos. ${\ mathbb P}$ ${\ displaystyle N_ {n} (\ mathbb {P}) \ sim {\ frac {n} {\ ln n}} \ ll n}$ ${\ displaystyle p_ {n} \ sim n \ ln n \ gg n}$

Demonstrație

Etape majore în demonstrarea nulității densității numerelor prime (teorema de rarefacție a lui Legendre (1808)), fără a utiliza teorema numărului prim.

Să notăm cu numărul prim al rangului $k$ și cu mulțimea multiplilor lui ; notăm mulțimea numerelor naturale care nu sunt divizibile cu niciun număr prim cuprins între 2 și . Se arată că PRIMES fiind relativ prim câte două, densitatea este produsul densităților de seturi : . Aur ; este o consecință a faptului că (vezi la produs infinit ). Mai mult, întrucât un număr prim nu este niciodată multiplu al altui, setul conține toate numerele prime începând de la . Dacă $n$ este un întreg mai mare sau egal cu , avem , prin urmare ,. Luând limitele superioare, obținem acest lucru pentru toate $k$ . Ca , putem deduce că . $p_ {k}$ $M_k$ $p_ {k}$ ${\ displaystyle A_ {k} = ^ {C} M_ {1} \ cap ^ {C} M_ {2} \ cap ... ^ {C} M_ {k}}$ $p_ {k}$ $A_k$ ${\ displaystyle ^ {C} M_ {1}, ^ {C} M_ {2}, ... ^ {C} M_ {k}}$ ${\ displaystyle D (A_ {k}) = \ prod _ {i = 1} ^ {k} \ left (1 - {\ frac {1} {p_ {i}}} \ right)}$ ${\ displaystyle \ lim _ {k \ rightarrow + \ infty} \ prod _ {i = 1} ^ {k} \ left (1 - {\ frac {1} {p_ {i}}} \ right) = 0}$ ${\ displaystyle \ sum _ {k} {\ frac {1} {p_ {k}}} = + \ infty}$ $A_k$ ${\ displaystyle p_ {k + 1}}$ ${\ displaystyle p_ {k + 1}}$ ${\ displaystyle N_ {n} (A_ {k}) \ geqslant N_ {n} ({\ mathbb {P}}) - k}$ ${\ displaystyle {\ frac {N_ {n} ({\ mathbb {P}})} {n}} \ leqslant {\ frac {N_ {n} (A_ {k})} {n}} + {k \ peste n}}$ ${\ displaystyle {\ overline {\ lim}} _ {n \ rightarrow + \ infty} {\ frac {N_ {n} ({\ mathbb {P}})} {n}} \ leqslant D (A_ {k} )}}$ ${\ displaystyle \ lim _ {k \ rightarrow + \ infty} D (A_ {k}) = 0}$ ${\ displaystyle {\ overline {\ lim}} {\ frac {N_ {n} ({\ mathbb {P}})} {n}} = 0 = D ({\ mathbb {P}})}$

Seturile de numere pare și numere impare au densitate 1/2. ${\ displaystyle 2 \ mathbb {N} = \ {2n \ mid n \ in \ mathbb {N} \}}$ ${\ displaystyle 2 \ mathbb {N} +1 = \ {2n + 1 \ mid n \ in \ mathbb {N} \}}$
Mai general, setul de valori ale unei secvențe aritmetice întregi are pentru densitate inversul rațiunii sale, adică $1 /$ $a$ . ${\ displaystyle \ {an + b \ mid n \ in \ mathbb {N} \}}$
Dacă $a$ este un număr real , mulțimea părților întregi are o densitate de $1 /$ $a$ . $\ geqslant 1$ ${\ displaystyle \ {\ left \ lfloor an \ right \ rfloor \ mid n \ in \ mathbb {N} \}}$
Setul de numere întregi fără factor pătrat are densitate (vezi teorema lui Cesàro ). ${\ displaystyle 6 / \ pi ^ {2}}$
Setul de numere abundente are o densitate cuprinsă între 0,2474 și 0,2480.
Mulțimea (intervalele întregi) a numerelor a căror scriere în baza $b$ conține un număr impar de cifre este un exemplu de mulțime fără densitate asimptotică; este într-adevăr de densitate mai mică și densitate mai mare . ${\ displaystyle A = \ bigcup \ limits _ {n = 0} ^ {\ infty} \ left [b ^ {2n}, b ^ {2n + 1} \ right [}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {b + 1}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {b} {b + 1}}}$

Demonstrație

Fiecare set are elemente. Prin urmare ${\ displaystyle \ left [b ^ {2n}, b ^ {2n + 1} \ right [}$ ${\ displaystyle (b-1) b ^ {2n}}$

${\ displaystyle {\ underline {\ text {D}}} (A) = \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} (b-1) {\ frac {1 + b ^ {2} + \ cdots + b ^ {2n-2}} {b ^ {2n}}} \ = \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} {\ frac {b-1} {b ^ {2} -1}} {\ frac {b ^ {2n} -1} {b ^ {2n}}} \ = {\ frac {1} {b + 1}}}$

${\ displaystyle {\ overline {\ text {D}}} (A) = \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} (b-1) {\ frac {1 + b ^ {2} + \ cdots + b ^ {2n}} {b ^ {2n + 1}}} \ = \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} {\ frac {b-1} {b ^ {2} -1}} {\ frac {b ^ {2n + 2} -1} {b ^ {2n + 1}}} \ = {\ frac {b} {b + 1}}}$

Cu toate acestea, acest set are o densitate logaritmică (a se vedea mai jos) egală cu 1/2 (într-adevăr ,, și există, în esență, n termeni din această formă de rezumat). ${\ displaystyle \ sum _ {k = b ^ {2n}} ^ {b ^ {2n + 1} -1} 1 / k \ sim \ ln b}$

Mulțimile (diferența simetrică a mulțimii anterioare cu ) și oferă un exemplu de două mulțimi având o densitate a cărei densitate nu are nici intersecția, nici uniunea, nici cele două diferențe. ${\ displaystyle B = A \, \ Delta \, 2 \ mathbb {N}}$ ${\ displaystyle 2 \ mathbb {N}}$ ${\ displaystyle C = 2 \ mathbb {N} +1}$

Demonstrație

${\ displaystyle B = (A \ setminus {2 \ mathbb {N}}) \ cup (2 \ mathbb {N} \ setminus {A})}$ este format din numere impare având un număr impar de cifre și numere pare având un număr par de cifre. Astfel, densitatea și 1/2 $C$ .

Dar nu are densitate (densitățile sale inferioare și superioare sunt jumătate din cele ale lui $A$ ). are, de asemenea, densități jumătăți inferioare și superioare ale celor de . ${\ displaystyle B \ cap C = A \ setminus 2 \ mathbb {N}}$ ${\ displaystyle B \ cup C = \, ^ {c} A \ setminus 2 \ mathbb {N}}$ ${\ displaystyle ^ {c} A}$

${\ displaystyle B \ setminus {C} = 2 \ mathbb {N} \ setminus {A}}$ și nu aveți nici unul. ${\ displaystyle C \ setminus {B} = (2 \ mathbb {N} +1) \ setminus {A}}$

Un alt exemplu de mulțime fără densitate este mulțimea numerelor a căror scriere în baza $b$ începe cu cifra $c$ ( ). ${\ displaystyle A = \ bigcup \ limits _ {n = 0} ^ {\ infty} \ left [cb ^ {n}, (c + 1) b ^ {n} \ right [}$ ${\ displaystyle 1 \ leqslant c \ leqslant b-1}$

Este într-adevăr de densitate mai mică și densitate mai mare (1/9 și 5/9 de exemplu pentru numărul 1 din baza 10). ${\ displaystyle {\ frac {1} {c (b-1)}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {b} {(c + 1) (b-1)}}}$

Demonstrație

Fiecare set are elemente. Prin urmare ${\ displaystyle \ left [cb ^ {n}, (c + 1) b ^ {n} \ right [}$ $b ^ n$

${\ displaystyle {\ underline {\ text {D}}} (A) = \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} {\ frac {1 + b + \ cdots + b ^ {n-1}} {cb ^ {n}}} \ = \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} {\ frac {b ^ {n} -1} {cb ^ {n} (b-1)}} \ = {\ frac {1} {c (b-1)}}}$

${\ displaystyle {\ overline {\ text {D}}} (A) = \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} {\ frac {1 + b + \ cdots + b ^ {n}} {(c + 1 ) b ^ {n}}} \ = \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} {\ frac {b ^ {n + 1} -1} {(c + 1) b ^ {n} (b-1) }} \ = {\ frac {b} {(c + 1) (b-1)}}}$

Totuși, acest set are o densitate logaritmică (vezi mai jos) egală cu , cu alte cuvinte, setul de numere întregi îndeplinește o lege logaritmică Benford . ${\ displaystyle \ log _ {b} (1 + 1 / c)}$

Dacă este o secvență distribuită în mod egal în [0, 1] și dacă este familia de mulțimi $(\ alpha _ {n}) _ {{n \ in \ mathbb {N}}}$ $(A_ {x}) _ {{x \ in [0,1]}}$ $A_ {x}: = \ {n \ in \ mathbb {N} \ mid \ alpha _ {n} <x \}$ apoi, prin definiție, $d ( A x ) = x$ pentru toate $x$ .

Alte definiții

Densitatea Banach

O noțiune oarecum mai slabă de densitate este cea a densității Banach ; dat , este definit de $A \ subseteq {\ mathbb {N}}$

{\ displaystyle {\ text {D}} ^ {*} (A) = \ limsup _ {NM \ rightarrow \ infty} {\ frac {| A \ bigcap \ {M, M + 1, \ ldots, N \} |} {NM + 1}}}

Densitatea Schnirelmann

Densitatea Schnirelmann a este definită ca limita inferioară a rezultatului ; deși este foarte sensibil la numerele întregi mici ale lui $A$ (este de exemplu zero dacă $A$ nu conține 1 de atunci ), are proprietăți interesante care îl fac mai util decât densitatea asimptotică în teoria numerelor aditive . ${\ displaystyle A \ subseteq \ mathbb {N ^ {*}}}$ ${\ displaystyle \ left ({\ frac {N_ {n}} {n}} \ right)}$ ${\ displaystyle N_ {1} = 0}$

Densitatea logaritmică

Mulțimi mai neregulate pot fi măsurate prin densitatea lor logaritmică , definită prin : atribuim greutatea 1 / k întregului k . ${\ displaystyle {\ text {D}} _ {\ log} (A) = \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} {\ dfrac {\ sum _ {k \ in [1, n] \ cap A} { \ dfrac {1} {k}}} {{\ underset {k \ in [1, n]} {\ sum}} {\ dfrac {1} {k}}}}}$

Această densitate se îmbină cu densitatea asimptotică atunci când aceasta din urmă există și am văzut mai sus exemple de seturi fără densitatea asimptotică având, totuși, o densitate logaritmică. Astfel putem considera că este vorba despre un proces analog transformărilor care permit calcularea sumei unei serii divergente .

Exemplu

Orice parte $A$ astfel încât converge seria armonică lacunară are densitate logaritmică zero. Acesta este cazul, de exemplu, cu seturile Kempner obținute prin păstrarea numai a numerelor întregi care nu cuprind o secvență dată de cifre într-o anumită bază. ${\ displaystyle \ sum _ {n \ în A} {\ dfrac {1} {n}}}$

Conversa este falsă, după cum reiese din setul de numere prime care are o densitate naturală, deci logaritmică, zero și a cărei serie de inversuri nu converge.

Densitatea Zeta

Pentru orice real , definim ce ar fi imposibil de scris pentru $s$ $= 1$ din cauza divergenței seriei armonice . $s> 1$ ${\ displaystyle {\ text {D}} _ {s} (A) = {\ dfrac {\ sum _ {n \ în A} {\ dfrac {1} {n ^ {s}}}} {{\ underset {n \ in \ mathbb {N} ^ {*}} {\ sum}} {\ dfrac {1} {n ^ {s}}}}}}$

Densitatea zeta (de la numele funcției zeta ) este apoi definită de . De fapt, coincide cu densitatea logaritmică. ${\ displaystyle {\ underset {n \ in \ mathbb {N} ^ {*}} {\ sum}} {\ dfrac {1} {n ^ {s}}}}$ ${\ displaystyle \ lim _ {s \ rightarrow 1} D_ {s} (A)}$

Densitatea relativă și densitatea analitică

În special în studiul seturilor de numere prime, suntem conduși să definim densitatea naturală relativă a ${\ mathbb P}$

{\ displaystyle {\ text {D}} (A) = \ lim _ {s \ rightarrow 1} {\ frac {\ sum _ {p \ in A} p ^ {- s}} {- \ ln (s- 1)}}}

(care fuzionează cu densitatea naturală atunci când aceasta din urmă există).

Exemplu numeric

Desemnând după numărul prim al rangului $k$ , deducem din faptul că densitatea multiplilor lui a $este$ egală cu $1 /$ $a$ , următorul tabel: $p_ {k}$

		Densitatea numerelor întregi divizibil cu $p_ {k}$	Densitatea numerelor întregi nu este divizibil cu $p_ {k}$	Densitatea numerelor întregi nu este divizibil cu , .., $p_1$ $p_ {k}$	Densitatea numerelor întregi divizibile prin cel puțin o primă între și $p_1$ $p_ {k}$
k	$p_ {k}$	${\ displaystyle 1 / p_ {k}}$	${\ displaystyle 1-1 / p_ {k}}$	${\ displaystyle \ prod _ {i = 1} ^ {k} \ left (1 - {\ frac {1} {p_ {i}}} \ right)}$	${\ displaystyle 1- \ prod _ {i = 1} ^ {k} \ left (1 - {\ frac {1} {p_ {i}}} \ right)}$
1	2	50,0%	50,0%	50,0%	50,0%
2	3	33,3%	66,7%	33,3%	66,7%
3	5	20,0%	80,0%	26,7%	73,3%
4	7	14,3%	85,7%	22,9%	77,1%
5	11	9,1%	90,9%	20,8%	79,2%
6	13	7,7%	92,3%	19,2%	80,8%
7	17	5,9%	94,1%	18,1%	81,9%
8	19	5,3%	94,7%	17,1%	82,9%
9	23	4,3%	95,7%	16,4%	83,6%
10	29	3,4%	96,6%	15,8%	84,2%
11	31	3,2%	96,8%	15,3%	84,7%
12	37	2,7%	97,3%	14,9%	85,1%
13	41	2,4%	97,6%	14,5%	85,5%
14	43	2,3%	97,7%	14,2%	85,8%
15	47	2,1%	97,9%	13,9%	86,1%
16	53	1,9%	98,1%	13,6%	86,4%
17	59	1,7%	98,3%	13,4%	86,6%
18	61	1,6%	98,4%	13,2%	86,8%
19	67	1,5%	98,5%	13,0%	87,0%
20	71	1,4%	98,6%	12,8%	87,2%
21	73	1,4%	98,6%	12,6%	87,4%
22	79	1,3%	98,7%	12,4%	87,6%
23	83	1,2%	98,8%	12,3%	87,7%
24	89	1,1%	98,9%	12,2%	87,8%
25	97	1,0%	99,0%	12,0%	88,0%

Acest tabel citește după cum urmează: linia pentru $k = 2$ arată că, în termeni aproape matematici (aproape pentru că o densitate nu este o probabilitate), se pare că un număr întreg are o „șansă din trei” de a fi divizibil. Nici cu 2, nici cu 3 sau, ceea ce echivalează cu același lucru, „două șanse în 3” de a fi divizibil cu 2 sau cu 3 (sau cu ambele). În termeni comuni, se pare că „doi din trei numere întregi sunt pare sau multipli de 3.”

Și în mod similar, uitându-ne la rezultatul pentru $k = 25$ ( $p = 97$ ), se pare că "88% din numere întregi sunt divizibile cu un număr prim mai mic de 100".

Vezi și tu

Teorema lui Szeremedi , afirmând că orice set de densitate superioară strict pozitivă are progresii aritmetice de orice ordin.
Conjectura lui Erdös asupra progresiilor aritmetice

Link extern

Densitate , articol despre densitatea asimptotică în OEIS .

Note

J.P. Delahaye, „ Numărul întreg nu se naște la fel ”, Pour la Science - nr. 421 ,noiembrie 2012( citește online )
(ro) Dr. Jörn Steuding, „ Teoria probabilistică a numerelor ” , p. 9
Diaconis 1974 , p. 8
(în) W. Narkiewicz, Teoria numerelor , Polonia, World Scientific,1983( ISBN 9971-950-13-8 , citit online ) , p 80 și 81
(de) H. Davenport , „ Über numeri abundantes ” , Preuss. Akad. Wiss. Sitzungsber. , vol. 27,1933, p. 830-837.
(în) Mark Deléglise , " Bounds for the density of abundant integers " , Experimental Mathematics , vol. 7, n o 21998, p. 137-143 ( citește online ).
Diaconis 1974 , p. 2
A. Fuchs și G. Letta, „ Prima problemă de cifră zecimală pentru numerele prime ”, The Foata Festschrift. Electron, J. Combin. 3, nr. 2 ,1996( citește online )
Vizualizare (în) Andrew Granville și Greg Martin , „ Prime number races ” , American Mathematical Monthly , vol. 113,2006, p. 1–33 ( JSTOR 27641834 , citiți online )

Referințe

(fr) Acest articol este preluat parțial sau în întregime din articolul Wikipedia din limba engleză intitulat „ Densitate naturală ” ( vezi lista autorilor ) .
(ro) Persi Diaconis , medii slabe și puternice în probabilitate și teoria numerelor , Universitatea Harvard, col. „Teza”,1974( citește online )
(ro) Melvyn Nathanson , Metode elementare în teoria numerelor , Springer-Verlag , col. „ GTM ”,2000( ISBN 0387989129 , zbMATH 0953.11002 , citit online )
(de) HH Ostmann , Additive Zahlentheorie I , Berlin-Göttingen-Heidelberg, Springer-Verlag, col. " Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (en) " ( n o 7),1956( zbMATH 0072.03101 )
(ro) Jörn Steuding, „ Teoria probabilistică a numerelor ”
Gérald Tenenbaum , Introducere în teoria numerelor analitice și probabilistice , Paris, Belin,2012