Problema Brocard

Problema Brocard este o problemă din teoria numerelor care cere să găsească valori întregi ale lui n și m care să satisfacă ecuația diofantină :

{\ displaystyle n! + 1 = m ^ {2}}

unde n! este funcția factorială . Acest lucru a fost pus de Henri Brocard în două articole în 1876 și 1885 și independent în 1913 de Srinivasa Ramanujan .

Numere maro

Perechile de numere întregi ( n , m ) fiind soluții ale problemei lui Brocard se numesc numere Brown . Există doar trei perechi cunoscute de numere Brown:

(4.5), (5.11) și (7.71).

Paul Erdős a conjecturat că nu există alte soluții. Overholt, în 1993, a arătat că există doar un număr finit de soluții, cu condiția ca conjectura abc să fie adevărată. Berndt și Galway în 2000 au efectuat calcule pentru n mai puțin de 10 9 și nu au găsit alte soluții. Matson a susținut în 2017 că a extins aceste calcule la 10 21 .

Variante ale problemei

Dabrowski a generalizat rezultatul lui Overholt în 1996, arătând că ar urma din conjectura abc că

{\ displaystyle n! + A = k ^ {2}}

nu are doar un număr finit de soluții pentru un întreg A dat . Acest rezultat a fost generalizat în continuare de Luca (2002), care a arătat (presupunând din nou că conjectura abc este adevărată) că ecuația

{\ displaystyle n! = P (x)}

are doar un număr finit de soluții întregi pentru un polinom dat P de grad cel puțin 2 cu coeficienți întregi.

Cushinge și Pascoe au arătat în 2016 că ar urma din conjectura abc că

{\ displaystyle n! + K = m,}

are doar un număr finit de soluții, unde K este un număr întreg și este un număr puternic . ${\ displaystyle m = a ^ {2} b ^ {3}}$

Referințe

(fr) Acest articol este preluat parțial sau în totalitate din articolul Wikipedia din limba engleză intitulat „ Problema lui Brocard ” ( vezi lista autorilor ) .

Bruce C. Berndt și William F. Galway , „ Ecuația diofantină Brocard - Ramanujan n ! + 1 = m 2 ”, The Ramanujan Journal , 1409 West Green Street, Urbana, Illinois 61801, SUA, Departamentul de Matematică, Universitatea din Illinois, vol. 4, n o 1,Martie 2000, p. 41–42 ( DOI 10.1023 / A: 1009873805276 , prezentare online , citiți online ).
H. Brocard , „ Întrebarea 166 ”, Corespondență matematică nouă , vol. 2,1876( prezentare online ).
H. Brocard , „ Întrebarea 1532 ”, Nouvelles Annales de Mathématiques , vol. 4,1885( prezentare online ).
A. Dabrowski , „ Pe ecuația diofantină x ! + A = y 2 ”, Nieuw Cadeaux voor Wiskunde , vol. 14,Ianuarie 1996, p. 321–324 ( prezentare online ).
RK Guy , Probleme nerezolvate în teoria numerelor , New York, Springer-Verlag ,1994, A 2 -a ed. ( ISBN 0-387-90593-6 ) , „D25: ecuații care implică factorial”, p. 193–194.
Florian Luca , „ Ecuația diofantină P ( x ) = n ! și un rezultat al lui M. Overholt ”, Glasnik Matematički , vol. 37,2002, p. 269–273 ( citește online ).
Robert Matson , „ Brocard's Problem 4th Solution Search Utilizing Quadratic Residues ”, Probleme nerezolvate în teoria numerelor, logică și criptografie ,2017( citește online ).
Marius Overholt , „ Ecuația diofantină n ! + 1 = m 2 ”, Buletinul London Mathematical Society , vol. 25, n o 21993, p. 104 ( DOI 10.1112 / blms / 25.2.104 ).
(ro) Autor necunoscut „ Numere puternice și conjectura ABC ”,2016. .

linkuri externe

Ed Copeland , „ Brown Numbers ” , Numberphile , pe Numberphile , Brady Haran