Funcția holomorfă

În analiza complexă , o funcție holomorfă este o funcție cu valori complexe , definită și diferențiată în orice punct al unui subset deschis al planului complex ℂ.

Această condiție este mult mai puternică decât derivabilitatea reală . Aceasta implică (prin teoria lui Cauchy) că funcția este analitică : este diferențiată pe termen nelimitat și este egală cu vecinătatea oricărui punct de deschidere la suma seriei sale Taylor . Urmează un fapt remarcabil: noțiunile de funcție analitică complexă și funcție holomorfă coincid. Din acest motiv, funcțiile holomorfe formează pilonul central al analizei complexe.

Definiție

Definiție - Fie un set deschis al setului de numere complexe și o hartă a in . $U$ $\ mathbb {C}$ $f$ $U$ $\ mathbb {C}$

Spunem că este diferențiat (în sensul complex) sau holomorf la un punct de dacă există următoarea limită , numită derivată a în : $f$ $z_0$ $U$ $f$ $z_0$
${\ displaystyle f '(z_ {0}) = \ lim _ {z \ to z_ {0}} {f (z) -f (z_ {0}) \ over z-z_ {0}}.}$
Spunem că este holomorfă dacă este holomorfă în orice punct al . $f$ $U$ $U$
În special, numim o funcție întreagă o funcție holomorfă pe . $\ mathbb {C}$

Se va observa că anumiți autori necesită ca funcția astfel obținută să fie continuă. De fapt, este doar un mod de a simplifica demonstrațiile; într-adevăr, definiția prezentată aici implică oricum continuitatea acesteia (în virtutea teoremei lui Morera ). $f '$

Exemple

Funcții raționale

Orice funcție polinomială cu coeficienți complecși este completă.

Orice funcție rațională cu coeficienți complecși este holomorfă pe complementul mulțimii polilor săi (adică zerourile numitorului său, atunci când este scrisă într-o formă ireductibilă). De exemplu, funcția inversă este holomorfă pe *. ${\ displaystyle z \ mapsto 1 / z}$ $\ mathbb {C}$

Funcții definite de o serie întreagă

Fie o serie întreagă cu coeficienți complexi de rază de convergență diferită de zero (finită sau nu); denotăm discul său de convergență. Funcția de la definită este olomorfă și pentru toți , .În fapt, această funcție este infinit derivabila pe . ${\ displaystyle \ sum _ {n \ geq 0} a_ {n} z ^ {n}}$ $D$
$f$ $D$ $\ mathbb {C}$ ${\ displaystyle f (z) = \ sum _ {n \ geq 0} a_ {n} z ^ {n}}$ ${\ displaystyle z \ în D}$ ${\ displaystyle f '(z) = \ sum _ {n \ geq 1} na_ {n} z ^ {n-1}}$ $D$

Funcția exponențială este întreagă. Este același lucru pentru funcțiile trigonometrice (care pot fi definite din funcția exponențială prin intermediul formulelor lui Euler ) și funcțiile hiperbolice .

Logaritm complex

Numim determinarea logaritmului complex pe un U deschis de ℂ * orice funcție holomorfă $L$ a U în ℂ astfel încât pentru toate $z \in U$ , $exp ( L ( z )) = z$ sau ceea ce este echivalent (în cazul unui deschis conectat ), orice funcție holomorfă $L$ pe U cu derivată $z \mapsto1 / z$ și pentru care există $z 0 \in U$ astfel încât $exp ( L ( z 0 )) = z 0$ .

Pe orice U deschis al lui ℂ * unde există o determinare $L$ a logaritmului, putem defini, pentru orice număr întreg $k$ , funcția $z \mapsto L ( z ) + 2 k πi$ . Fiecare dintre aceste funcții este o determinare a logaritmului peste U și, dacă U este conectat , acestea sunt singurele.

Nu există nicio determinare a logaritmului la vedere *.

Există o determinare a logaritmului pe orice deschidere de tip ℂ * \ D unde D este o jumătate de linie a lui ℂ cu capătul 0 (vorbim de „ tăiat ”), în special pe setul numerelor complexe private ale jumătății -linie de reali negativi sau zero. Printre toate determinările logaritmului pe această deschidere, există una și una care extinde logaritmul natural real.

Mai general, există o determinare a logaritmului pe orice logaritm deschis care este pur și simplu conectat și nu conține 0.

Puterea și funcțiile de rădăcină n

Pe orice U deschis de ℂ * unde există o determinare $L$ a logaritmului, putem defini, pentru orice număr complex $a$ , o determinare holomorfă pe U a puterii exponentului $a$ prin setare, pentru toate $z \in U$ , $z a = exp ( a L ( z ))$ .

În special, pentru orice număr întreg $n > 0$ , funcția $z \mapsto z 1 / n = exp ((1 / n ) L ( z ))$ verifică identitatea ∀ $z \in U , ( z 1 / n ) n = z$ . Se spune că această funcție este o determinare a U a rădăcinii $n$ -th . Putem indica $n \sqrt z$ în loc de $z 1 / n$ (dacă realele strict pozitive aparțin lui U , atunci poate exista un conflict între această notație și semnificația sa obișnuită, servind la $denotarea$ rădăcinii a $n-a$ pozitive).

Funcțiile trigonometrice reciproce au în mod similar tăieturi și sunt holomorfe peste tot, cu excepția tăieturilor.

Derivată complexă

Regulile pentru calcularea derivatelor în sens complex sunt identice cu cele pentru derivatele funcțiilor unei variabile reale : liniaritate , derivată a unui produs , a unui coeficient, a unei funcții compuse. Rezultă că sumele, produsele sau compuse din funcții holomorfe sunt holomorfe, iar coeficientul a două funcții holomorfe este holomorf pe orice deschidere unde numitorul nu dispare.

O funcție holomorfă într-un punct este a fortiori continuă în acest moment.

Aproape de un punct $z 0 în$ care derivata unei funcții holomorfe $f$ este diferită de zero, $f$ este o transformare conformă , adică păstrează unghiurile (orientate) și formele figurilor mici (dar nu lungimile, în general).

Într-adevăr, diferențialul său în punctul $z 0$ este harta linear-liniară , unde : diferențialul este astfel identificat cu o similaritate directă a planului, deoarece A nu este zero. ${\ displaystyle df_ {z_ {0}}: \ mathbb {C} \ to \ mathbb {C}, \, u \ mapsto A \, u}$ $A = f '(z_ {0})$

Proprietăți

Ecuații Cauchy-Riemann

Dacă identificăm ℂ cu ℝ 2 , atunci funcțiile holomorfe pe un set deschis de ℂ coincid cu funcțiile a două variabile reale care sunt ℝ-diferențiate pe acest set deschis și verificăm acolo ecuațiile Cauchy-Riemann, un sistem de două ecuații cu derivate parțiale :

Considerăm o funcție a unei variabile complexe, unde $U$ este un set deschis al planului complex ℂ. Următoarele notații sunt folosite aici: ${\ displaystyle f: U \ to \ mathbb {C}}$

se notează variabila complexă , unde x , y sunt reale; $z$ $x + {{\ rm {i}}} \, y$
părțile reale și imaginare ale sunt notate respectiv și , adică :, unde sunt două funcții reale ale a două variabile reale. $f (z) = f (x + {{\ rm {i}}} \, y)$ $P (x, y)$ $Q (x, y)$ $f (z) = P (x, y) + {{\ rm {i}}} \, Q (x, y)$ $P, \, Q$

Ecuații Cauchy-Riemann - Dacă $f$ este ℝ-diferențiat la un punct $z 0$ al lui $U$ , următoarele patru proprietăți sunt echivalente:

$f$ este holomorf în $z 0$
${\ frac {\ partial f} {\ partial y}} (z_ {0}) = i \, {\ frac {\ partial f} {\ partial x}} (z_ {0})$
${\ frac {\ partial P} {\ partial x}} (x_ {0}, y_ {0}) = {\ frac {\ partial Q} {\ partial y}} (x_ {0}, y_ {0} )$ și ${\ frac {\ partial P} {\ partial y}} (x_ {0}, y_ {0}) = - {\ frac {\ partial Q} {\ partial x}} (x_ {0}, y_ {0 })$
$\ overline \ partial f (z_ {0}) = 0$ , unde operatorul diferențial este, prin definiție, egal cu . $\ overline \ partial$ ${\ frac 12} \ left ({\ frac \ partial {\ partial x}} + {{\ rm {i}}} {\ frac \ partial {\ partial y}} \ right)$

Rețineți, când $f$ este holomorf în $z 0$ :

{\ displaystyle \ f '(z_ {0}) = {\ frac {\ partial f} {\ partial x}} (z_ {0}) = - {\ rm {i}} \, {\ frac {\ partial f} {\ partial y}} (z_ {0})}

{\ displaystyle f '(z_ {0}) = \ partial f (z_ {0})}

, unde operatorul diferențial este, prin definiție, egal cu .

\ parțial

{\ frac 12} \ left ({\ frac \ partial {\ partial x}} - {{\ rm {i}}} {\ frac \ partial {\ partial y}} \ right)

Legături între funcțiile holomorfe și armonice

Arătăm în continuare că funcțiile holomorfe sunt de clasă (vezi formula integrală a lui Cauchy). $C ^ {\ infty}$

O consecință a ecuațiilor Cauchy-Riemann este că laplacienii părții reale și părții imaginare ale unei funcții holomorfe $f$ sunt zero:

Dacă părțile reale și imaginare ale sunt notate respectiv și , adică dacă :, unde sunt două funcții reale ale a două variabile reale, avem: $f (z) = f (x + {{\ rm {i}}} \, y)$ $P (x, y)$ $Q (x, y)$ $f (z) = P (x, y) + {{\ rm {i}}} \, Q (x, y)$ $P, \, Q$

\ \ Delta P = \ Delta Q = 0

Spunem asta și sunt funcții armonice . $P$ $Î$

De asemenea avem:

{\ frac {\ partial P} {\ partial x}} {\ frac {\ partial Q} {\ partial x}} + {\ frac {\ partial P} {\ partial y}} {\ frac {\ partial Q } {\ partial y}} = 0

$P$ și se numesc armonici conjugate . $Î$

Avem o inversă:
orice funcție armonică reală a variabilei complexe este local partea reală a unei funcții holomorfe.

Teorema integrală a lui Cauchy

Ecuațiile Cauchy-Riemann fac posibilă demonstrarea lemei Goursat , care este în esență teorema integrală Cauchy de mai jos, în cazul particular al unei dantele poligonale, și deducerea din aceasta:

Teorema integralei lui Cauchy - Fie $γ$ o buclă rectificabilă în ℂ și $f$ o funcție holomorfă pe un set deschis simplu conectat care conține $γ$ , atunci integrala curbiliniară a lui $f$ pe $γ$ este zero:

\ int _ {\ gamma} f (z) ~ {\ mathrm d} z = 0.

Această teoremă rămâne valabilă dacă, la un număr finit de puncte ale deschiderii, funcția nu ar trebui să fie holomorfă, ci doar continuă.

În special :

dacă $γ$ este o buclă simplă , atunci, conform teoremei lui Jordan-Schoenflies , este granița unui K compact conectat și pur și simplu conectat, iar teorema se aplică (dacă $γ$ este rectificabilă) oricărei funcții holomorfe pe una deschisă care conține K ;
dacă $f$ este holomorf pe un $U$ deschis și dacă $γ$ și $Γ$ sunt două căi rectificabile strict homotopice în $U$ atunci integralele lui $f$ pe $γ$ și $Γ$ sunt egale.

Putem evita utilizarea lemei lui Goursat, dar cu prețul unei ipoteze suplimentare:

Dovadă directă sub ipoteza suplimentară că

f

este din clasa C 1 în bucăți

Ca și în demonstrația folosind lema lui Goursat, reducem (prin aproximare apoi tăiere ) la cazul în care bucla $γ$ este un poligon simplu . Teorema lui Green , sa alăturat Cauchy- Riemann , apoi să încheie: dacă $D$ denotă interiorul poligonului,

\ int _ {\ gamma} f (z) ~ {\ mathrm d} z = \ int _ {\ gamma} (f {\ mathrm d} x + if {\ mathrm d} y) = \ iint _ {D} \ left ({\ frac {\ partial if} {\ partial x}} - {\ frac {\ partial f} {\ partial y}} \ right) ~ {\ mathrm d} x {\ mathrm d} y = \ iint _ {D} 0 ~ {\ mathrm d} x {\ mathrm d} y = 0.

Această teoremă este generalizată de teorema reziduurilor la funcții holomorfe având singularități izolate .

Primitiv al unei funcții holomorfe

Din teorema de mai sus deducem :

Proprietatea - Fie

f să fie

o funcție olomorfă pe un deschis U conectat și pur și simplu conectat,

z 0

un punct de U și

F

funcția definită pe U de

F (z) = \ int _ {{P (z)}} f (\ xi) ~ {\ mathrm d} \ xi,

unde

P ( z )

este orice cale rectificabilă în U de la

z 0

z

. Apoi ,

F

este un primitiv complex de

f

pe U .

Această teoremă rămâne valabilă dacă, la un număr finit de puncte ale deschiderii, funcția nu ar trebui să fie holomorfă, ci doar continuă.

Este important ca deschiderea să fie pur și simplu conectată, deci integrala lui $f$ între două puncte nu depinde de calea dintre aceste două puncte.

De exemplu, funcția $h : z \mapsto 1 / z$ este holomorfă peste ℂ *, care este conectată, dar nu pur și simplu conectată. Integrala lui $h$ pe cercul de centru 0 și raza 1 (traversată în direcția trigonometrică), valorează $2πi$ , dar valorează 0 pe o cale închisă care unește 1 la sine în timp ce nu înconjoară 0. Pe de altă parte, se poate defini un antiderivativ al lui $h$ asupra oricărui set deschis deschis de ℂ * (cf. determinări ale logaritmului complex în secțiunea „Exemple” de mai sus ).

Formula integrală Cauchy și aplicații

Formula integrală

Să $f să fie$ o funcție olomorfă pe un deschis $U$ de ℂ, atunci în cazul în care C este un cerc orientat pozitiv, centrată în z și incluse (precum și interior) în U.

f (z) = {1 \ over 2 \ pi i} \ int _ {C} {f (\ xi) \ over \ xi -z} ~ {\ mathrm d} \ xi.

Reprezentare în serie completă

Teorema - Fie $f să fie$ o funcție olomorfă pe un deschis $U$ de ℂ, atunci $f$ este analitic pe $U$ și pentru orice punct $z 0$ de $U$ , ceea ce denotă $R$ (Euclidian) distanța de la $z 0$ la ℂ \ $U$ :

\ forall z \ in D (z_ {0}, R), ~~ f (z) = \ sum _ {{n = 0}} ^ {\ infty} c_ {n} (z-z_ {0}) ^ {nu}

\ forall r \ in] 0, R [, \ quad c_ {n} = {\ frac 1 {2 \ pi i}} \ int _ {{C (z_ {0}, r)}} {\ frac {f (w)} {(w-z_ {0}) ^ {{n + 1}}}} ~ {\ mathrm d} w.

Prin urmare, $f$ este nedefinibil diferențiat pe $U$ , cu

{\ displaystyle \ forall z_ {0} \ in U, f ^ {(n)} (z_ {0}) = c_ {n} .n! = {\ frac {n!} {2 \ pi i}} \ int _ {C (z_ {0}, r)} {\ frac {f (w)} {(w-z_ {0}) ^ {n + 1}}} ~ \ mathrm {d} w.}

Note:

Seria Taylor din $z 0$ converge pe orice disc deschis cu centrul $z 0$ și inclus în $U,$ dar poate convergi, desigur, pe un disc mai mare; de exemplu, seria Taylor a determinării principale a logaritmului converge pe orice disc care nu conține 0, chiar dacă conține reali negativi. Aceasta este baza principiului extinderii analitice .
Există o echivalență între holomorfie asupra unei deschideri și analiticitate, analiticitatea implicând în mod clar holomorfie.
Orice funcție holomorfă f este o funcție analitică , prin urmare principiul maximului , principiul zerourilor izolate, inegalitatea Cauchy sunt verificate printr-o funcție holomorfă.

Proprietate medie

Din formula integrală a lui Cauchy, se deduce în special faptul că orice funcție holomorfă pe un deschidere care conține un disc închis este complet determinată în interiorul acestui disc de valorile sale de la marginea acestuia: în formula de mai sus pentru $c 0$ , schimbarea parametrului $w = z 0 + re iθ$ dă:

f (z_ {0}) = {\ frac 1 {2 \ pi}} \ int _ {0} ^ {{2 \ pi}} f (z_ {0} + r {{\ rm {e}}} ^ {{{{\ rm {i}}} \ theta}}) {{mathrm d} \ theta.

Interesul acestei formule este în calculul numeric. Calculul unei integrale este într-adevăr mai stabil decât cel al instrumentelor derivate.
Acest rezultat rămâne clar valabil pentru partea reală și pentru partea imaginară a lui $f$ , care sunt funcții armonice .

Principiul maxim

Să $f$ o funcție olomorfă nonconstant pe un deschis conectat $U$ . Deci $| f |$ admite nici un maxim local pe $U$ . Astfel, în cazul în care $U$ este mărginită, maximul funcției $f$ este atinsă la granița de $U$ . Cu alte cuvinte, în orice punct $z$ al lui $U$ :

{\ displaystyle | f (z) | \ leq \ sup \ {| f (\ omega) | \ mid \ omega \ in \ partial U \}}

Demonstrație

Să $z 0$ un punct $U$ . Funcția $f - f ( z 0 )$ nu este identică zero, prin urmare, prin unicitatea continuării analitice , există un număr întreg $k > 0$ și un complex non-nul $α$ astfel încât

f (z) = f (z_ {0}) + \ alpha (z-z_ {0}) ^ {k} + (z-z_ {0}) ^ {k} \ varepsilon (z),

unde $ε$ este o funcție de limită zero la $z 0$ .

Dacă $f ( z 0 ) = 0$ atunci, în vecinătatea $z 0$ , $f$ nu dispare.
Dacă $f ( z 0 ) \neq 0$ , $fie β$ o $k$ -a rădăcină a lui $f ( z 0 ) / α$ . Asa de, $f (z_ {0} + t \ beta) = f (z_ {0}) \ left (1 + t ^ {k} + t ^ {k} \ varepsilon _ {1} (t) \ right),$ unde $ε 1$ este o funcție a limitei zero la 0, deci pentru orice $t > 0$ real $care$ este suficient de mic, $| f ( z 0 + t β) | > | f ( z 0 ) |$ .

Astfel, în ambele cazuri, $| f |$ nu admite un maxim local în $z 0$ .

Secvențe convergente ale funcțiilor holomorfe

Dacă o secvență ( $f j$ ) a funcțiilor holomorfe converge la o funcție $f$ , uniform peste orice compact al $U$ deschis al lui ℂ, atunci $f$ este holomorfă și pentru toate $k$ , secvența ( $f j ( k )$ ) a derivatelor converge la $f (k)$ , uniform pe $U$ compact .

Dezvoltarea lui Laurent în jurul unui punct singular

Teorema - Fie $f$ o funcție holomorfă pe $U \ A$ cu $U$ un set deschis de ℂ și $A$ un subset închis de U ale cărui elemente sunt izolate (A este setul de puncte singular sau singularități izolate de $f$ în $U$ ).

Apoi, în jurul fiecărui punct $z 0$ al lui $U$ , $f$ admite o expansiune Laurent pe o coroană cu ( denotând distanța euclidiană de la complementul lui U în ℂ): ${\ displaystyle C (z_ {0}, R_ {1}, R_ {2}) \ subset UA}$ ${\ displaystyle 0 <R_ {1} <R_ {2} <d}$ $d$ $z_0$ ${\ displaystyle \ mathbb {C} -U}$

{\ displaystyle \ forall z \ în C (z_ {0}, R_ {1}, R_ {2}), ~~ f (z) = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {+ \ infty} c_ {n} (z-z_ {0}) ^ {n}}

{\ displaystyle c_ {n} = {\ frac {1} {2 \ pi \ mathrm {i}}} \ anoint _ {C (z_ {0}, r)} {\ frac {f (w)} {( w-z_ {0}) ^ {n + 1}}} \, \ mathrm {d} w \ quad {\ text {where}} \ quad R_ {2}> r> R_ {1}}

Note:

Notația desemnează suma celor două serii convergente și . ${\ displaystyle \ sum _ {n = - \ infty} ^ {+ \ infty} c_ {n} (z-z_ {0}) ^ {n}}$ ${\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {+ \ infty} c_ {n} (z-z_ {0}) ^ {n}}$ ${\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {+ \ infty} c _ {- n} (z-z_ {0}) ^ {- n}}$
În cazul unei funcții raționale pe care se caută să o dezvolte la zero, coeficienții sunt calculați printr-o dezvoltare clasică în serie în zero a elementelor simple . $c_ {n}$
În practică, calculul coeficienților (în orice moment) poate fi efectuat și datorită teoremei reziduurilor , adesea mai complicată decât dezvoltarea funcțiilor raționale în serie, dar care rămâne în general mai simplă decât utilizarea formulei directe.
Reziduul de f în singularitatea este coeficientul . $z_0$ ${\ displaystyle c _ {- 1}}$

Funcții meromorfe

Calculul lui $c n$ în expansiunea lui Laurent poate da naștere la trei posibilități:

$\ forall n <0, ~~ c_ {n} = 0$ : atunci $f$ poate fi extins într-o funcție analitică pe toate punctele conținute pe disc și se spune că aceste puncte sunt regulate . Exemplu de funcție care prezintă astfel de coeficienți: la 0, 0 este un punct regulat al lui $f$ . $LA$ $D (z_ {0}, R_ {1})$ $f (z) = {\ frac {{{\ rm {e}}} ^ {z} -1} z}$
$\ există p \ în \ mathbb {N}$ astfel încât și avem : atunci funcția poate fi extinsă într-o funcție analitică pe toate punctele de conținut din disc . De fapt, acest caz îl generalizează pe primul. Aceste puncte sunt ordinea polilor cel mult de $f$ , poate exista regulat (ordinul 0). Spunem că f este o funcție meromorfă pe U dacă toate punctele lui A sunt poli. Exemple de funcții care prezintă astfel de coeficienți: la 0 (0 este un pol de ordinul k al $f$ ), sau mai general funcțiile raționale la polii lor. ${\ displaystyle c _ {- p} \ neq 0}$ $\ forall n <-p$ $\ c_ {n} = 0$ $\ (z-z_ {0}) ^ {p} f (z)$ $LA$ $D (z_ {0}, R_ {1})$ $p$ $f (z) = {\ frac {1} {z ^ {k}}}$
În celelalte cazuri, există printre punctele conținute pe disc cel puțin un punct pe care nu este posibil să încercați una dintre extensiile de mai sus. Un astfel de punct al lui A este numit „ punctul singular esențial ” al lui $f$ . Exemplu: în 0, 0 este un punct singular esențial al lui $f$ . $LA$ $D (z_ {0}, R_ {1})$ $f (z) = {{\ rm {e}}} ^ {{{\ frac 1z}}}$

Anti-holomorfie

Funcția f ( z ) este numit anti-olomorfă pe un deschis D unde f ( z ) este olomorfă pe conjugat deschis D . Prin urmare, este analitică în z .

O funcție atât de olomorfă și anti-olomorfă pe D este local constantă pe D , deci constantă pe orice legat la D .

Note și referințe

Michèle Audin, Analiză complexă ( citiți online ) , pagina 30
Michèle Audin, Analyze Complexe ( citește online ) , p. 58
De fapt, știm (a posteriori) că o funcție cu valoare complexă continuă pe o deschidere a planului complex și holomorfă pe complementul unui subset finit este holomorfă pe această deschidere. Putem chiar să înlocuim presupunerea de continuitate cu cea de a fi delimitați local.
Henri Cartan , Teoria elementară a funcțiilor analitice a uneia sau mai multor variabile complexe [ detaliul ediției ], p. 70 .
Această demonstrație este preluată din Pierre Colmez , Elemente de analiză și algebră (și teoria numerelor) , Palaiseau, Éditions de l'École Polytechnique,2009, 469 p. ( ISBN 978-2-7302-1563-3 , citit online ) , p. 238. Walter Rudin , Analiza reală și complexă [ detaliile edițiilor ], 1977, p. 206, dă un altul, bazat pe formula medie și egalitatea lui Parseval , dar subliniază și (p. 209) că principiul maximului este dedus imediat din teorema imaginii deschise . Pentru o altă dovadă, vezi Cartan , p. 83 și exercițiul p. 142 pentru o generalizare a funcțiilor subarmonice .
Rudin , p. 207, a. 10.27 și corolar.

Vezi și tu

Articole similare

Link extern

grafice-funcții-holomorfe - Plimbări matematice între funcții holomorfe, cu imagini suport.