Polinom simetric

În matematică , un polinom simetric este un polinom în mai multe nedeterminate , invariante prin permutare a nedeterminărilor sale. Acestea joacă în special un rol în relațiile dintre coeficienți și rădăcini .

Definiție

Fie A un inel comutativ unificat . Un polinom Q ( T 1 , ..., T n ) în n nedeterminat cu coeficienți A este declarat a fi simetric dacă pentru orice permutare s setului de indici {1, ..., n }, are loc egalitatea:

{\ displaystyle Q (T_ {1}, \ dots, T_ {n}) = Q (T_ {s (1)}, \ dots, T_ {s (n)}).}

Exemple

Pentru n = 1, orice polinom este simetric.
Pentru n = 2, polinomul T 1 + T 2 este simetric în timp ce polinomul T 1 + T 2 2 nu este.
Pentru n = 3, polinomul ( T 1 - T 2 ) 2 ( T 1 - T 3 ) 2 ( T 2 - T 3 ) 2 este simetric;
O clasă importantă de polinoame simetrice o constituie sumele lui Newton , definite prin p k ( T 1 , ..., T n ) = T i k . ${\ displaystyle \ Sigma _ {i = 1} ^ {n}}$

Polinoame simetrice elementare

Polinoamele simetrice formează un sub A - algebră asociativă unitală a lui A [ T 1 , ..., T n ]. O familie generatoare este dată de polinoamele simetrice elementare așa cum vom vedea mai jos.

Definiție

Pentru 0 ≤ k ≤ n , k -th polinom simetric elementar în n variabile, σ n , k ( T 1 ,…, T n ), pe care le vom denumi mai simplu prin σ k ( T 1 ,…, T n ) este suma tuturor produselor k ale acestor variabile, adică notând setul de combinații de k numere luate din mulțimea {1, 2, ..., n }: ${\ displaystyle {\ mathcal {P}} _ {k} (\ {1, \ dots, n \})}$

{\ displaystyle \ sigma _ {k} (T_ {1}, \ dots, T_ {n}) = \ sum _ {I \ in {\ mathcal {P}} _ {k} (\ {1, \ dots, n \})} \ prod _ {i \ in I} T_ {i} = \ sum _ {1 \ leq i_ {1} <i_ {2} <\ cdots <i_ {k} \ leq n} T_ {i_ {1}} T_ {i_ {2}} \ cdots T_ {i_ {k}}.}

Acest polinom este într-adevăr simetric, deoarece o permutare a grupului simetric S n trimite bijectiv o astfel de combinație pe alta.

Exemple

${\ displaystyle \ sigma _ {0} (T_ {1}, \ dots, T_ {n}) = 1}$ ;
${\ displaystyle \ sigma _ {n} (T_ {1}, \ dots, T_ {n}) = T_ {1} \ cdots T_ {n}}$ ;
${\ displaystyle \ sigma _ {k} (T_ {1}, \ dots, T_ {n}) = 0}$ dacă ; $k> n$
${\ displaystyle \ sigma _ {1} (T_ {1}, \ dots, T_ {n}) = T_ {1} + \ cdots + T_ {n} = \ sum _ {1 \ leq i \ leq n} T_ {i}}$ ;
σ2(T1,...,Tnu)=∑1≤eu<j≤nuTeuTj{\ displaystyle \ sigma _ {2} (T_ {1}, \ dots, T_ {n}) = \ sum _ {1 \ leq i <j \ leq n} T_ {i} T_ {j}} ${\ displaystyle \ sigma _ {2} (T_ {1}, \ dots, T_ {n}) = \ sum _ {1 \ leq i <j \ leq n} T_ {i} T_ {j}}$ ,
- Dacă n = 3 , ${\ displaystyle \ sigma _ {2} (T_ {1}, T_ {2}, T_ {3}) = T_ {1} T_ {2} + T_ {1} T_ {3} + T_ {2} T_ { 3}}$
- Cazul n = 4 :; ${\ displaystyle \ sigma _ {2} (T_ {1}, T_ {2}, T_ {3}, T_ {4}) = T_ {1} T_ {2} + T_ {1} T_ {3} + T_ {1} T_ {4} + T_ {2} T_ {3} + T_ {2} T_ {4} + T_ {3} T_ {4}}$
σ3(T1,...,Tnu)=∑1≤eu<j<l≤nuTeuTjTl{\ displaystyle \ sigma _ {3} (T_ {1}, \ dots, T_ {n}) = \ sum _ {1 \ leq i <j <l \ leq n} T_ {i} T_ {j} T_ { l}} ${\ displaystyle \ sigma _ {3} (T_ {1}, \ dots, T_ {n}) = \ sum _ {1 \ leq i <j <l \ leq n} T_ {i} T_ {j} T_ { l}}$ ,
- Dacă n = 4: . ${\ displaystyle \ sigma _ {3} (T_ {1}, T_ {2}, T_ {3}, T_ {4}) = T_ {1} T_ {2} T_ {3} + T_ {1} T_ { 2} T_ {4} + T_ {1} T_ {3} T_ {4} + T_ {2} T_ {3} T_ {4}}$

O definiție echivalentă a polinoamelor simetrice elementare este:

{\ displaystyle \ prod _ {i = 1} ^ {n} (X + T_ {i}) = \ sum _ {k = 0} ^ {n} \ sigma _ {k} (T_ {1}, \ dots , T_ {n}) X ^ {nk}.}

Exemple

n = 1 :; ${\ displaystyle X + T = X + \ underbrace {T} _ {\ sigma _ {1} (T)}}$
n = 2 :; ${\ displaystyle (X + T_ {1}) (X + T_ {2}) = X ^ {2} + \ underbrace {(T_ {1} + T_ {2})} _ {\ sigma _ {1} ( T_ {1}, T_ {2})} X + \ underbrace {T_ {1} T_ {2}} _ {\ sigma _ {2} (T_ {1}, T_ {2})}}$
n = 3 . ${\ displaystyle (X + T_ {1}) (X + T_ {2}) (X + T_ {3}) = X ^ {3} + \ underbrace {(T_ {1} + T_ {2} + T_ { 3})} _ {\ sigma _ {1} (T_ {1}, T_ {2}, T_ {3})} X ^ {2} + \ underbrace {(T_ {1} T_ {2} + T_ { 1} T_ {3} + T_ {2} T_ {3})} _ {\ sigma _ {2} (T_ {1}, T_ {2}, T_ {3})} X + \ underbrace {T_ {1 } T_ {2} T_ {3}} _ {\ sigma _ {3} (T_ {1}, T_ {2}, T_ {3})}}$

Conform acestei definiții, dacă un polinom unitar R ( X ) de grad n într-un nedeterminat admite o factorizare

{\ displaystyle R (X) = X ^ {n} + \ sum _ {k = 1} ^ {n} a_ {k} X ^ {nk} = \ prod _ {i = 1} ^ {n} (X -z_ {i})}

în factorii de gradul 1, atunci coeficienții polinomului R sunt dați ca funcții simetrice ale rădăcinilor z i , adică:

{\ displaystyle a_ {k} = (- 1) ^ {k} \ sigma _ {k} (z_ {1}, \ dots, z_ {n}).}

Teorema

Pentru orice polinom simetric Q ( T 1 , ..., T n ) cu coeficienți în A , există un polinom unic P în n nedeterminat cu coeficienți în A astfel încât

{\ displaystyle Q (T_ {1}, \ ldots, T_ {n}) = P (\ sigma _ {1} (T_ {1}, \ ldots, T_ {n}), \ ldots, \ sigma _ {n } (T_ {1}, \ ldots, T_ {n})).}

Mai formal: morfismul algebrelor

{\ displaystyle A [X_ {1}, \ ldots, X_ {n}] \ to A [T_ {1}, \ ldots, T_ {n}]}

{\ displaystyle P (X_ {1}, \ ldots, X_ {n}) \ mapsto P (\ sigma _ {1} (T_ {1}, \ ldots, T_ {n}), \ ldots, \ sigma _ { n} (T_ {1}, \ ldots, T_ {n}))}

este injectiv și are pentru imagine subalgebra polinoamelor simetrice.

Sau, semne ale elementare polinoame simetrice> 0 Engender unital subalgebra de polinoame simetrice, și sunt algebric independente peste A . Acest rezultat este uneori numit teorema fundamentală a polinoamelor simetrice .

Un alt sistem generator faimos, legat de cel anterior, constă din sumele lui Newton dacă A conține câmpul numerelor raționale.

Referinţă

Serge Lang , Algebra [ detaliile edițiilor ], capitolul V, § 9

Articol asociat

Polinom alternat (în)