Planul lui Moore

În matematică , planul lui Moore sau planul Niemytzki - numit după Robert Lee Moore și Viktor Niemytzki  (ru) - este un spațiu topologic folosit ca contraexemplu . Este de fapt un semiplan , prevăzut cu o topologie strict mai fină decât topologia obișnuită.

Definiție

Pe jumătatea superioară a planului Γ = {( p , q ) ∈ ℝ 2 | q ≥ 0}, definim o topologie după vecinătăți , după cum urmează:

• dacă q > 0, vecinătățile din ( p , q ) din Γ sunt aceleași cu vecinătățile sale din ℝ × ℝ + (prevăzute cu topologia produsului , indusă de topologia obișnuită a lui ℝ 2 );
• o bază de vecinătăți ale unui punct ( p , 0) al axei x este alcătuită din {( p , 0)} ∪ D , pentru orice disc deschis D de la ℝ × ℝ + tangentă la ( p , 0) la aceasta axă, adică D de forma {( x , y ) ∈ ℝ 2 | ( x - p ) 2 + ( y - r ) 2 < r 2 } pentru orice r > 0 real .

Proprietăți

• Avionul lui Moore Γ este, prin construcție, cu baze numărabile ale cartierelor .
• Nu este din Lindelöf . Într-adevăr, axa x Γ 0 = ℝ × {0} este o nenumărată discretă închisă .
• Prin urmare, Γ nu poate fi numărat și nici σ-compact .
• Este separabil  : ℚ × ℚ + este dens .
• Prin urmare, nu este metrizabil , deoarece subspaiul Γ 0 nu este separabil.
• Nu este compact local (în timp ce Γ 0 și complementul său sunt clar).
• Este încă complet regulat .
• Nu este normală , deoarece este separabilă și are un discret închis Γ 0 având puterea continuului sau, mai direct, deoarece ℚ × {0} și (ℝ \ ℚ) × {0} sunt două non- disjuncte închise separat  (în) prin două deschideri disjuncte.
• Nu este paracompact (deoarece nu este normal), nici metacompact  (en) (numai metacompact în mod considerabil).

Dovada regularității complete

Este o întrebare de a arăta că pentru orice punct M = ( p , q ) al lui Γ și orice vecinătate V a lui M , există o funcție continuă a lui Γ în [0, 1] valorând 0 la punctul M și 1 pe se completează de V . Singurul caz dificil este atunci când q este zero. Dacă V = {( p , 0)} ∪ D cu D ca în definiția de mai sus , putem de exemplu defini f pe D prin: f ( N ) = d ( M , N ) / L , unde L este lungimea coarda de D după M și trece prin N .

Note și referințe

1. (în) Lynn Arthur Steen și J. Arthur Seebach, Jr. , contraexemple în topologie , Dover ,1995, 244  p. ( ISBN  978-0-486-68735-3 , citit online ), "  Exemplul 82: Topologia discului tangent al lui Niemytzki  "
2. (în) „  De ce nu este compactul local Moore  ” la Math Stack Exchange
3. (în) C. Wayne Patty , Foundations of Topology , Jones & Bartlett,2012, A 2 -a  ed. , 380  p. ( ISBN  978-1-4496-6865-5 , citit online ) , p.  172

• (ro) Stephen Willard , Topologie generală , Dover ,2004( 1 st  ed. , 1970, Addison-Wesley ), 384  p. ( ISBN  978-0-486-13178-8 , citit online )

• (fr) Acest articol este preluat parțial sau în totalitate din articolul Wikipedia din limba engleză intitulat „  Moore plane  ” ( vezi lista autorilor ) .

Articol asociat

Harta Sorgenfrey