Pfaffien
În matematică , pfaffianul sau determinantul pfaffian , care își ia numele de la matematicianul german Johann Pfaff , este un scalar care intervine în studiul matricelor antisimetrice . Se exprimă într-un mod polinomial folosind coeficienții matricei. Acest polinom este zero dacă matricea este de dimensiuni impare; este de interes doar în cazul matricilor antisimetrice de mărime 2 n × 2 n , gradul său este atunci n . Pfaffian unei matrice A este notată .
Pf(LA){\ displaystyle \ mathrm {Pf} \ left (A \ right)}
Pfaffian este legat de determinant . Într-adevăr, determinantul unei astfel de matrice poate fi întotdeauna exprimat ca un pătrat perfect și, de fapt, pătratul lui pfaffian. În mod explicit, pentru o matrice antisimetrică de dimensiunea 2 n × 2 n , avem
LA{\ displaystyle A}
Pf(LA)2=det(LA){\ displaystyle {\ text {Pf}} (A) ^ {2} = {\ text {det}} (A)}
Istorie
Termenul „pfaffian” a fost introdus de Arthur Cayley , care l-a folosit în 1852: „Permutanții acestei clase (prin legătura lor cu cercetările lui Pfaff asupra ecuațiilor diferențiale) îi voi numi pfaffians ” . Matematicianul german la care se referă este Johann Friedrich Pfaff .
În 1882 Thomas Muir a dovedit legătura dintre pfaffian și determinantul unei matrice antisimetrice. El publică acest rezultat în tratatul său asupra factorilor determinanți.
Definiție formală
Fie A = { a i, j } o matrice antisimetrică 2 n × 2 n . Pfaffianul lui A este definit de:
Pf(LA)=12nunu!∑σ∈S2nusgnu(σ)∏eu=1nulaσ(2eu-1),σ(2eu){\ displaystyle \ mathrm {Pf} (A) = {\ frac {1} {2 ^ {n} n!}} \ sum _ {\ sigma \ in S_ {2n}} \ mathrm {sgn} (\ sigma) \ prod _ {i = 1} ^ {n} a _ {\ sigma (2i-1), \ sigma (2i)}}unde S 2 n este grupul simetric și sgn (σ) este semnătura lui σ.
Simplificare
Această definiție poate fi simplificată folosind antisimetria matricei, care evită adăugarea tuturor permutărilor posibile.
Fie Π ansamblul tuturor partițiilor lui {1, 2, ..., 2 n } în perechi, indiferent de ordine. Există (2 n - 1) !! . Un element α ∈ Π poate fi scris sub forma:
α={(eu1,j1),(eu2,j2),⋯,(eunu,jnu)}{\ displaystyle \ alpha = \ {(i_ {1}, j_ {1}), (i_ {2}, j_ {2}), \ cdots, (i_ {n}, j_ {n}) \}}cu și . Este
euk<jk{\ displaystyle i_ {k} <j_ {k}}eu1<eu2<⋯<eunu{\ displaystyle i_ {1} <i_ {2} <\ cdots <i_ {n}}
πα=[1234⋯2nueu1j1eu2j2⋯jnu]{\ displaystyle \ pi _ {\ alpha} = {\ begin {bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & \ cdots & 2n \\ i_ {1} & j_ {1} & i_ {2} & j_ {2} & \ cdots & j_ {n} \ end {bmatrix}}}permutarea corespunzătoare. π depinde doar de α. Având în vedere o partiție α, putem defini:
LAα=sgn(πα)laeu1,j1laeu2,j2⋯laeunu,jnu.{\ displaystyle A _ {\ alpha} = \ operatorname {sgn} (\ pi _ {\ alpha}) a_ {i_ {1}, j_ {1}} a_ {i_ {2}, j_ {2}} \ cdots a_ {i_ {n}, j_ {n}}.}Pfaffianul lui A este atunci:
Pf(LA)=∑α∈ΠLAα.{\ displaystyle \ operatorname {Pf} (A) = \ sum _ {\ alpha \ in \ Pi} A _ {\ alpha}.}Pfaffianul unei matrice antisimetrice n × n pentru n impar este definit zero.
Definiție alternativă
Putem asocia, cu orice matrice antisimetrică 2 n × 2 n A = { a ij }, un bivector :
ω=∑eu<jlaeujeeu∧ej.{\ displaystyle \ omega = \ sum _ {i <j} a_ {ij} \; e ^ {i} \ wedge e ^ {j}.}unde { e 1 , e 2 , ..., e 2 n } este baza canonică a lui R 2n . Pfaffien este apoi definit de relația:
1nu!ωnu=Pf(LA)e1∧e2∧⋯∧e2nu,{\ displaystyle {\ frac {1} {n!}} \ omega ^ {n} = {\ mbox {Pf}} (A) \; e ^ {1} \ wedge e ^ {2} \ wedge \ cdots \ wedge e ^ {2n},}Aici, ω n denotă produsul exterior din n copii ale lui ω cu sine. Prin urmare, pfaffian apare ca coeficient de colinearitate între ω n și forma volumică a lui R 2n .
Exemple
Pf(0la-la0)=la.{\ displaystyle {\ mbox {Pf}} {\ begin {pmatrix} 0 & a \\ - a & 0 \ end {pmatrix}} = a.}Pf(0labvs.-la0de-b-d0f-vs.-e-f0)=laf-be+dvs..{\ displaystyle {\ mbox {Pf}} {\ begin {pmatrix} 0 & a & b & c \\ - a & 0 & d & e \\ - b & -d & 0 & f \\ - c & - e & -f & 0 \ end {pmatrix}} = af-be + dc.}
Pf(0la100-la10b100-b10la200-la2⋱⋱⋱⋱bnu-1-bnu-10lanu-lanu0)=la1la2⋯lanu.{\ displaystyle {\ mbox {Pf}} {\ begin {pmatrix} 0 & a_ {1} & 0 & 0 \\ - a_ {1} & 0 & b_ {1} & 0 \\ 0 & -b_ {1 } & 0 & a_ {2} \\ 0 & 0 & -a_ {2} & \ ddots & \ ddots \\ &&& \ ddots & \ ddots & b_ {n-1} \\ &&&& - b_ {n-1} & 0 & a_ {n} \\ &&&&&& - a_ {n} & 0 \ end {pmatrix}} = a_ {1} a_ {2} \ cdots a_ {n}.}
Identități remarcabile
Identități generale
Pentru o matrice antisimetrică 2 n × 2 n A și o matrice arbitrară 2 n × 2 n , notată cu B ,
-
Pf(LA)2=det(LA){\ displaystyle {\ mbox {Pf}} (A) ^ {2} = \ det (A)}(Lema lui Muir )
- Pf(BLABT)=det(B)Pf(LA){\ displaystyle {\ mbox {Pf}} (BAB ^ {T}) = \ det (B) {\ mbox {Pf}} (A)}
- Pf(λLA)=λnuPf(LA){\ displaystyle {\ mbox {Pf}} (\ lambda A) = \ lambda ^ {n} {\ mbox {Pf}} (A)}
- Pf(LAT)=(-1)nuPf(LA){\ displaystyle {\ mbox {Pf}} (A ^ {T}) = (- 1) ^ {n} {\ mbox {Pf}} (A)}
Matrici diagonale pe blocuri
Pfaffianul unei matrice diagonale antisimetrice prin blocuri de formă
LA1⊕LA2=(LA100LA2){\ displaystyle A_ {1} \ oplus A_ {2} = {\ begin {pmatrix} A_ {1} & 0 \\ 0 & A_ {2} \ end {pmatrix}}}este produsul pfaffienilor blocurilor
Pf(LA1⊕LA2)=Pf(LA1)Pf(LA2){\ displaystyle {\ text {Pf}} (A_ {1} \ oplus A_ {2}) = {\ text {Pf}} (A_ {1}) \, {\ text {Pf}} (A_ {2} )}}.
Acest lucru se generalizează prin recurență la mai mult de două blocuri.
Orice matrice pătrată
Pf(0M-MT0)=(-1)nu(nu-1)/2detM{\ displaystyle {\ mbox {Pf}} {\ begin {pmatrix} 0 & M \\ - M ^ {T} & 0 \ end {pmatrix}} = (- 1) ^ {n (n-1) / 2 } \ det M}.
Aplicații
Referințe
(
fr ) Acest articol este preluat parțial sau în întregime din articolul Wikipedia din
limba engleză intitulat
„ Pfaffian ” ( vezi lista autorilor ) .
-
(în) Thomas Muir, A Treatise on the Theory of Determinants , reeditat și extins în 1930.
-
(în) Nicol Schraudolph și Dmitry Kamenetsky , „Efficient exact inference in planar Ising models” în Advances in Conference on Neural Information Processing Systems , vol. 21 , presa MIT ,2009( citește online ).
Vezi și tu
Articole similare
linkuri externe
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">