Perpendicularitate

Rectangularitatea (din latinescul per-pendiculum , „ fir cu plumb “) este caracterul ambelor entități geometrice care se intersectează în unghiuri drepte . Perpendicularitatea este o proprietate importantă în geometrie și trigonometrie , o ramură a matematicii bazate pe triunghiuri dreptunghiulare , dotată cu proprietăți particulare datorită celor două segmente perpendiculare ale acestora .

În geometria plană , două linii sunt perpendiculare atunci când se intersectează în unghi drept. Noțiunea de perpendicularitate se extinde la spațiul pentru linii sau plane .

Noțiunile de ortogonalitate și perpendicularitate, deși similare, au propriile lor specificități și nu trebuie confundate.

În geometria plană

În geometria plană euclidiană, două linii non- paralele sunt întotdeauna secante. Când se intersectează în unghi drept (adică patru unghiuri drepte), se spune că sunt perpendiculare. Direcțiile liniilor fiind ortogonale , se spune că liniile sunt ortogonale. Pe de altă parte, două segmente pot avea direcții ortogonale fără a se intersecta. Doar dacă segmentele se intersectează în unghi drept, se va spune că sunt perpendiculare.

În plan, printr-un punct dat, o singură linie trece perpendicular pe o linie dată.

În plan, noțiunile de linii perpendiculare și paralele sunt legate de următoarele proprietăți:

Dacă două linii sunt perpendiculare, orice linie paralelă cu una este perpendiculară pe cealaltă.
Dacă două linii sunt paralele, orice linie perpendiculară pe una este perpendiculară pe cealaltă.
Dacă două linii sunt perpendiculare pe aceeași linie, atunci ele sunt paralele între ele.

Dacă planul este prevăzut cu un sistem de coordonate ortonormale [putem, presupunând că a dobândit teorema lui Pitagora , prin condiția menționată opus în ilustrație, să găsim condiția clasică (ac + bd = 0) astfel încât doi vectori u (a, b) și v (c, d) sunt perpendiculare (spunem și ortogonale)], iar dacă liniile sunt definite prin ecuații și , liniile sunt perpendiculare dacă și numai dacă produsul coeficienților lor de ghidare aa 'este egal cu -1. $y = ax + b$ ${\ displaystyle y = a'x + b '}$

Dacă planul are un sistem de coordonate ortonormale și dacă liniile sunt definite de ecuații și , liniile sunt perpendiculare dacă și numai dacă . ${\ displaystyle ax + by + c = 0}$ ${\ displaystyle a'x + b'y + c '= 0}$ ${\ displaystyle aa '+ bb' = 0}$

Observăm perpendicularitatea cu simbolul ; astfel, indică faptul că segmentul PQ este perpendicular pe segmentul AB. $\ perp$ ${\ displaystyle PQ \ perp AB}$

În spațiul tridimensional

Liniile perpendiculare

Două linii în spațiu sunt perpendiculare dacă și numai dacă se intersectează în unghi drept. În spațiu, liniile non-paralele s-ar putea să nu se intersecteze. Dacă una dintre linii este paralelă cu o linie perpendiculară pe cealaltă, atunci se spune că cele două linii sunt ortogonale . Se va spune că sunt perpendiculare numai dacă sunt secante.

În spațiu, dacă este dată o linie și dacă este dat un punct care nu este situat pe linie, există o singură linie care trece prin punctul dat și perpendicular pe linia dată. Dacă punctul este situat pe linie, există o infinitate de linii care trec prin acest punct și perpendiculare pe linia dată.

În spațiu, noțiunile de paralele și perpendiculare nu mai sunt atât de legate.

Dacă două linii sunt perpendiculare, orice linie paralelă cu una este doar ortogonală cu cealaltă. Va fi perpendiculară pe cealaltă numai dacă o taie.
Dacă două linii sunt paralele, orice linie perpendiculară pe una este doar ortogonală pe cealaltă. Va fi perpendiculară pe cealaltă numai dacă o taie
Două linii pot fi perpendiculare pe aceeași linie fără a fi paralele, este suficient de exemplu să luăm cele trei linii care susțin marginile colțului unui cub .

Linie perpendiculară pe un plan

În spațiu, dacă o linie nu este paralelă cu un plan, aceasta intersectează întotdeauna acest plan. Dacă linia este perpendiculară pe două linii intersectate ale planului, vom spune că linia este perpendiculară pe plan. Linia va fi apoi ortogonală la toate liniile planului. Această proprietate este uneori numită teorema ușii, deoarece explică de ce o ușă se poate întoarce pe balamale dacă axa de rotație este perpendiculară pe podea.

În spațiu, printr-un punct dat, trece doar o linie perpendiculară pe un plan dat și doar un singur plan perpendicular pe o linie dată.

Apoi găsim relații mai interesante pe perpendiculară și paralelă

Dacă o linie este perpendiculară pe un plan, orice linie paralelă cu prima este, de asemenea, perpendiculară pe plan, orice plan paralel cu primul plan este, de asemenea, perpendicular pe linie
Dacă două linii sunt paralele, orice plan perpendicular pe unul este perpendicular pe celălalt. Dacă două planuri sunt paralele, orice linie perpendiculară pe una este perpendiculară pe cealaltă.
Dacă două plane sunt perpendiculare pe aceeași linie, ele sunt paralele. La fel, dacă două linii sunt perpendiculare pe același plan, ele sunt paralele.

Direcția perpendiculară pe o suprafață într-un punct se numește adesea direcția normală față de suprafață , sau altfel ortogonală .

Planuri perpendiculare

Noțiunea de planuri perpendiculare, deși intuitivă, este foarte periculoasă, deoarece practic nu are proprietăți. Pentru a înțelege noțiunea de planuri perpendiculare, trebuie să ne întoarcem la prima definiție a perpendiculului ( linie plumbă ) și la noțiunea de plan vertical și plan orizontal . Un plan orizontal este un plan perpendicular pe direcția liniei plumbului. Un plan vertical este un plan care conține direcția liniei plumbului. Se spune apoi că un plan vertical este perpendicular pe planul orizontal.

Din această primă noțiune se naște următoarea definiție: Un plan este perpendicular pe altul, dacă conține o linie perpendiculară pe al doilea plan. Dovedim că această relație este simetrică.

Nu există nicio noțiune de planuri ortogonale în dimensiunea 3. Două planuri ar fi ortogonale dacă orice direcție din prim-plan ar fi ortogonală față de orice direcție a celui de-al doilea plan, ceea ce este material imposibil.

Trebuie să fim atenți la noțiunea de planuri perpendiculare. De exemplu :

două plane perpendiculare pot conține linii paralele
două planuri perpendiculare pe un al treilea nu sunt neapărat paralele (vezi fețele cubului ).

Cu toate acestea, există încă unele proprietăți

Dacă două planuri sunt perpendiculare, un plan paralel cu unul este perpendicular pe celălalt
Dacă două planuri sunt paralele, un plan perpendicular pe unul este perpendicular pe celălalt.

Noțiune generală a subspaiilor perpendiculare în orice dimensiune

Într-un spațiu euclidian , se spune că două subspații vectoriale sunt ortogonale atunci când orice vector al unuia este ortogonal față de orice vector al celuilalt. Sunt apoi automat în sumă directă . Astfel, două planuri ale spațiului euclidian tridimensional nu pot fi ortogonale.

Se spune că două subspații vectoriale sunt perpendiculare atunci când cele suplimentare ortogonale ale acestora sunt ortogonale. Astfel, două planuri vectoriale ale spațiului tridimensional sunt perpendiculare atunci când liniile lor normale sunt ortogonale.

Note și referințe

Serge Lang, Algebra liniară 1 , interediții, p. 13 și 17