Legea Stefan-Boltzmann

Legea lui Ștefan sau Ștefan - Boltzmann (numit fizicieni Jožef Stefan și Ludwig Boltzmann ) definește relația dintre radiația termică și temperatura unui obiect privit ca un corp negru . Se stabilește că ieșirea energetică a unui corp în wați pe metru pătrat ( puterea totală radiată pe unitate de suprafață în jumătatea liberă a unui corp negru) este legată de temperatura sa exprimată în kelvini prin relația: $T$

{\ displaystyle \ M = \ sigma \, \ epsilon \, T ^ {4}}

unde este constanta Stefan-Boltzmann , numită și constanta lui Stefan și unde emisivitatea (fluxul radiativ emis de un element de suprafață la o temperatură dată, legată de valoarea de referință care este fluxul emis de un corp negru la aceeași temperatură) este un coeficient fără unitate, între 0 și 1, și care este unitate pentru un corp negru . ${\ displaystyle \ sigma \ approx 5 {,} 670 \, 374 \ times 10 ^ {- 8} \ \ mathrm {W} \ cdot \ mathrm {m} ^ {- 2} \ cdot \ mathrm {K} ^ { -4}}$ $\ epsilon$

În schimb, această lege permite un calcul al temperaturii din fluxul de energie pe unitate de suprafață:

{\ displaystyle T = ({\ frac {\ M} {\ sigma \, \ epsilon \,}}) ^ {0.25}}

Istorie

Legea lui Stefan-Boltzmann a fost descoperită experimental de Joseph Stefan ( 1835 - 1893 ) în 1879 din datele experimentale de la John Tyndall ( 1820 - 1893 ). Bazele teoretice au fost puse în cadrul termodinamicii de către doctorandul lui Stefan Ludwig Boltzmann ( 1844 - 1906 ), în 1884 .

Această lege este singura lege fizică numită după un fizician sloven .

Ștefan a publicat această lege pe 20 martie în articol über die Beziehung zwischen der Wärmestrahlung und der Temperatur ( germană pentru Pe relația dintre temperatură și radiația termică ) în Buletinelor din sesiunile de Academia de Științe din Viena .

Derivarea din legea lui Planck

Legea lui Stefan apare acum a posteriori ca o aplicație a legii lui Planck , care face posibilă determinarea luminanței totale a energiei :

{\ displaystyle L = \ int _ {0} ^ {\ infty} {L _ {\ lambda} \, \ mathrm {d} \ lambda}}

Luminozitatea într-o direcție dată fiind, în plus, ponderată de cosinusul unghiului față de normal la suprafața emitentă, ieșirea energetică a corpului negru este dată de legea lui Lambert :

{\ displaystyle M = \ pi \, L}

Demonstrație

Plecăm de la expresia densității spectrale emise de un corp negru ( legea lui Planck ). Lucrăm în termeni de pulsație . Dacă u este energia internă pe unitate de volum ( ), densitatea spectrală este energia fotonilor pulsatori între și : $\omega$ $u = {\ frac {\ partial U} {\ partial V}}$ $\omega$ $\ omega + d \ omega$

u _ {{\ omega}} = {\ frac {\ partial u} {\ partial \ omega}} = {\ frac {\ hbar} {c ^ {3} \ pi ^ {2}}} {\ frac { \ omega ^ {3}} {\ exp \ left ({\ frac {\ hbar \ omega} {k_ {B} T}} \ right) -1}}

Notă: dacă vrem să lucrăm în lungime de undă, putem scrie asta .

u _ {{\ lambda}} = {\ frac {\ partial u} {\ partial \ lambda}} = {\ frac {\ partial u} {\ partial \ omega}} {\ frac {d \ omega} {d \ lambda}}

Într-adevăr, prin urmare și

\ omega = {\ frac {2 \ pi c} {\ lambda}}

d \ omega = -2 \ pi c {\ frac {d \ lambda} {\ lambda ^ {2}}}

u _ {{\ lambda}} = - {\ frac {8 \ pi hc} {\ lambda ^ {5}}} {\ frac {1} {e ^ {{\ frac {hc} {\ lambda k_ { B} T}}}} - 1}}

În restul articolului, vom lucra doar în pulsație, știind că toate calculele pot fi efectuate folosind

\ lambda = 2 \ pi {\ frac {c} {\ omega}}

Notatia ħ ("h bar") desemneaza constanta redusa a lui Planck .

Acum căutăm să exprimăm puterea totală de suprafață (pentru toate impulsurile) emise de un corp negru . Arătăm că, dacă este puterea emisă de o unitate de suprafață a unui corp negru, avem . Puterea totală fiind obținută prin însumarea tuturor acestor puteri pentru fiecare impuls, căutăm să calculăm Prin efectuarea schimbării variabilei , obținem $\ varphi _ {e}$ ${\ frac {d \ varphi _ {e}} {d \ omega}} = {\ frac {c} {4}} u _ {{\ omega}}$ $\ int _ {{0}} ^ {{\ infty}} {\ frac {\ hbar} {4 \ pi ^ {2} c ^ {2}}} {\ frac {\ omega ^ {3}} {e ^ {{{\ frac {\ hbar \ omega} {k_ {B} T}}}} - 1}} \, d \ omega$ $x = {\ frac {\ hbar \ omega} {k_ {B} T}}$

P _ {{Area}} = {\ frac {(k_ {B} T) ^ {4}} {4 \ pi ^ {2} c ^ {2} \ hbar ^ {3}}} \ int _ {{ 0}} ^ {{\ infty}} {\ frac {x ^ {3}} {e ^ {x} -1}} \, dx = \ sigma T ^ {4}

cu . ${\ displaystyle \ sigma = {\ frac {k_ {B} ^ {4}} {4 \ pi ^ {2} c ^ {2} \ hbar ^ {3}}} {\ frac {\ pi ^ {4} } {15}} = {\ frac {\ pi ^ {2} k_ {B} ^ {4}} {60c ^ {2} \ hbar ^ {3}}} \ approx 5 {,} 670 \, 374 \ ori 10 ^ {- 8} \ \ mathrm {W} \ cdot \ mathrm {m} ^ {- 2} \ cdot \ mathrm {K} ^ {- 4}}$

Aplicații notabile

Temperatura soarelui

Datorită acestei legi, Ștefan a determinat și temperatura suprafeței Soarelui . El învață, din datele lui Jacques-Louis Soret ( 1827 - 1890 ), că fluxul de energie al Soarelui este de 29 de ori mai mare decât cel al unei benzi metalice încălzite. Soret așezase o lamelă circulară în fața dispozitivului său de măsurare, la o astfel de distanță încât apărea în același unghi ca Soarele. Sa estimat temperatura lamelei între 1900 ° C și 2000 ° C .

Stefan estimează că o treime din fluxul energetic al Soarelui este absorbit de atmosfera Pământului (măsurarea exactă a absorbției atmosferice nu a fost efectuată până în 1888 și 1904 ), așa că corectează acest raport cu un factor de 3/2: 29 × 3/2 = 43,5. Stefan folosește valoarea medie a măsurătorilor de temperatură pentru temperatura lamelei Soret, adică 1.950 ° C , care corespunde unei temperaturi absolute de 2223 K.

Aplicarea legii sale conduce la o temperatură a Soarelui egală cu 43,5 0,25 sau 2,568 ori mai mare decât temperatura lamelei; Astfel, Stefan obține o valoare de 5709 K (5436 ° C) (valoarea este în prezent 5780 K, 5507 ° C). Aceasta a fost prima estimare serioasă a temperaturii Soarelui: valorile prezentate anterior variau între 1.800 ° C și 13.000.000 ° C din cauza relațiilor inadecvate radiație-temperatură.

Temperatura de echilibru pe suprafața unei planete

Temperatura de echilibru de pe suprafața unei planete este temperatura teoretică a unei planete considerate ca fiind un corp negru și a cărei singură sursă de căldură ar fi steaua părinte, odată ce radiația s-a reflectat pur și simplu din cauza albedo . În acest model, „suprafața” nu este solul, ci locul (în atmosferă ) care, văzut din spațiu, emite radiația planetei. Prin urmare, temperatura solului va fi mai mare datorită „ efectului de seră ”, dar nu este luată în considerare.

Unii autori folosesc alți termeni, cum ar fi temperatura echivalentă a corpului negru a unei planete sau temperatura radiantă efectivă a unei planete. Concepte similare includ temperatura medie globală și temperatura globală medie a aerului la suprafață, care includ efectele efectului de seră .

Raza stelelor

Cu legea lui Stefan-Boltzmann, astronomii pot estima raza stelelor a căror distanță (și, prin urmare, luminozitatea absolută) este cunoscută: într-adevăr, prin aproximarea spectrului de emisie al unei stele de cel al unui corp negru la o anumită temperatură T, luminozitatea unui steaua este scrisă: $L$

L = 4 \ pi \ sigma R ^ {2} T ^ {4}

unde, L este luminozitatea, este constanta Stefan-Boltzmann (sau constanta lui Stefan), R raza stelei si T temperatura acesteia . Prin urmare, munca astronomului va consta în evaluarea distanței și temperaturii stelei. Rețineți, totuși, că spectrul real al unei stele diferă în general mai mult sau mai puțin semnificativ de spectrul de emisie al unui corp negru. Prin urmare, temperatura este aici o temperatură eficientă: cea care permite, cu ajutorul unui spectru al corpului negru, să aproximeze cel mai bine spectrul real al stelei. Această metodă oferă mai multe ordine de mărime decât o măsurare precisă a razelor stelare. $\ sigma$

Mai mult, această lege este respectată și în termodinamica găurilor negre pentru radiația Hawking .

Articole similare

Note și referințe

Denumire recomandată de Comisia Internațională pentru Iluminare (fostă emisie de energie ).
Simbolul ħ corespunde caracterului Unicode U + 210F
Soret, J.-L .. "Despre temperatura Soarelui (extras dintr-o scrisoare din MJ-L. Soret către MH Sainte-Claire Deville)." Analele științifice ale École Normale Supérieure 3 (1874): 435-439. < http://eudml.org/doc/80786 >.
(în) JM Wallace și PV Hobbs, Atmospheric Science. Un sondaj introductiv , presa academică ,2006( ISBN 9-780-12732-951-2 )
(în) R. Stull, Meteorology for Scientists and Engineers , Univsity of British Columbia,2011( ISBN 978-0-88865-178-5 , citit online )