Simetrizarea Steiner

În geometria afină , simetrizarea lui Steiner este o geometrie care vizează înlocuirea oricărei părți a unui spațiu afin cu o parte care admite proprietăți de simetrie . Această transformare a fost utilizată pentru a demonstra unele inegalități izoperimetrice .

Este numit în onoarea lui Jakob Steiner .

Definiție

Într - un spațiu afin sau H un hiperplan și $δ$ o direcție care nu paralelă cu H . Fie K o parte a spațiului afin. Apoi definim simetrizarea Steiner prin: ${\ displaystyle st_ {H, \ delta} (K)}$

pentru orice linie D paralelă cu $δ$ :

dacă K ∩ D = ∅ atunci ${\ displaystyle st_ {H, \ delta} (K) \ cap D = \ varnothing,}$
dacă K ∩ D ≠ ∅ , atunci este segmentul transportat de D , mediul situat în H și în lungime, D , egal cu cel al K ∩ D . ${\ displaystyle st_ {H, \ delta} (K) \ cap D}$

Consecințe

Putem arăta că simetrizarea lui Steiner nu este continuă pentru distanța Hausdorff .
Pentru orice parte K , ${\ displaystyle st_ {H, \ delta} (st_ {H, \ delta} (K)) = st_ {H, \ delta} (K)}$
Simetrizarea lui Steiner păstrează volumul și nu mărește diametrul .
De asemenea, păstrează convexitatea .

Inegalitatea izodiametrică Bieberbach :

Orice K este compact într-un spațiu euclidian de dimensiunea n , avem

{\ displaystyle V (K) \ leq 2 ^ {- n} \ beta (n) (diam (K)) ^ {n} ~,}

unde denotă volumul mingii unitare în spațiul considerat. ${\ displaystyle \ beta (n)}$

Surse

Marcel Berger , Geometrie [ detaliu ediții ], Volumul 1
(de) Jakob Steiner , „ Einfacher Beweis der isoperimetrischen Hauptsätze ” , J. queen angew Math. , vol. 18,1838, p. 281-296 ( citiți online )