În câmpul matematic al teoriei K-algebrice , grupul Steinberg St ( A ) al unui inel unitar A este un grup definit de generatori și relații , din anumite relații verificate prin matrici elementare de tranziții . Acesta poartă numele lui Robert Steinberg și este legat de grupurile timpurii ale teoriei K, în special K 2 și K 3 .
Matricile elementare de transvecție e pq (λ) pentru p ≠ q - cu 1s pe diagonală, un coeficient λ în poziție ( p , q ) și 0s peste tot - satisfac următoarele relații, numite relații Steinberg :
Grupul Steinberg „stabil” St ( A ) este definit de generatoarele x ij (λ) ( i , j ∈ ℕ *, i ≠ j , λ ∈ A ), sub rezerva acestor relații. Este limita inductivă a grupurilor Steinberg „instabile” St n ( A ), definite în același mod, dar pentru i , j ≤ n .
Grupul liniar general „stabil” GL ( A ) este definit ca unirea crescândă a GL ( n , A ), prin identificarea oricărei matrice pătrate M de dimensiunea n cu matricea diagonală prin blocurile diag ( M , 1), de dimensiune n + 1. Prin construcție, există un morfism unic al grupurilor φ: St ( A ) → GL ( A ) care trimite x ij (λ) pe e ij (λ).
Conform lemei lui Whitehead , imaginea lui φ este grupul derivat din GL ( A ), adică matricile elementare de transvecție generează , în GL ( A ), același subgrup ca întrerupătoarele . Acest subgrup este notat E ( A ).
Gruparea K 1 ( A ) este definit ca abelianized GL ( A ), adică adică coeficientul GL ( A ) de către ei subgrup E derivată ( A ). Cu alte cuvinte, este nucleul lui φ.
Milnor a definit K 2 ( A ) ca centrul lui St ( A ).
Este, de asemenea, nucleul morfismului φ: St ( A ) → GL ( A ), astfel încât să avem o secvență exactă
1 → K 2 ( A ) → St ( A ) → E ( A ) → 1.Această secvență este de fapt extensia centrală universală a grupului perfect E ( A ). Cu alte cuvinte, K 2 ( A ) este multiplicatorul Schur al lui E ( A ). Prin urmare, este scris și ca grup de omologie : K 2 ( A ) = H 2 (E ( A ), ℤ).
Gersten a demonstrat că K 3 ( A ) = H 3 (St ( A ), ℤ).