Extinderea grupurilor

În matematică, în special în teoria grupurilor , o extindere a grupului este un mod de a descrie un grup în termeni de două grupuri „mai mici”. Mai exact, o extensie a unui grup Q de către un grup N este un grup G care se încadrează într-o succesiune scurtă exactă

{\ displaystyle 1 \ to N \ to G \ to Q \ to 1.}

Cu alte cuvinte: G este o extensie a lui Q cu N dacă (până la izomorfisme ) N este un subgrup normal al lui G și Q este grupul coeficient G / N

Concepte conexe

Extensia se numește centrală în cazul în care N este inclusă în centrul de G .
Extensia trivială a Q de N este una care corespunde produsul direct N × Q .
O secțiune a extensiei ${\ displaystyle 1 {\ xrightarrow {}} N {\ xrightarrow {i}} G {\ xrightarrow {p}} Q {\ xrightarrow {}} 1}$ este un morfism ${\ displaystyle s: Q \ to G \ quad {\ text {cum ar fi}} \ quad p \ circ s = \ mathrm {id} _ {Q}.}$ Se spune că extensia este împărțită . Extensiile împărțite de la Q cu N sunt cele care corespund produselor semidirecte . ${\ displaystyle N \ rtimes Q}$
Un morfism al extensiilor ${\ displaystyle {\ text {de}} \ quad 1 {\ xrightarrow {}} N {\ xrightarrow {i}} G {\ xrightarrow {p}} Q {\ xrightarrow {}} 1 \ quad {\ text {în }} \ quad 1 {\ xrightarrow {}} N {\ xrightarrow {i '}} G' {\ xrightarrow {p '}} Q {\ xrightarrow {}} 1}$ este un morfism ${\ displaystyle \ varphi: G \ to G '}$ precum diagrama asociată ${\ displaystyle {\ begin {matrix} &&& G &&& \\ && {\ overset {i} {\ nearrow}} && {\ overset {p} {\ searrow}} && \\ N &&& \ downarrow ^ {\ varphi} &&& Q \\ && {\ underset {i '} {\ searrow}} && {\ underset {p'} {\ nearrow}} && \\ &&& G '&&& \ end {matrix}}}$ naveta , adică astfel încât ${\ displaystyle \ varphi \ circ i = i '\ quad {\ text {and}} \ quad p' \ circ \ varphi = p.}$ Un astfel de morfism este întotdeauna un izomorfism. $\ varphi$

Referinţă

N. Bourbaki , Elemente de matematică , Algebră , cap. I, § 6

Articole similare