Fracția unitară

O fracție unitară este un număr rațional scris ca o fracție în care numărătorul este 1 și numitorul este un număr natural diferit de zero. O fracție unitară este, așadar, inversa unui număr întreg pozitiv, 1 / n , cum ar fi: 1/1, 1/2, 1/3, 1/42 etc.

Aritmetica elementară

Înmulțind oricare două fracții unitare rezultă o altă fracție unitară:

1X×1y=1Xy{\ displaystyle {\ frac {1} {x}} \ times {\ frac {1} {y}} = {\ frac {1} {xy}}}

Pe de altă parte, adăugarea , scăderea sau împărțirea a două fracții unitare produce un rezultat care în general nu este o fracție unitară:

1X+1y=X+yXy{\ displaystyle {\ frac {1} {x}} + {\ frac {1} {y}} = {\ frac {x + y} {xy}}}

• • 1/2 + 1/5 = 7/10
  • 1/3 + 1/6 = 1/2

1X-1y=y-XXy{\ displaystyle {\ frac {1} {x}} - {\ frac {1} {y}} = {\ frac {yx} {xy}}}

• • 1/2 - 1/5 = 3/10
  • 1/3 - 1/6 = 1/6

1X÷1y=yX{\ displaystyle {\ frac {1} {x}} \ div {\ frac {1} {y}} = {\ frac {y} {x}}}

Aritmetica modulară

Fracțiile unitare joacă un rol important în aritmetica modulară , deoarece pot fi folosite pentru a reduce diviziunea modulară atunci când se calculează GCD . Mai exact, să presupunem că vrem să realizăm divizii cu o valoare x , modulo y . Pentru a efectua împărțirea cu x , modulul y , x și y bine definit trebuie să fie coprimă . Apoi, folosind algoritmul extins al lui Euclid pentru GCD , putem găsi a și b astfel încât

laX+by=1,{\ displaystyle \ displaystyle ax + by = 1,}

din care, deducem că

laX≡1(mody),{\ displaystyle \ displaystyle ax \ equiv 1 {\ pmod {y}},}

sau echivalent

la≡1X(mody){\ displaystyle a \ equiv {\ frac {1} {x}} {\ pmod {y}} \,}.

Sume finite ale fracțiilor unitare

Orice număr rațional pozitiv poate fi scris ca suma fracțiilor unitare distincte. De exemplu :

45=12+14+120=13+15+16+110.{\ displaystyle {\ frac {4} {5}} = {\ frac {1} {2}} + {\ frac {1} {4}} + {\ frac {1} {20}} = {\ frac {1} {3}} + {\ frac {1} {5}} + {\ frac {1} {6}} + {\ frac {1} {10}}.}

Matematicienii egipteni antici foloseau sumele fracțiilor unitare distincte în notația lor pentru numere raționale mai generale, astfel încât aceste sume sunt adesea denumite fracții egiptene . În zilele noastre, există încă interes în analiza metodelor utilizate de antici pentru a alege dintre reprezentările posibile ale unui număr mixt și pentru a calcula cu astfel de reprezentări. Subiectul fracțiilor egiptene este, de asemenea, în studiu în teoria modernă a numerelor ; de exemplu, conjectura Erdős-Graham și conjectura Erdős-Straus privesc sumele fracțiilor unitare, precum și definiția numerelor armonice ale minereului .

În teoria grupelor geometrice , grupurile de triunghiuri  (en) sunt clasificate în caz euclidian, sferic și hiperbolic, în funcție de faptul dacă sunt asociate fracțiile unitare sunt egale cu, mai mari sau mai mici decât, respectiv.

Seria de fracții unitare

Multe serii infinite cunoscute au termeni care sunt fracții unitare. Acestea includ:

• Seria armonică , suma tuturor fracțiilor unitare pozitive. Această sumă divergă și

11+12+13+⋯+1nu-loge(nu){\ displaystyle {\ frac {1} {1}} + {\ frac {1} {2}} + {\ frac {1} {3}} + \ cdots + {\ frac {1} {n}} - jurnal_ {e} (n)}

tinde spre constanta Euler-Mascheroni când tinde spre infinit. γ{\ displaystyle \ gamma \,}nu{\ displaystyle n}

• Problema de la Basel se referă la suma pătratelor fracțiilor unitare, care converg cătreπ26{\ displaystyle {\ frac {\ pi ^ {2}} {6}} \,}
• Apery constantă este suma fracțiunilor unitare cubed.
• Geometric serie binar, care a adăugat la 2, este un alt exemplu al unei serii compuse din fracții unitare.

Matrici de fracții unitare

Matricea Hilbert este matricea cu elementele

Beu,j=1eu+j-1{\ displaystyle B_ {i, j} = {\ frac {1} {i + j-1}} \,}.

Are proprietatea neobișnuită de a avea toate elementele din matricea sa inversă ca numere întregi. În mod similar, Richardson a definit o matrice cu elementele

VSeu,j=1Feu+j-1,{\ displaystyle C_ {i, j} = {\ frac {1} {F_ {i + j-1}}},}

unde denotă I- lea număr Fibonacci . El numește această matrice matricea Filbert, are aceeași proprietate de a avea o matrice inversă în numere întregi. Feu{\ displaystyle F_ {i} \,}

În probabilitate și statistici

Într-o distribuție uniformă pe un spațiu discret , toate probabilitățile sunt fracții unitare egale. Datorită principiului indiferenței  (în) , probabilitatea de acest tip apare frecvent în calculele statistice. Mai mult, legea Zipf stabilește că, pentru multe fenomene observate care implică selectarea articolelor dintr-o secvență ordonată, probabilitatea ca al n- lea articol să fie selectat este proporțională cu fracția unitară 1 / n .

În fizică

Nivelurile de energie ale modelului Bohr ale orbitelor de electroni într-un atom de hidrogen sunt proporționale cu pătratul fracțiilor unitare și, prin urmare, nivelurile de energie ale fotonilor care pot fi emise sau absorbite de un atom de hidrogen conform acestui model sunt în mod similar proporționale cu diferența a două dintre aceste fracții. S-a crezut de ceva timp că constanta structurii fine a fost exact o fracțiune unitară, 1/137, dar acest lucru nu este adevărat.

Vezi și tu

Articolul despre evoluția sumelor fracțiilor unitare sau „egiptean” .

Note și referințe

(fr) Acest articol este preluat parțial sau în întregime din articolul Wikipedia în limba engleză intitulat „  Fracțiunea unității  ” ( vezi lista autorilor ) . <img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">