Numărul mediu armonic întreg
În aritmetică , un număr mediu armonic întreg este un număr întreg strict pozitiv ai cărui divizori pozitivi au un număr întreg ca medie armonică . Cu alte cuvinte, dacă a 1 , a 2 , ..., a n sunt divizorii numărului,
nu1la1+1la2+⋯+1lanu=nu∑eu=1nu1laeu{\ displaystyle {\ frac {n} {{\ frac {1} {a_ {1}}} + {\ frac {1} {a_ {2}}} + \ cdots + {\ frac {1} {a_ { n}}}}} = {\ frac {n} {\ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {1} {a_ {i}}}}}![{\ frac n {{\ frac 1 {a_ {1}}} + {\ frac 1 {a_ {2}}} + \ cdots + {\ frac 1 {a_ {n}}}}} = {\ frac n {\ sum _ {{i = 1}} ^ {n} {\ frac 1 {a_ {i}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89ab1a11391e12f04695e8e8475291ea26402196)
trebuie să fie un număr întreg. Aceste numere au fost definite de Øystein Ore în 1948 și apar în literatura matematică engleză sub diferite nume, în special, numărul divizorului armonic , numerele minereului (armonic) , numerele armonice , numerele cu medie armonică integrală ; nu pare să existe nicio terminologie dovedită în franceză.
Primele douăsprezece numere medii armonice întregi sunt:
1 , 6 , 28 , 140 , 270 , 496 , 672, 1638, 2 970, 6 200, 8 128 și 8 190 (continuare A001599 a OEIS ).
De exemplu, numărul 140 are pentru divizorii 1, 2, 4, 5, 7, 10, 14, 20, 28, 35, 70 și 140. Media lor armonică este
121+12+14+15+17+110+114+120+128+135+170+1140{\ displaystyle {\ frac {12} {1 + {\ frac {1} {2}} + {\ frac {1} {4}} + {\ frac {1} {5}} + {\ frac {1 } {7}} + {\ frac {1} {10}} + {\ frac {1} {14}} + {\ frac {1} {20}} + {\ frac {1} {28}} + {\ frac {1} {35}} + {\ frac {1} {70}} + {\ frac {1} {140}}}}}![{\ frac {12} {1 + {\ frac 12} + {\ frac 14} + {\ frac 15} + {\ frac 17} + {\ frac 1 {10}} + {\ frac 1 {14}} + {\ frac 1 {20}} + {\ frac 1 {28}} + {\ frac 1 {35}} + {\ frac 1 {70}} + {\ frac 1 {140}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d719d364c5397215a68e66ad127f4e00505283b)
deci este egal cu 5, un număr întreg.
De asemenea, 496 are divizori 1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124, 248 și 496, a căror medie armonică este 5.
Patru dintre numerele enumerate (6, 28, 496, 8128) sunt, de asemenea, numere perfecte . Minereul a dovedit că toate numerele perfecte sunt de acest tip. Ca numere perfecte, numere medii întreg armonice tind să fie chiar și numere , cel puțin în intervalele observate. Minereul a conjecturat, de fapt, că, în afară de 1, nu există numere impare între medii armonice (o dovadă a acestei conjecturi ar duce la conjectura clasică că nu există numere perfecte impare).
În 1972 , William Mills a demonstrat că, cu excepția 1, nu există un număr impar cu o medie armonică întreagă ai cărei factori primi sunt mai mici de 10 7 . În 2007, Chishiki, Du - te și Ohno a dovedit că pentru orice număr întreg M , există cel mult un număr finit de numere impare medii armonice pe deplin că toți factorii principali (un număr fix apropiate) sunt delimitate de M .
Referințe
(ro) Acest articol este preluat parțial sau în întregime din articolul din Wikipedia
engleză intitulat
„ Număr divizor armonic ” (a se vedea lista autorilor ) .
-
(în) Minereu Øystein , „ Despre mediile divizorilor unui număr ” , Amer. Matematica. Lunar , vol. 55,1948, p. 615-619 ( citiți online ).
-
A se vedea, de exemplu, articolul corespunzător din Wikipedia în engleză ; (ro) M. Garcia, „Despre numere cu medie armonică integrală”, Amer. Matematica. Lunar , vol. 61, 1954, p. 89-96 ; (ro) GL Cohen și Deng Moujie, „Despre o generalizare a numerelor armonice ale minereului”, Nieuw. Arc. Wisk. , zbor. 4, nr. 16, 1998, p. 161-172 .
-
(în) WH Mills, "We conjecture of Ore", Proceedings of the 1972 Number Theory Conference , University of Colorado, Boulder, 1972, p. 142-146 .
-
(în) Y Chisiki, T. Goto și Y. Ohno, „Pe cel mai mare divizor prim al unui număr armonic impar”, Math. Comp. , zbor. 76, 2007, p. 1577-1587 .
Vezi și tu
Articol asociat
Număr semi-perfect primitiv
linkuri externe
- (ro) Graeme L. Cohen , „ Numere ale căror divizori pozitivi au o medie armonică integrală mică ” , Math. Comp. , vol. 66,1997, p. 883-891 ( citiți online )
- (ro) Joseph B. Muskat , „ Despre divizorii numerelor perfecte impare ” , Math. Comp. , vol. 20,1996, p. 141-144 ( citește online )
- (ro) Eric W. Weisstein , „ Harmonic Divisor Number ” , pe MathWorld
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">