Funcția ușii

Funcția de poartă , în general notată cu Π , este funcția indicator a intervalului real [–1/2, 1/2], adică funcția matematică prin care un număr real are o imagine zero, cu excepția s 'este între –1/2 și 1/2, caz în care imaginea sa este 1. Graficul său are o formă similară cu cea a unei uși , de unde și numele său.

Definiție

Funcția de poartă , definită pe numerele reale și cu valori în , este definită de: $\ Pi$ $\ {0,1 \}$

{\ displaystyle \ forall t \ in \ mathbb {R} \ quad \ Pi (t) = {\ begin {cases} 1 & {\ text {si}} - 1/2 \ leq t \ leq 1/2 \\ 0 și {\ text {altfel.}} \ End {cases}}}

Prin generalizare, numim și funcție de poartă orice funcție dedusă prin traducerea și / sau extinderea funcției definite mai sus. Evaluările variază.

Funcția de poartă poate fi exprimată folosind funcția Heaviside prin:

{\ displaystyle \ forall t \ in \ mathbb {R} \ quad \ Pi (t) = H \ left (t + {\ frac {1} {2}} \ right) -H \ left (t - {\ frac {1} {2}} \ dreapta)}

Putem traduce funcția de poartă prin adăugarea sau scăderea unui factor de traducere din t (notă: scăderea induce o întârziere și adunarea induce un avans față de 0).

Putem extinde poarta de la [-1/2, 1/2] la [- a / 2, a / 2] prin împărțirea t de o în expresia pentru poarta original.

Transformată Fourier

Transformata Fourier a funcției de poarta definită mai sus este o condiție sine cardinal :

{\ displaystyle {\ mathcal {F}} (\ Pi) (f) = \ mathrm {sinc} (\ pi f)}

Notă

Două demonstrații pot fi găsite în acest exercițiu corectat pe Wikiversitate .

Vezi și tu