Spațiu regulat

În matematică , un spațiu regulat este un spațiu topologic care îndeplinește următoarele două condiții de separare :

• T 2  : spațiul este separat  ;
• T 3  : putem separa un punct x și un punct închis care nu conține x prin două deschideri disjuncte .

Proprietatea T 3

Fie E un spațiu topologic (nu neapărat separat). Următoarele propoziții sunt echivalente:

• E este T 3  ;
• se poate separa un punct x și unul închis care nu conține x prin două deschideri de aderențe disjuncte;
• fiecare punct x admite o bază de vecinătăți închise (cu alte cuvinte: fiecare deschidere care conține x conține o vecinătate închisă de x );
• totul închis este intersecția cartierelor sale închise.

Topologia grosieră (pe orice set) este T 3 .

Proprietatea T 3 este (la fel ca T 2 ) păstrată de subspatii și de produse .

Spațiu complet regulat

Se spune că un spațiu topologic este complet regulat dacă poate fi standardizat și separat. Orice spațiu complet regulat este regulat, deoarece un spațiu X este uniformizabil dacă și numai dacă pentru orice punct x al lui X și orice F închis al lui X care nu conține x , există o funcție continuă a lui X în segmentul [0, 1] egal cu 0 în x și unul pe F .

De exemplu, orice grup topologic separat este complet regulat. În spațiile normale și spații local compacte sunt complet regulate.

Note și referințe

1. N. Bourbaki , Topologie generală, capitolele 1-4 , Berlin, Springer ,2007( 1 st  ed. 1971), 376  p. ( ISBN  978-3-540-33936-6 , citit online ) , p.  I.56.
2. Sau pur și simplu T 0 și T 3 , deoarece T 0 ∧T 3 ⇒ T 2 .
3. (în) „  Un spațiu topologic este regulat dacă și numai dacă orice set închis Z este intersecția cartierelor închise ict?  » , Pe math.stackexchange .
4. N. Bourbaki , Topologie generală, capitolele 5-10 , Berlin, Heidelberg, Springer,2007( 1 st  ed. 1974), 336  p. ( ISBN  978-3-540-34486-5 , citit online ) , p.  IX.8.

Articol asociat

• Spațiu semiregular  (în)