Spațiul reciproc

În fizică , folosim adesea spații abstracte pentru a caracteriza fenomenele, acestea sunt spații de fază .

În cazul undelor , spațiul de fază este spațiul vectorilor de undă . O undă plană și monocromatică este caracterizată în întregime de vectorul său de undă. Cu toate acestea, împrăștierea Rayleigh transformă o undă plană monocromatică într-o sumă de unde plane monocromatice; amplitudinea difuzată în funcție de un vector de undă dat este produsul amplitudinii incidente de o funcție a vectorului de undă : $\ vec {K}$ ${\ displaystyle \ psi _ {0}}$ $\ vec {K}$

${\ displaystyle \ psi _ {\ vec {K}} = \ psi _ {0} F ({\ vec {K}})}$

unde corespunde transformatei Fourier 3D a obiectului care difractează unda (vezi teoria difracției pe un cristal ). $F$

Din punct de vedere matematic, vectorii de undă au specificitatea de a fi vectorii proprii ai transformărilor liniare, omogene și continue (care pot fi formulați folosind un produs de convoluție ). Prin urmare, soluția multor probleme fizice poate fi scrisă ca o sumă de unde plane monocromatice.

Dacă operațiile pe vectorii de undă nu au o traducere imediată în spațiul obișnuit (este o reprezentare în spațiul frecvențelor spațiale), rolul său în fizică este esențial. Spațiul de fază are atunci o corespondență cu spațiul direct, vorbim de spațiu reciproc .

Prin relațiile lui Planck , spațiul vectorilor de undă este spațiul vectorilor de impuls și reprezentarea în spațiul reciproc este duală cu cea din spațiul convențional . Spațiul reciproc corespunde unei reprezentări ondulate a obiectelor (frecvență), duală a reprezentării lor corpusculare (spațiale). Celebrul principiu de incertitudine al lui Heisenberg este expresia fizică a dualității legăturii dintre cele două reprezentări. $\ vec {K}$ ${\ displaystyle (E, {\ vec {K}})}$ ${\ displaystyle (t, x, y, z)}$

Un punct remarcabil este că un obiect de rețea de cristal este, de asemenea, un rețea din punctul de vedere al undei. Vorbim apoi de o rețea reciprocă . Spațiul reciproc este astfel frecvent utilizat în cristalografie și fizica în stare solidă , precum și în difracție în domeniul optic .

Vectorul undei

Faza unui val variază în funcție de locul și timpul considerat.

{\ displaystyle \ psi ({\ vec {r}}, t) = \ psi _ {0} \ exp {\ Big (} i {\ big (} \ omega t + \ varphi ({\ vec {r}} ) + \ varphi _ {0} {\ big)} {\ Big)}}

Pentru a simplifica, se ia nul la originea mărcii de referință. Termenul spațial este exprimat sub forma unui produs cu puncte : $\ varphi _ {0}$ $O$

{\ displaystyle \ varphi ({\ vec {r}}) = - {\ vec {k}} \ cdot {\ vec {r}}}

unde este vectorul care leagă originea ( ) de punctul considerat. Norma lui este (în rad · m -1 ), fiind lungimea de undă . $\ vec {r}$ $O$ $\ varphi = 0$ ${\ vec {k}}$ ${\ frac {2 \ pi} {\ lambda}}$ $\ lambda$

„Motivul existenței” vectorului de undă este produsul punct. Dacă vom scrie în jos funcția : ${\ displaystyle f _ {\ vec {k}}}$

{\ displaystyle f _ {\ vec {k}} ({\ vec {r}}) = {\ vec {k}} \ cdot {\ vec {r}},}

vedem că această funcție este o formă liniară ; mulțimea acestor forme liniare este un spațiu vectorial izomorf pentru spațiul de fază. De fapt, spațiul de fază este un spațiu dual .

Din punct de vedere fizic, vectorul de undă corespunde unei descrieri de undă a unui obiect (undă plană monocromatică) în timp ce vectorul de poziție corespunde unei descrieri corpusculare. Conform principiului incertitudinii lui Heisenberg, cele două descrieri sunt strâns legate și un obiect real poate fi descris aproximativ aproximativ de unul sau de altul, deoarece nu este nici monocromatic, nici perfect localizat. Numai funcția de undă descrie complet obiectul, indiferent de baza utilizată (frecvență sau spațială). ${\ vec {k}}$ $\ vec {r}$

Răspândirea Rayleigh și principiul Huygens al unei unde

Spațiul reciproc este util numai atunci când se ia în considerare o undă monocromatică . Această undă este reprezentată de un singur vector . ${\ vec {k}}$

Când această undă interacționează cu o particulă , poate fi împrăștiată elastic, prin împrăștiere Rayleigh . În general, pentru o undă plană , se poate considera în orice moment o difuzie izotropă conform principiului Huygens .

Vectorii împrăștiați au același standard, dar o direcție diferită; în spațiul reciproc, extremitatea lor formează o sferă de rază . Ne interesează doar o direcție de difuzie la un moment dat, deci un singur vector . ${\ displaystyle {\ vec {k '}}}$ ${\ vec {k}}$ ${\ displaystyle k = || {\ vec {k}} ||}$ ${\ displaystyle {\ vec {k '}}}$

Luați în considerare un centru de difuzare situat în . Schimbarea de fază spațială în raport cu originea este: ${\ displaystyle {\ vec {r_ {0}}}}$

{\ displaystyle \ varphi _ {1} ({\ vec {r_ {0}}}) = - {\ vec {k}} \ cdot {\ vec {r_ {0}}}.}

Dacă ne interesează schimbarea de fază a undei împrăștiate într-un punct , schimbarea de fază spațială între sursă și punct este egală cu: $\ vec {r}$ ${\ displaystyle {\ vec {r_ {0}}}}$ $\ vec {r}$

{\ displaystyle \ varphi _ {2} ({\ vec {r}}) = - {\ vec {k '}} \ cdot ({\ vec {r}} - {\ vec {r_ {0}}}) }

de când valul a parcurs o cale . Prin urmare, deplasarea totală de fază merită: ${\ displaystyle {\ vec {r}} - {\ vec {r_ {0}}}}$ $\ vec {r}$

{\ displaystyle \ varphi _ {1} ({\ vec {r_ {0}}}) + \ varphi _ {2} ({\ vec {r}}) = - {\ vec {k}} \ cdot {\ vec {r_ {0}}} - {\ vec {k '}} \ cdot ({\ vec {r}} - {\ vec {r_ {0}}}).}

Dacă întrebăm:

{\ displaystyle {\ vec {K}} = {\ vec {k '}} - {\ vec {k}},}

noi obținem :

{\ displaystyle \ varphi _ {1} ({\ vec {r_ {0}}}) + \ varphi _ {2} ({\ vec {r}}) = {\ vec {K}} \ cdot {\ vec {r_ {0}}} - {\ vec {k '}} \ cdot {\ vec {r}}.}

Prin urmare, avem un termen care depinde doar de poziția centrului de difuzie și un alt termen care depinde doar de punctul final considerat, care simplifică calculele.

Vectorul se numește vector de difracție . $\ vec {K}$

Deoarece capătul vectorilor se află pe sfera centrului și a razei , capătul vectorilor este pe sfera al cărui centru este translarea originii prin și a razei . ${\ displaystyle {\ vec {k '}}}$ $O$ $k$ ${\ displaystyle {\ vec {K}} = {\ vec {k '}} - {\ vec {k}}}$ ${\ displaystyle - {\ vec {k}}}$ $k$

Convenții de notare pentru articol

În exemplele care urmează, considerăm că spațiul este prevăzut cu o directă bază ortonormală , acești vectori care definesc respectiv axele , și . $({\ vec {e_ {1}}}, {\ vec {e_ {2}}}, {\ vec {e_ {3}}})$ $X$ $y$ $z$

Planul care conține fantele Young, grătarul sau plăcile de sticlă este planul ; axa lui este normală pentru acest plan. ${\ displaystyle (y, z)}$ $X$

Componentele vectorului sunt notate , și . $\ vec {K}$ $K_ {x}$ ${\ displaystyle K_ {y}}$ ${\ displaystyle K_ {z}}$

Exemple

Exemplu de fante ale lui Young

Problema fantelor lui Young poate fi tratată cu acest formalism dacă avem în vedere că unda incidentă este plană și că ecranul este la infinit.

Luați în considerare două sloturi tinere și separate de o distanță pe care o undă plană incidentă ajunge la ecuația lungimii de undă monocromatică : $S_1$ $S_2$ $d$ $\ lambda$

{\ displaystyle \ psi ({\ vec {r}}, t) = \ psi _ {0} e ^ {i (\ omega t - {\ vec {k}} \ cdot {\ vec {r}})} .}

Alegem slotul inferior pentru origine. Asa de :

slotul are coordonate , $S_2$ ${\ displaystyle (0,0)}$
slotul are coordonate , $S_1$ ${\ displaystyle (0, d)}$
vectorul undei incidente are coordonate . ${\ vec {k}}$ ${\ displaystyle (k, 0)}$

În , valul împrăștiat de fantă este egal cu: $\ vec {r}$ $S_2$

{\ displaystyle \ psi _ {2} ({\ vec {r}}, t) = \ psi ({\ vec {0}}, t) e ^ {- i {\ vec {k '}} \ cdot { \ vec {r}}} = \ psi _ {0} e ^ {i (\ omega t - {\ vec {k '}} \ cdot {\ vec {r}})}}

și cel diseminat de merită: $S_1$

{\ displaystyle \ psi _ {1} ({\ vec {r}}, t) = \ psi ({\ overrightarrow {S_ {2} S_ {1}}}, t) e ^ {- i {\ vec { k '}} \ cdot ({\ overrightarrow {S_ {1} S_ {2}}} + {\ vec {r}})} = \ psi _ {0} e ^ {i (\ omega t + ({\ vec {k '}} - {\ vec {k}}) \ cdot {\ overrightarrow {S_ {2} S_ {1}}} - {\ vec {k'}} \ cdot {\ vec {r}}) } = \ psi _ {2} ({\ vec {r}}, t) e ^ {i {\ vec {K}} \ cdot {\ overrightarrow {S_ {2} S_ {1}}}}

unde am pozat . ${\ displaystyle {\ vec {K}} = {\ vec {k '}} - {\ vec {k}}}$

Interferența celor două unde împrăștiate dă:

{\ displaystyle \ psi _ {1} ({\ vec {r}}, t) + \ psi _ {2} ({\ vec {r}}, t) = \ psi _ {2} ({\ vec { r}}, t) \ left (1 + e ^ {i {\ vec {K}} \ cdot {\ overrightarrow {S_ {2} S_ {1}}}} \ right).}

Amplitudinea undei depinde de factorul din dreapta, deci de produsul scalar . Dacă luăm în considerare o împrăștiere la un unghi față de incidență, avem: ${\ displaystyle {\ vec {K}} \ cdot {\ overrightarrow {S_ {2} S_ {1}}}}$ ${\ displaystyle \ alpha \ in] - {\ frac {\ pi} {2}}, {\ frac {\ pi} {2}} [}$

{\ displaystyle {\ vec {k}} = k {\ vec {e_ {1}}},}

{\ displaystyle {\ vec {k '}} = k \ cos \ alpha {\ vec {e_ {1}}} + k \ sin \ alpha {\ vec {e_ {2}}}}

prin urmare:

{\ displaystyle {\ vec {K}} = {\ vec {k '}} - {\ vec {k}} = k (\ cos \ alpha -1) {\ vec {e_ {1}}} + \ sin \ alpha {\ vec {e_ {2}}} = k (\ cos \ alpha {\ vec {e_ {1}}} + \ sin \ alpha {\ vec {e_ {2}}}) - k {\ vec {e_ {1}}}.}

Observăm aici că punctul vectorului descrie un semicerc centrat la punctul de coordonate și rază (semicerc deoarece ). $\ vec {K}$ ${\ displaystyle (-k, 0)}$ $k$ ${\ displaystyle \ alpha \ in] - {\ frac {\ pi} {2}}, {\ frac {\ pi} {2}} [}$

La fel de :

{\ displaystyle {\ overrightarrow {S_ {2} S_ {1}}} = d {\ vec {e_ {2}}},}

avem :

{\ displaystyle {\ vec {K}} \ cdot {\ overrightarrow {S_ {2} S_ {1}}} = K_ {y} d = kd \ sin \ alpha.}

Amplitudinea undei este maximă atunci când este multiplu de . De asemenea , constatăm că: ${\ displaystyle {\ vec {K}} \ cdot {\ overrightarrow {S_ {2} S_ {1}}}}$ $2 \ ft$ $k = {\ frac {2 \ pi} {\ lambda}}$

{\ displaystyle d \ sin \ alpha = n \ lambda}

{\ displaystyle n \ in \ mathbb {Z}.}

Prin urmare, condiția de difracție este: ${\ displaystyle K_ {y}}$

{\ displaystyle K_ {y} = {\ frac {2 \ pi n} {d}},}

astfel pentru condițiile de intensitate maximă, depinde doar de și nu de . ${\ displaystyle K_ {y}}$ $nu$ $\ lambda$

Condițiile de pe pot fi, prin urmare, reprezentate grafic în spațiul de fază: sfârșitul vectorului de difracție este situat la punctele de intersecție a semicercului de centru și rază cu liniile orizontale ale ecuației . $\ vec {K}$ ${\ displaystyle (-k = - {\ frac {2 \ pi} {\ lambda}}, 0)}$ $k = {\ frac {2 \ pi} {\ lambda}}$ ${\ displaystyle K_ {y} = {\ frac {2 \ pi n} {d}}}$

Prin urmare, se poate vedea că fantele lui Young iluminate de unda incidentă pot fi reprezentate printr-un set de puncte , definind extremitatea vectorilor pentru care intensitatea este maximă. ${\ displaystyle (K_ {1}, K_ {2}, \ ldots, K_ {n})}$ $\ vec {K}$

Construcția rețelei reciproce ia în considerare doar vectorul de difracție , dar nu și vectorul de undă incident ; astfel, dacă unda incidentă ar fi oblică, ar fi suficient să se schimbe centrul semicercului (care este întotdeauna la poziția relativă la origine); intersecția acestui semicerc cu rețeaua reciprocă ar da întotdeauna condițiile de difracție, adică ar permite deducerea vectorilor pentru care avem un maxim de intensitate. $\ vec {K}$ ${\ vec {k}}$ ${\ displaystyle - {\ vec {k}}}$ ${\ displaystyle {\ vec {k '}}}$

Putem chiar să scăpăm de invarianță prin traducere și să lucrăm în trei dimensiuni, având în vedere razele (incidente sau difractate) din afara planului . Vectorul fiind capabil să ia toate orientările, descrie o emisferă, este același pentru vector . Ecuația este atunci ecuația unui plan; condițiile de difracție sunt deci intersecția emisferei corespunzătoare vectorului de undă incident cu aceste planuri ale spațiului reciproc. Prin urmare, sunt semicercuri. ${\ displaystyle ({\ vec {e_ {1}}}, {\ vec {e_ {2}}})}$ ${\ displaystyle {\ vec {k '}}}$ $\ vec {K}$ ${\ displaystyle K_ {y} = {\ frac {2 \ pi n} {d}}}$

Această rețea de planuri orizontale este rețeaua reciprocă a fantelor lui Young. Observăm că:

planurile rețelei reciproce sunt perpendiculare pe vectorul de translație dintre fante; ${\ displaystyle {\ overrightarrow {S_ {2} S_ {1}}}}$
spațierea liniilor este invers proporțională cu spațiul sloturilor.

Exemplu de rețea de difracție

Luați în considerare o rețea de difracție optică a pasului . $p$

Pentru calcul, definim funcția undei difractate de linia de ${\ displaystyle m ^ {\ mathrm {e}}}$

{\ displaystyle \ psi _ {m} ({\ vec {r}}, t) = \ psi _ {0} e ^ {i (\ omega t + mp {\ vec {K}} \ cdot {\ vec { e_ {2}}} - {\ vec {k '}} \ cdot {\ vec {r}})}.}

Funcția de undă totală este deci:

{\ displaystyle \ psi ({\ vec {r}}, t) = \ sum _ {m} \ psi _ {m} ({\ vec {r}}, t) = \ psi _ {0} e ^ { i (\ omega t - {\ vec {k '}} \ cdot {\ vec {r}})} \ sum _ {m} e ^ {imp {\ vec {K}} \ cdot {\ vec {e_ { 2}}}}.}

Condițiile de difracție sunt similare cu cele ale fantelor lui Young, doar lățimea liniilor se schimbă. Prin urmare, rețeaua reciprocă este aceeași. Cu toate acestea, lucrăm adesea în reflecție. În acest caz, semicercul complementar trebuie luat în considerare.

Exemplu de interferență de către un gol de aer

Interferența printr - o fantă de aer este creat de reflecție în conformitate cu două planuri paralele , separate de o distanță . Ne uităm la interferențe „ad infinitum”. $d$

Fie vectorul normal pentru planuri și lungime . Să considerăm, pentru simplitate, că cele două planuri sunt paralele cu planul și să luăm două raze paralele incidente ale vectorului de undă care lovesc planurile în punctele situate pe aceeași axă (defazarea este independentă de poziția pe plan dar nu depinde decât direcția de difuzare). Dacă este axa lui , avem . $\ vec {x}$ $d$ ${\ displaystyle (y, z)}$ ${\ vec {k}}$ $\ vec {x}$ ${\ vec {e_ {1}}}$ $X$ ${\ displaystyle {\ vec {x}} = d {\ vec {e_ {1}}}}$

Raza care lovește planul de suprafață este direct difuzată. Raza care lovește planul adânc este difuză după ce a suferit o schimbare de fază : ${\ displaystyle \ Delta \ varphi _ {1}}$

{\ displaystyle \ Delta \ varphi _ {1} = - {\ vec {k}} \ cdot {\ vec {x}}.}

Luați în considerare un vector de undă împrăștiat . Pe un front de undă dat (plan perpendicular pe vectorii de undă), raza difuzată de planul adânc suferă încă o schimbare de fază : ${\ displaystyle {\ vec {k '}}}$ ${\ displaystyle \ Delta \ varphi _ {2}}$

{\ displaystyle \ Delta \ varphi _ {2} = - {\ vec {k '}} \ cdot (- {\ vec {x}}).}

Prin urmare, deplasarea totală a fazei este:

{\ displaystyle \ Delta \ varphi = \ Delta \ varphi _ {1} + \ Delta \ varphi _ {2} = {\ vec {K}} \ cdot {\ vec {x}}.}

Interferența este constructivă dacă:

{\ displaystyle \ Delta \ varphi = 2 \ pi n,}

adică dacă:

{\ displaystyle {\ vec {K}} \ cdot {\ vec {x}} = 2 \ pi n,}

prin urmare:

{\ displaystyle K_ {x} = {\ frac {2 \ pi n} {d}}.}

Prin urmare, se poate vedea că condițiile de interferență constructive sunt reprezentate, în spațiul de fază, de planuri paralele și distanțate de . ${\ displaystyle (y, z)}$ ${\ displaystyle {\ frac {2 \ pi} {d}}}$

Ca și anterior, pentru un vector incident dat, condițiile de difracție sunt date de intersecția dintre aceste planuri ale spațiului reciproc și sfera descrisă la sfârșitul lui . Aceste intersecții sunt cercuri; dacă extremitatea lui descrie un cerc, acela de asemenea, atunci razele difuzate în condiții de interferență constructivă dau conuri de ax normale la planuri. ${\ vec {k}}$ $\ vec {K}$ $\ vec {K}$ ${\ displaystyle {\ vec {k '}}}$

Notă Spre deosebire de cazurile anterioare, nu mai există o invarianță prin translație de-a lungul axei des , este deci necesar să vă plasați în trei dimensiuni.

z

Putem considera un număr „infinit” de planuri paralele și, prin urmare, un fel de rețea de planuri. Diferența ar fi atunci aceeași ca și între fantele lui Young și rețeaua plană: pozițiile de difracție sunt aceleași, doar lățimea liniilor se schimbă.

Dacă se consideră o direcție de difuzie simetrică cu direcția de incidență, este normală pentru planuri și dacă se observă unghiul dintre raza incidentă și plan atunci: $\ vec {K}$ $\ theta$

{\ displaystyle K_ {x} = - 2k_ {x} = - 2 \ times (- | k | \ sin \ theta) = {\ frac {4 \ pi \ sin \ theta} {\ lambda}}}

și găsim legea obișnuită:

{\ displaystyle 2d \ sin \ theta = n \ lambda.}

Asociere de rețea

Asocierea a două rețele pe același plan

Este posibil să combinați rețelele două câte două; razele trebuie apoi să verifice cele două condiții de difracție, ceea ce echivalează cu luarea intersecției rețelelor reciproce.

Să luăm de exemplu două rețele plane de orientare diferită, adică o rețea a planului . Rețelele reciproce sunt plane perpendiculare pe vectorii de translație a rețelelor. Intersecția dintre două plane neparalele este o linie dreaptă; rețeaua reciprocă a acestei rețele este deci o „pădure” de linii paralele cu . ${\ displaystyle ({\ vec {e_ {2}}}, {\ vec {e_ {3}}})}$ ${\ vec {e_ {1}}}$

Pentru un vector dat, direcțiile în care sunt localizate punctele de difracție sunt determinate de intersecția dintre emisfera și această pădure de linii. ${\ vec {k}}$ $\ vec {K}$

Notăm prima rețea, vectorul de translație între două linii și normal la linii, vectorul de direcție al liniilor și rețeaua reciprocă de planuri. De asemenea, denotăm a doua rețea, vectorul său de traducere, vectorul său de direcție unitar și rețeaua reciprocă de planuri. Remarcăm și ; semnul este ales în funcție de orientarea și astfel încât triedrul să fie direct. Observăm că această familie formează o bază a spațiului. $R_1$ ${\ displaystyle {\ vec {x_ {1}}}}$ ${\ displaystyle {\ vec {u_ {1}}}}$ ${\ displaystyle R_ {1} ^ {*}}$ $R_2$ ${\ displaystyle {\ vec {x_ {2}}}}$ ${\ displaystyle {\ vec {u_ {2}}}}$ ${\ displaystyle R_ {2} ^ {*}}$ ${\ displaystyle {\ vec {u_ {3}}} = \ pm {\ vec {e_ {1}}}}$ ${\ displaystyle {\ vec {u_ {1}}}}$ ${\ displaystyle {\ vec {u_ {2}}}}$ ${\ displaystyle ({\ vec {u_ {1}}}, {\ vec {u_ {2}}}, {\ vec {u_ {3}}})}$

Planurile lui sunt perpendiculare și distanțate de , cele ale sunt perpendiculare și distanțate de . Dacă definim o nouă bază : ${\ displaystyle R_ {1} ^ {*}}$ ${\ displaystyle {\ vec {x_ {1}}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {2 \ pi} {|| {\ vec {x_ {1}}} ||}}}$ ${\ displaystyle R_ {2} ^ {*}}$ ${\ displaystyle {\ vec {x_ {2}}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {2 \ pi} {|| {\ vec {x_ {2}}} ||}}}$ ${\ displaystyle ({\ vec {e_ {1} ^ {*}}}, {\ vec {e_ {2} ^ {*}}}, {\ vec {e_ {1}}})}$

{\ displaystyle {\ vec {e_ {1} ^ {*}}} = {\ frac {2 \ pi} {|| {\ vec {x_ {2}}} || ^ {2}}} {\ vec {x_ {2}}},}

{\ displaystyle {\ vec {e_ {2} ^ {*}}} = {\ frac {2 \ pi} {|| {\ vec {x_ {1}}} || ^ {2}}} {\ vec {x_ {1}}}}

(inversarea indicilor este pur convențională și este explicată mai jos), apoi în această bază, planurile lui au pentru ecuație: ${\ displaystyle R_ {2} ^ {*}}$

{\ displaystyle K_ {x} = a}

, cu un număr întreg,

la

și planurile de au pentru ecuație: ${\ displaystyle R_ {1} ^ {*}}$

{\ displaystyle K_ {y} = b}

, cu un număr întreg,

b

și, prin urmare, liniile care reprezintă condițiile de difracție au următoarea ecuație:

{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} K_ {x} = a \\ K_ {y} = b. \ end {matrix}} \ right.}

În practică, ne referim mai degrabă la vectorii îndrumători ai trăsăturilor rețelelor și definim:

{\ displaystyle {\ vec {e_ {1} ^ {*}}} = {\ frac {2 \ pi} {|| {\ vec {x_ {1}}} ||}} {\ frac {{\ vec {u_ {2}}} \ wedge {\ vec {u_ {3}}}} {|| {\ vec {u_ {2}}} \ wedge {\ vec {u_ {3}}} ||}}, }

{\ displaystyle {\ vec {e_ {2} ^ {*}}} = {\ frac {2 \ pi} {|| {\ vec {x_ {2}}} ||}} {\ frac {{\ vec {u_ {3}}} \ wedge {\ vec {u_ {1}}}} {|| {\ vec {u_ {3}}} \ wedge {\ vec {u_ {1}}} ||}}, }

{\ displaystyle {\ vec {e_ {3} ^ {*}}} = {\ frac {1} {|| {\ vec {u_ {1}}} \ wedge {\ vec {u_ {2}}} | |}} {\ vec {u_ {1}}} \ wedge {\ vec {u_ {2}}}.}

Vectorul nu are utilitate practică aici, dar permite definirea sistematică a unei noi baze. Inversia indicilor este justificată aici de o construcție sistematică a vectorilor de bază (permutare circulară a indicilor). ${\ vec {e_ {3} ^ {*}}}$

Acum, considerați că îmbină două intersecții ale și ale , idem pentru . Să fie volumul paralelipipedului format de , și . Avem : ${\ displaystyle {\ vec {u_ {1}}}}$ $R_1$ $R_2$ ${\ displaystyle {\ vec {u_ {2}}}}$ $V$ ${\ displaystyle {\ vec {u_ {1}}}}$ ${\ displaystyle {\ vec {u_ {2}}}}$ ${\ displaystyle {\ vec {u_ {3}}}}$

{\ displaystyle V = ({\ vec {u_ {1}}} \ wedge {\ vec {u_ {2}}}) \ cdot {\ vec {u_ {3}}} = ({\ vec {u_ {3 }}} \ wedge {\ vec {u_ {1}}}) \ cdot {\ vec {u_ {2}}} = ({\ vec {u_ {2}}} \ wedge {\ vec {u_ {3} }}) \ cdot {\ vec {u_ {1}}}.}

Apoi avem:

{\ displaystyle {\ vec {e_ {1} ^ {*}}} = {\ frac {2 \ pi} {V}} {\ vec {u_ {2}}} \ wedge {\ vec {u_ {3} }},}

{\ displaystyle {\ vec {e_ {2} ^ {*}}} = {\ frac {2 \ pi} {V}} {\ vec {u_ {3}}} \ wedge {\ vec {u_ {1} }},}

{\ displaystyle {\ vec {e_ {3} ^ {*}}} = {\ frac {2 \ pi} {V}} {\ vec {u_ {1}}} \ wedge {\ vec {u_ {2} }}.}

Această bază se numește bază reciprocă . Este caracteristic rețelelor. $({\ vec {e_ {1} ^ {*}}}, {\ vec {e_ {2} ^ {*}}}, {\ vec {e_ {3} ^ {*}}})$

Rețele pe planuri paralele

Este, de asemenea, posibil să luați planuri paralele, toate purtând o rețea identică, de exemplu plăci transparente cu o rețea de linii reflectorizante (argintiu). Alegem să luăm planurile paralele și liniile rețelei perpendiculare pe . ${\ vec {e_ {1}}}$ ${\ vec {e_ {2}}}$

Rețeaua reciprocă a acestui ansamblu este apoi intersecția dintre planurile spațiului reciproc, perpendicular pe , generate de succesiunea planurilor reflectante, și planurile reciproce ale rețelei plane, perpendicular pe . Rețeaua reciprocă a acestui ansamblu este deci o serie de linii paralele cu . ${\ vec {e_ {1}}}$ ${\ vec {e_ {2}}}$ ${\ vec {e_ {3}}}$

În cele din urmă, este posibil să se aibă în vedere o succesiune de planuri paralele, toate având o grilă identică. Rețeaua reciprocă este intersecția a trei rețele de planuri; este deci o rețea de puncte. Vedem că obținem aceeași rețea de puncte în spațiul reciproc pentru mai multe configurații în spațiul real, din momentul în care intersecțiile liniilor sunt în același loc. Ceea ce definește direcțiile în care intensitatea este nenulă, ei sunt vectorii , și definind celula elementară . ${\ vec {e_ {1}}}$ ${\ vec {e_ {2}}}$ ${\ vec {e_ {3}}}$

Putem defini ca anterior vectorii , și spațiul reciproc: ${\ displaystyle {\ vec {e_ {1} ^ {*}}}}$ ${\ vec {e_ {2} ^ {*}}}$ ${\ vec {e_ {3} ^ {*}}}$

{\ displaystyle {\ vec {e_ {i} ^ {*}}} = {\ frac {2 \ pi} {V}} {\ vec {e_ {j}}} \ wedge {\ vec {e_ {k} }}}

unde este o permutare circulară a . Vectorii de difracție pentru care există difracție verifică: $(i, j, k)$ ${\ displaystyle (1,2,3)}$ $\ vec {K}$

{\ displaystyle {\ vec {K}} = a {\ vec {e_ {1} ^ {*}}} + b {\ vec {e_ {2} ^ {*}}} + c {\ vec {e_ { 3} ^ {*}}}}

în cazul în care , și sunt numere întregi. Rețeaua reciprocă este , prin urmare , o rețea de puncte, vectorii , și definind o plasă de elementară a acestei rețele reciproce. $la$ $b$ $vs.$ ${\ vec {e_ {1} ^ {*}}}$ ${\ vec {e_ {2} ^ {*}}}$ ${\ vec {e_ {3} ^ {*}}}$

Baza reală și baza reciprocă

Matematic, baza reciprocă este baza duală a bazei spațiului direct:

{\ displaystyle {\ vec {e_ {i} ^ {*}}} \ cdot {\ vec {e_ {j}}} = 2 \ pi \ delta _ {ij}}

folosind notația Kronecker . Prin urmare, se obține prin inversarea matricei , ortogonalizare față de ceilalți vectori de bază sau produs încrucișat .

Din proprietățile produsului încrucișat , putem verifica:

{\ displaystyle {\ vec {e_ {1} ^ {*}}} \ cdot {\ vec {e_ {2}}} = {\ vec {e_ {1} ^ {*}}} \ cdot {\ vec { e_ {3}}} = 0}

, fie și

{\ displaystyle {\ vec {e_ {1} ^ {*}}} \ bot {\ vec {e_ {2}}}}

{\ displaystyle {\ vec {e_ {1} ^ {*}}} \ bot {\ vec {e_ {3}}}}

{\ displaystyle {\ vec {e_ {2} ^ {*}}} \ cdot {\ vec {e_ {3}}} = {\ vec {e_ {2} ^ {*}}} \ cdot {\ vec { e_ {1}}} = 0}

, fie și

{\ displaystyle {\ vec {e_ {2} ^ {*}}} \ bot {\ vec {e_ {3}}}}

{\ displaystyle {\ vec {e_ {2} ^ {*}}} \ bot {\ vec {e_ {1}}}}

{\ displaystyle {\ vec {e_ {3} ^ {*}}} \ cdot {\ vec {e_ {1}}} = {\ vec {e_ {3} ^ {*}}} \ cdot {\ vec { e_ {2}}} = 0}

, fie și

{\ displaystyle {\ vec {e_ {3} ^ {*}}} \ bot {\ vec {e_ {1}}}}

{\ displaystyle {\ vec {e_ {3} ^ {*}}} \ bot {\ vec {e_ {2}}}}

Mai mult, dacă este o permutare circulară a , avem: $(i, j, k)$ ${\ displaystyle (1,2,3)}$

{\ displaystyle {\ vec {e_ {i}}} \ cdot {\ vec {e_ {i} ^ {*}}} = {\ frac {2 \ pi} {V}} {\ vec {e_ {i} }} \ cdot ({\ vec {e_ {j}}} \ wedge {\ vec {e_ {k}}}) = 2 \ pi}

Indexarea rețelei reciproce și a planurilor spațiale reale

În cazul unei rețele de difracție 3D (rețea de puncte în spațiu), rețeaua reciprocă este, de asemenea, o rețea 3D. Fiecare punct al rețelei reciproce având coordonate întregi în bază , se poate indexa fiecare punct după coordonatele sale. $({\ vec {e_ {1} ^ {*}}}, {\ vec {e_ {2} ^ {*}}}, {\ vec {e_ {3} ^ {*}}})$

Prin urmare, trei indici sunt asociați cu fiecare punct al rețelei reciproce, notate de obicei , care sunt coordonatele sale. $(h, k, l)$

Notă Până acum, toate coordonatele erau notate pentru a evita confuzia între vectorul de undă și indicele real .

{\ displaystyle (a, b, c)}

{\ vec {k}}

k

Am văzut că în spațiul real, ceea ce contează era rețeaua de puncte și că aceste puncte ar putea fi nodurile rețelei paralele între ele.

Să luăm un punct coordonat al spațiului reciproc. Linia dreaptă , care trece prin origine și prin , poate fi văzută ca imaginea unei rețele plane (vezi secțiunea Asocierea a două rețele pe același plan ); această rețea de planuri este purtată de o familie de planuri paralele. $LA$ $(h, k, l)$ ${\ displaystyle (O, A)}$ $LA$ $P$

Această familie de planuri spațiale reale are pentru imagine o familie de planuri spațiale reciproce (cf. secțiunea Exemplu de interferențe ale unui spațiu aerian ). Prin urmare, putem spune că reprezintă o familie de planuri paralele echidistante; cu cât este mai departe de origine, cu atât avioanele sunt mai apropiate. $LA$ $LA$

Este astfel posibilă indexarea planurilor imaginare care conțin noduri ale rețelei reale: planurile asociate cu transportul indicilor . $LA$ $(h, k, l)$

Putem arăta că acești indici sunt indicii Miller (a se vedea acest articol pentru demonstrație).

Utilizare în cristalografie

Un cristal este o rețea tridimensională de atomi, ioni sau molecule. Fiecare nor electronic va provoca împrăștierea Rayleigh , care va fi echivalentă cu reflectarea și transmiterea rețelelor de trăsături. Prin urmare, cristalul este într-un fel o rețea care funcționează în reflecție și transmisie.

Locusul capetelor vectorilor de difracție este deci o sferă completă și nu o emisferă. $\ vec {K}$

Note

În unele cazuri, faza, în radiani, este scrisă , norma vectorului de undă este atunci , este numărul de undă ; coeficientul nu schimbă nimic (simplă expansiune a spațiului). ${\ displaystyle \ varphi ({\ vec {r}}) = 2 \ pi {\ vec {k}} \ cdot {\ vec {r}}}$ ${\ frac {1} {\ lambda}}$ $2 \ ft$
Dacă coeficientul 2π nu face parte din definiția vectorului de undă, atunci avem . ${\ displaystyle {\ vec {e_ {i}}} \ cdot {\ vec {e_ {i} ^ {*}}} = 1}$

Vezi și tu

Bibliografie

J.-P. Eberhart, Metode fizice de studiere a mineralelor și a materialelor solide , ed. Doin Editors (Paris), 1976, pp. 27, 52-58, 184–186, 477–479
BD Cullity, Elements of X-Ray Diffraction , ed. Addison-Wesley Publishing Co, 1956, pp 490–505
R. Jenkins, RL Snyder, Diffractometrie cu pulbere cu raze X , eds. Wiley -Interscience, 1996, pp 49-54

Articole similare